第15章 专题8 与等腰三角形有关的常见辅助线作法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(人教版2024)安徽专版

第十三章　轴对称 专题8　与等腰三角形有关的常见辅助线作法 1 方法1 作平行线构造等腰三角形 2 3 4 5 6 7 1 8 2 针对训练 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F. 求证：DF=EF. 证明：如图，过点D作DG⫽AC，交BC于点G， 2 3 4 5 6 7 1 8 3 ∴∠ACB=∠DGB，∠DGF=∠ECF. ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∴∠DGB=∠B，∴DG=DB. ∵BD=CE，∴DG=CE. 在△DFG和△EFC中， ∴△DFG≌△EFC（AAS）. ∴DF=EF. 2 3 4 5 6 7 1 8 4 2. 如图，在△ABC中，CA=CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD=CE. 求证：DE⊥AB. 证明：证法1：如图1，过点D作DF⫽AB，交BC的延长线于点F， 则∠ADF=∠A，∠F=∠B. ∵CA=CB，∴∠A=∠B，∴∠ADF=∠F. ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED. ∵在△DEF中，∠ADF+∠F+∠CDE+∠CED=180°， 即2（∠ADF+∠CDE）=180°，∴∠ADF+∠CDE=90°， 2 3 4 5 6 7 1 8 5 ∴DE⊥DF，∴DE⊥AB. 证法2：如图2，过点C作CF∥DE，交AB于点F， 则∠ACF=∠D，∠BCF=∠CED. ∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∴∠ACF=∠BCF. 又CA=CB，∴CF⊥AB，∴DE⊥AB. 2 3 4 5 6 7 1 8 6 方法2 “截长补短法”构造等腰三角形 2 3 4 5 6 7 1 8 7 3. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=DC，那么∠C的度数为________. 20° 针对训练 2 3 4 5 6 7 1 8 8 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，交AC于点D. 求证：BC=AB+CD. 证明：证法1（截长法）：如图，在线段BC上截取 BE=BA，连接DE. 2 3 4 5 6 7 1 8 9 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD. 在△ABD和△EBD中， ∴△ABD≌△EBD（SAS）. ∴∠BED=∠A=108°，∴∠DEC=180°-108°=72°. ∵AB=AC，∠A=108°，∴∠C=∴∠CDE=180°-72-36°=72°. ∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE，∴BC=BE+CE=AB+CD. 证法2（补短法）：如图，延长BA至点F，使BF=BC，连接DF. 2 3 4 5 6 7 1 8 10 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD. 在△FBD和△CBD中， ∴△FBD≌△CBD（SAS）. ∴DF=DC，∠F=∠C. ∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠C=×（180°-108°）=36°，∴∠F=∠C=36°. ∵∠FAD=180°-108°=72°，∴∠FDA=180°-36°-72°=72°，∴∠FDA=∠FAD， ∴FD=FA，∴CD=AF， ∴BC=BF=AB+AF=AB+CD. 2 3 4 5 6 7 1 8 11 方法3 “角平分线+垂线”构造等腰三角形 2 3 4 5 6 7 1 8 12 5. 如图，已知S△ABC=24 m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，垂足为D，求△ADC的面积. 针对训练 解：如图，延长BD交AC于点E. 2 3 4 5 6 7 1 8 13 ∵AD平分∠BAC，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°， ∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴BD=DE， ∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC， ∴S△ADC=S△ABC=×24=12（m2）. 2 3 4 5 6 7 1 8 14 6. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB，交AB于点E，过点B作BF⊥CE，交CE的延长线于点F. 若CE=6，求△BEC的面积. 解：如图，延长BF和CA交于点G. ∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF. ∵BF⊥CE，∴∠BFC=∠GFC=90°， ∴∠CBG=∠CGB，∴CG=CB， ∴BF=GF=BG. 2 3 4 5 6 7 1 8 15 ∵∠GFC=∠GAB=90°，∴∠ACF+∠G=90°， ∠ABG+∠G=90°，∴∠ACF=∠ABG. 在△ACE和△ABG中， ∴△ACE≌△ABG（ASA）.∴CE=BG，∴CE=2BF. ∵CE=6，∴BF=CE=3，∴S△BEC= CE·BF= ×6×3=9. 2 3 4 5 6 7 1 8 16 方法4 依据“三线合一”作辅助线 2 3 4 5 6 7 1 8 17 7. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，F为边AB的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动（不与端点重合），且保持AD=CE，连接DE，DF，EF. 在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变； ③AD+BE>DE.其中正确的是 （　　） A. ①②③ B. ① C. ② D. ①② A 针对训练 2 3 4 5 6 7 1 8 18 8. 如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB. 证明：如图，作EF⊥AC，垂足为F. 2 3 4 5 6 7 1 8 19 ∵EA=EC，∴AF=FC= AC. ∵AC=2AB，∴AF=AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. 在△BAE和△FAE中， ∴△BAE≌△FAE（SAS）. ∴∠ABE=∠AFE=90°. ∴EB⊥AB. 2 3 4 5 6 7 1 8 20 21 $$