5.4.2.2 单调性与值域 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.2.2 单调性与值域 同步练习 考点一　正、余弦(型)函数的单调性 1.已知函数f(x)的周期为π,且在区间上单调递增,则f(x)的解析式可能是(　　) A. f(x)=sin　　B. f(x)=cos C. f(x)=sin　　D. f(x)=cos 2.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是(　　) A.(0,1)　　B.　　C.(0,1]　　D.[1,+∞) 3.f(x)=的单调递减区间是　　　　　　.  4.已知函数f(x)=cos,x∈,则函数f(x)的单调递减区间为　　　　　　　　.  考点二　利用正、余弦函数的单调性比较大小 5.设a=cos ,b=sin ,c=log32,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c　　B.b>a>c　　C.b>c>a　　D.c>a>b 6.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.若m=cos ,n=cos ,t=cos,则f(m), f(n), f(t)的大小关系为(　　) A. f(m)<f(n)<f(t)　　B. f(m)<f(t)<f(n) C. f(n)<f(t)<f(m)　　D. f(t)<f(m)<f(n) 7.比较大小:sin　　　　cos(填“>”“<”或“=”).  考点三　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值 8.已知函数f(x)=cos+1(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在区间上的最大值为(　　) A.　　B.1　　C.　　D.2 9.函数f(x)=sin2x+4cos x+1的最大值为(　　) A.6　　B.5　　C.-3　　D.-6 10.(多选题)已知函数f(x)=,则(　　) A. f(x)的定义域为R B. f(x)的图象关于点中心对称 C. f(x)的值域为[-2,0] D. f(x)在区间上单调递增 11.已知f(x)=sin. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值. 考点四　正、余弦(型)函数性质的综合运用 12.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一,高斯函数f(x)=[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域,其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[3.6]=3,[-1.2]=-2.若函数f(k)=sin +sin(k∈Z),则f(k)的值域为(　　) A.{-1,0,1}　　B.{-1,0}　　C.{0,1}　　D.{-1,1} 13.(多选题)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列结论正确的是(　　) A. f(x)的最小正周期是2π B. f(x)在区间上单调递减 C. f(x)在[-π,π]上有4个零点 D. f(x)的最大值为2 14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象与y轴的交点坐标为(0,-1),与直线l:y=1的三个相邻交点的横坐标从左向右依次为x1,x2,x3,且x1+x2=,x2+x3=.当x∈时,|f(x)-t|<3,则t的取值范围为(　　) A.(-∞,-2)∪[1,+∞)　　　B.(-1,2] C.(-∞,-1]∪(2,+∞)　　　D.(-2,1] 15.已知f(x)=sin+. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若f(α)=,α∈(π,2π),求sin的值; (3)若函数y=f(x)-k在上有两个零点,求实数k的取值范围. 16.已知函数f(x)=-2sin2x+2cos x+3t,其中t为常数. (1)当t=,x∈时,若f(x)=0,求x的值; (2)设函数f(x)在上有两个零点,求t的取值范围. 答案 1.C　因为函数f(x)的周期为π, 所以当x的系数ω>0时,对正、余弦函数来说,ω==2,故排除A,B; 当x∈时,2x-∈, 易知y=sin x在上单调递增,y=cos x在上单调递减,故C正确,D错误. 2.C　当x∈时,ωx+∈, 因为函数f(x)=sin在区间上单调递增,所以+≤,解得ω≤1,又ω>0,所以ω的取值范围是(0,1]. 3.答案　,k∈Z 解析　由已知得sin x-≥0,即sin x≥,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的定义域为,k∈Z, 又y=在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间即为y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间,易知y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间为,k∈Z, 所以函数f(x)=的单调递减区间为,k∈Z. 4.答案　, 解析　当x∈时,2x-∈, 结合余弦函数的性质可知,当2x-∈和,即x∈,时,函数f(x)单调递减. 故f(x)的单调递减区间为和. 5.D　a=cos =, 易知y=sin x在上单调递增,所以b=sin <sin =, 易知y=log3x为增函数,所以c=log32>log3=, 所以c>a>b. 6.D　n=cos =-cos ,t=cos=cos , 易知y=cos x在上单调递减, 由0<<<<,得0<cos <cos <cos <1. 所以0<t<m<-n<1, 又f(x)在区间(0,1)上单调递增, 所以f(t)<f(m)<f(-n), 又函数f(x)为偶函数,所以f(-n)=f(n), 所以f(t)<f(m)<f(n). 7.答案　> 解析　sin=sin =-sin , cos=cos =-cos =-sin . 因为函数y=sin x在上单调递增,且-<<<,所以sin <sin ,所以-sin >-sin , 即sin>cos. 8.C　由题意得T==π,解得ω=2, 所以f(x)=cos+1, 当x∈时,2x+∈, 所以f(x)在区间上的最大值为cos +1=. 9.B　f(x)=sin2x+4cos x+1=(1-cos2x)+4cos x+1=-cos2x+4cos x+2, 令t=cos x,t∈[-1,1],所以y=-t2+4t+2=-(t-2)2+6, 该函数在[-1,1]上单调递增,所以ymax=5. 10.AC　对于A,易知sin x∈[-1,1],所以∀x∈R,sin x-2≠0,即f(x)=的定义域为R,所以A正确; 对于B,解法一(举反例):因为f(-π)==-, f(0)==-=f(-π),所以f(x)的图象不关于点中心对称,所以B错误; 解法二:f(-π-x)==,不满足f(-π-x)+f(x)=0,故f(x)的图象不关于点中心对称,所以B错误; 对于C,解法一(分离常数):f(x)=1+,因为sin x∈[-1,1],所以sin x-2∈[-3,-1],则∈[-3,-1],故f(x)∈[-2,0],所以C正确; 解法二(利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式):由y=,得(y-1)sin x=2y+1,当y=1时,显然不成立,当y≠1时,sin x=,则-1≤≤1,解得-2≤y≤0,所以C正确; 对于D,令t=sin x,易知t=sin x在区间上单调递增,且t=sin x∈, 又y=1+在区间上单调递减,所以f(x)在区间上单调递减,所以D错误. 11.解析　(1)因为f(x)=sin, 所以f(x)的最小正周期T==π. 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)因为x∈,所以2x+∈, 当2x+=,即x=时, f(x)取得最大值,为1; 当2x+=-或2x+=,即x=-或x=时, f(x)取得最小值,为-. 12.C　当k为偶数时,sin=sin ∈,所以f(k)==1; 当k为奇数时,sin=-sin , 所以f(k)=[0]=0. 综上, f(k)的值域为{0,1}. 13.BD　选项A,易得f=sin+=+=1, f=sin+=-+=0,此时f(x)≠f(x+2π),故A错误; 选项B,当x∈时,sin x>0,所以f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,则f(x)在区间上单调递减,故B正确; 选项C, f(x)=sin|x|+|sin x|= 若x∈[-π,0),令f(x)=0,得-2sin x=0,解得x=-π, 若x∈[0,π],令f(x)=0,得2sin x=0,解得x=0或x=π, 所以函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误; 选项D,因为sin|x|≤1,|sin x|≤1,所以f(x)=sin|x|+|sin x|≤2, 又f=sin+=2,所以f(x)的最大值为2,故D正确. 14.B　由题意知f(0)=-1,所以sin φ=-. 又|φ|<,所以φ=-. 由已知得f(x)图象的相邻两条对称轴方程分别为x==,x==, 所以函数f(x)的最小正周期T=2×=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin. 当x∈时,2x-∈, f(x)∈(-1,2]. 由|f(x)-t|<3,得-3<f(x)-t<3, 所以-3+t<f(x)<3+t,所以解得-1<t≤2. 15.解析　(1)f(x)的最小正周期是=4π, 令+2kπ≤+≤+2kπ,k∈Z,得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z. (2)由f(α)=sin+=,得sin=, sin=sin=cos, 因为α∈(π,2π),所以+∈, 所以cos=-=-, 即sin=-. (3)令t=+,因为x∈,所以t∈, 故函数y=sin+-k在区间上有两个零点即y=sin t的图象与直线y=k-在区间上有两个交点, 如图,由图可知≤k-<1,解得1≤k<, 故k的取值范围是. 16.解析　(1)因为t=,所以f(x)=-2sin2x+2cos x+2=-2(1-cos2x)+2cos x+2=2cos2x+2cos x, 当x∈时,cos x∈[-1,0), 令2cos x(cos x+1)=0,得cos x=-1或cos x=0(舍去),所以x=π. (2)f(x)=-2sin2x+2cos x+3t=2cos2x+2cos x+3t-2, 令k=cos x,因为x∈,所以cos x∈(-1,0),则k∈(-1,0), 因为函数y=cos x在上单调递增，  所以关于k的方程2k2+2k+3t-2=0在(-1,0)上有两个不相等的实数根, 所以 解得<t<,即t的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$