5.4.3 正切函数的性质与图象 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.3　正切函数的性质与图象 同步练习 考点一　正切(型)函数的定义域、值域 1.与函数y=tan2x+的图象不相交的一条直线是(　　) A.x=　　B.x=-　　C.x=　　D.x=- 2.函数y=tan,x∈的值域为　　　　.  3.已知函数f(x)=tan的最小正周期是2,则ω=　　　;此时函数f(x)的定义域为　　　　　　　　.  考点二　正切(型)函数的图象及其应用 4.函数f(x)=tan x与y=1的图象在[0,3π]上的交点个数为(　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 5.(多选题)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=2 B.φ= C.f(x)的图象与y轴的交点坐标为 D.函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称 6.不等式3+tan 2x≥0的解集为　　　　.  考点三　正切(型)函数的性质 7.已知函数f(x)=2tan的最小正周期为π,则ω=(　　) A.-1或1　　B.-2或2　　C.1　　D.2 8.设函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的一个最小正周期是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.(多选题)已知函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则(　　) A.ω=4 B. f(x)的最小正周期为 C. f(x)的图象的一条渐近线为直线x= D. f(x)的单调递增区间为-+,+(k∈Z) 10.函数f(x)=tan的单调递增区间为　　　　.  11.tan 1 420°　　　　tan 1 415°(填“>”“<”或“=”).  考点四　正切(型)函数性质的综合应用 12.已知函数y=tan ωx在上单调递减,则ω的取值范围是(　　) A.0<ω≤1　　B.-1≤ω<0　　C.ω≥1　　D.ω≤-1 13.(多选题)已知函数f(x)=tan x,下列命题正确的是(　　) A.若f(x)=,则= B.不等式f(x)≥的解集是 C.函数y=-[f(x)]2+4f(x),x∈的最小值为-5 D.若f=,且0<x<,则sin+x= 14.已知函数f(x)=tan,ω>0. (1)若ω=2,函数f(x+m)的图象经过原点,求最小正数m的值; (2)已知方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根,在满足上述条件的[a,b]中,设b-a的最小值为M. ①用ω表示M; ②若M不小于2 024,求ω的取值范围. 15.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z. (1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值; (2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值; (3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围. 答案 1.C　令2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z), 令k=0,得x=,令k=1,得x=,令k=2,得x=, 令k=-1,得x=-,令k=-2,得x=-, 结合选项得函数y=tan的图象的一条渐近线为直线x=, 即直线x=与函数y=tan的图象不相交. 2.答案　 解析　当x∈时,x-∈,所以y=tan∈. 3.答案　±;xx≠2k+且x≠-2k-,k∈Z 解析　因为f(x)的最小正周期为2,所以=2,|ω|=,所以ω=±,故f(x)=tan, 令±x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠2k+,k∈Z且x≠-2k-,k∈Z, 所以f(x)的定义域为xx≠2k+且x≠-2k-,k∈Z. 4.B　令tan x=1,得x=+kπ,k∈Z,因为x∈[0,3π],所以x=,,,所以两函数图象在[0,3π]上的交点个数为3. 5.ABD　由题图可知, f(x)的最小正周期T=,又ω>0,所以=,故ω=2,A正确; 由题图可知,当x=时,函数无意义,故-φ=+kπ,k∈Z,由0<φ<π,得φ=,B正确; 由以上分析得f(x)=tan,所以f(0)=-, 即f(x)的图象与y轴的交点坐标为,C错误; 因为|f(x)|=, 所以= ===|f(x)|, 所以函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称,D正确. 6.答案　 解析　不等式3+tan 2x≥0,即tan 2x≥-,令t=2x,则tan t≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan t,t∈的图象和直线y=-. 由图得,在区间内,不等式tan t≥-的解集是, ∴不等式tan t≥-在R上的解集是tkπ-≤t<kπ+,k∈Z. 令kπ-≤2x<kπ+(k∈Z), 得-≤x<+(k∈Z), ∴不等式3+tan 2x≥0的解集是x-≤x<+,k∈Z. 7.A　根据题意得=π,可得ω=1或ω=-1. 8.C　因为函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为, 所以-=(k∈Z),可得ω=3k+2(k∈Z), 因为ω>0,所以k∈N,故函数f(x)的最小正周期T=(k∈N), 结合选项可知函数f(x)的一个最小正周期为. 9.BC　对于A,B,因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为, 所以该函数的最小正周期T=,所以ω==2,A错误,B正确; 对于C,由以上分析得f(x)=tan,当x=时,2x-=-=,所以f(x)的图象的一条渐近线为直线x=,C正确; 对于D,令kπ-<2x-<kπ+(k∈Z), 得-<x<+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),D错误. 10.答案　(k∈Z) 解析　易知正切函数y=tan x的单调递增区间为(k∈Z), 所以令-+kπ<x+<+kπ(k∈Z), 得2k-<x<2k+(k∈Z), 即该函数的单调递增区间为(k∈Z). 11.答案　> 解析　tan 1 420°=tan(180°×8-20°)=-tan 20°, tan 1 415°=tan(180°×8-25°)=-tan 25°, 易知tan 20°<tan 25°,故-tan 20°>-tan 25°, 故tan 1 420°>tan 1 415°. 12.B　因为函数y=tan ωx在上单调递减, 所以ω<0,ω<ωx<-ω,且⊆, 所以解得-1≤ω<0, 故ω的取值范围是[-1,0). 13.ACD　由已知得tan x=,则===,故A正确; 由f(x)≥得tan x≥,∴kπ+≤x<+kπ(k∈Z), 因此不等式f(x)≥的解集是(k∈Z),故B错误; 由x∈,得tan x∈[-1,1], y=-[f(x)]2+4f(x)=-tan2x+4tan x=-(tan x-2)2+4, 由二次函数的性质可知,当tan x=-1时,y取得最小值,为-5,故C正确; 由f=,得tan====, ∴cos=sin, ∵0<x<,∴<x+<,∴sin>0, 又cos2+sin2=1, ∴sin=,故D正确. 14.解析　(1)当ω=2时, f(x)=tan, 所以f(x+m)=tan, 因为函数f(x+m)的图象经过原点, 所以tan=0, 因此2m+=kπ,k∈Z,解得m=-+,k∈Z, 又m>0,所以当k=1时,m取得最小值,为,即最小正数m的值为. (2)①方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根, 即当x∈[a,b]时,tan=至少有2 024个根,即ωx+=kπ+(k∈Z)至少有2 024个根,即x=(k∈Z)至少有2 024个根,且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值为M, 因此b-a至少包含2 023个周期,即b-a≥2 023×,故2 023×=M,即M=. ②若M不小于2 024,则M=≥2 024, 又ω>0,所以0<ω≤, 即ω的取值范围为. 15.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,], 易知当x=时, f(x)min=-; 当x=-1时, f(x)max=. (2)由题可得g(x)=x-+2tan θ, ∵g(x)为奇函数, ∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z. (3)易知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ. ∵f(x)在区间[-1,]上单调, ∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1, ∴-+kπ<θ≤-+kπ,k∈Z或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z, 故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$