5.4.2.1 周期性、奇偶性与对称性 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.2.1　周期性、奇偶性与对称性 同步练习 考点一　正、余弦(型)函数的周期性 1.函数f(x)=cos的最小正周期是(　　) A.2π　　B.　　C.π　　D. 2.设ω为实数,函数f(x)=3sinωx+的最小正周期为,则ω的值为(　　) A.2　　B.±4　　C.4π　　D.±4π 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)-f(x)=0,当0≤x<1时, f(x)=sin πx,则f=(　　) A.　　B.1　　C.-　　D. 4.设f(x)=cos ωx(ω>0), f(x1)=-1, f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为π,则ω=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x的最小正周期为(　　) A.　　B.π　　C.2π　　D.π 考点二　正、余弦(型)函数的奇偶性 6.(多选题)下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是(　　) A. f(x)=|cos x|　　B. f(x)=sin 2x　　 C. f(x)=sin　　D. f(x)=cos x 7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0),则“φ=”是“f(x)为偶函数”的　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  8.已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f+f=0,则3a+4b的最小值为　　　　.  考点三　正、余弦(型)函数图象的对称性 9.下列函数中,最小正周期是π且图象关于直线x=对称的是　(　　) A.y=2sin　　B.y=2sin C.y=2sin　　D.y=2sin 10.已知直线x=是函数f(x)=sin(0<ω<8)图象的一条对称轴,则ω的值为(　　) A.3　　B.4　　C.2　　D.1 11.(多选题)已知函数f(x)=sin x+,则(　　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 12.已知函数f(x)=sin(0<φ<π)为偶函数,则f(x)图象的对称中心为　　　　.  考点四　函数周期性、奇偶性与图象的对称性的综合运用 13.设函数f(x)=cos(ωx+φ)为 偶函数.当x1,x2满足|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|有最小值2,则(　　) A.ω=π,φ=0　　B.ω=π,φ= C.ω=,φ=　　D.ω=,φ=0 14.若函数f(x)=有4个零点,则正实数ω的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 15.函数f(x)=1-(x-π)·sin x在区间 上的所有零点之和为(　　) A.0　　B.2π　　C.4π　　D.6π 16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2-x)是偶函数,当x∈(0,2]时, f(x)=-2x2,则f(14)=(　　) A.-8　　B.8　　C.4　　D.-4 17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=sin x,则f=　　　　.  18.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(-x)=0, f(x+1)-f(-x)=0,则f(x)的解析式可以是　　　　.(写出一个即可)  答案 1.C　T===π. 2.B　由题意可得=,则ω=±4. 3.B　因为f(1+x)-f(x)=0,所以f(1+x)=f(x),故函数f(x)的周期为1, 所以f=f=f=sin=1. 4.A　设函数f(x)的最小正周期为T, 因为f(x)=cos ωx(ω>0), f(x1)=-1, f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为π, 所以=π,即T=2π,故ω===1. 5.C　因为f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x, 所以f(x+2π)=sin(x+2π)+sin[2(x+2π)]+sin[3(x+2π)]=sin x+sin(2x+4π)+sin(3x+6π)=sin x+sin 2x+sin 3x=f(x),故2π是f(x)的一个周期, 又y=sin x的最小正周期为2π,所以函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x的最小正周期为2π. 6.AC　对于A, f(x)的定义域为R,因为f(-x)=|cos(-x)|=|cos x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数, 因为y=|cos x|的图象是把y=cos x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,并保留其在x轴及其上方的图象得到的, 所以y=|cos x|的最小正周期为π,所以A满足题意; 对于B, f(x)的定义域为R,因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以B不满足题意; 对于C, f(x)的定义域为R, f(x)=sin=cos 2x,最小正周期为π,因为f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以C满足题意; 对于D,易知f(x)的最小正周期为=4π,所以D不满足题意. 7.答案　充分不必要 解析　当φ=时, f(x)=sin=cos ωx,故函数f(x)为偶函数,即充分性成立;当f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数时,φ=+kπ,k∈Z,此时φ=不一定成立,即必要性不成立,所以“φ=”是“f(x)为偶函数”的充分不必要条件. 8.答案　11+4 解析　易知f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数, 又f+f=0, 所以+-1=0⇒+=1, 则3a+4b=(3a+4b)=11++≥11+2=11+4,当且仅当=,即a=1+,b=2+时取等号,故3a+4b的最小值为11+4. 9.A　对于A,函数y=2sin的最小正周期为=π,且当x=时,2sin=2,即函数图象关于直线x=对称,A满足题意; 对于B,当x=时,2sin=≠±2,即函数图象不关于直线x=对称,B不满足题意; 对于C,当x=时,2sin=1≠±2,即函数图象不关于直线x=对称,C不满足题意; 对于D,函数y=2sin的最小正周期为=4π,D不满足题意. 10.C　依题意得f=sin=±1, 所以ω+=kπ+,k∈Z,即ω=6k+2,k∈Z, 又0<ω<8,所以ω=2. 11.BD　对于A, f=-2,故A错误. 对于B,由sin x≠0得x≠kπ,k∈Z,故f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,又f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x), 所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故B正确. 对于C, f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+, f(π+x)=sin(π+x)+=-sin x-,则f(π-x)≠f(π+x),所以f(x)的图象不关于直线x=π对称,故C错误. 对于D, f=sin+=cos x+, f=sin+=cos x+, 则f=f, 所以f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确. 12.答案　,k∈Z 解析　因为f(x)=sin(0<φ<π)为偶函数, 所以φ=+nπ,n∈Z,又0<φ<π,所以φ=, 所以f(x)=sin=cos x, 由x=+kπ,k∈Z,解得x=+3k,k∈Z, 所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z. 13.D　由已知得f(x)的值域为[-1,1]. 因为当x1,x2满足|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|有最小值2,所以T==2,则ω=,所以f(x)=cos, 又f(x)是偶函数,所以φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=0. 14.B　当x>0时,令log2x+2x=0,易得x=, 因为f(x)有4个零点,所以当-π≤x≤0时, f(x)有3个零点, 因为-π≤x≤0,ω>0,所以-πω+≤ωx+≤, 因此有-3π<-πω+≤-2π,解得≤ω<. 15.C　当x=π时, f(π)=1; 当x≠π时,令f(x)=0,则sin x=, 易知y=sin x(x≠π)的图象关于点(π,0)对称,y=的图象也关于点(π,0)对称,作出两函数的图象,如图所示, 由图象可知,y=sin x(x≠π)与y=的图象在区间上共有四个交点,且两两关于点(π,0)对称, ∴函数f(x)在区间上的所有零点之和为2×2π=4π. 16.B　因为f(2-x)是偶函数,所以f(2+x)=f(2-x), 又因为f(x)是奇函数,所以f(2-x)=-f(x-2), 所以f(2+x)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x), 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为8的周期函数, 所以f(14)=f(14-2×8)=f(-2)=-f(2)=-(-2×22)=8. 17.答案　 解析　因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4. 因为函数f(x)为奇函数,且当x∈[0,1]时, f(x)=sin x, 所以f=f=f=-f=f=sin =. 18.答案　f(x)=sin πx(答案不唯一) 解析　因为f(x)的定义域为R,且f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,由f(x+1)-f(-x)=0,得f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,所以可取f(x)=sin πx. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$