7.3.2三角函数的图象和性质（正切函数）（题型专练）数学苏教版必修第一册

7.3.2（3） 正切函数的图象和性质 题型一 五点法画正切（型）函数的图象 1．（21-22高一·湖南·课后作业）画出函数，的简图． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 题型二 正切（型）函数图象的应用 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 2．（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为 ． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合． (1)满足的集合． (2)满足的集合． (3)满足的集合． 题型三 正切（型）函数的定义域 1．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四 正切（型）函数的单调性 1．（21-22高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．正切函数在定义域上是增函数 B．正切函数在第一、四象限是增函数 C．正切函数在每一个区间上都是增函数 D．正切函数在某一区间上是减函数 2．（2021·陕西榆林·模拟预测）下列四个函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 题型五 根据正切（型）函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为 . 题型六 比较正切等函数值的大小 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）比较大小： . 题型七 解正切（型）函数不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ． 题型八 求正切（型）函数的值域、最值 1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 题型九 由正切（型）函数的值域（最值）求参数 1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 2．（21-22高二上·广西崇左·开学考试）若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为 . 题型十 （含）正切（型）函数的奇偶性 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）判断的奇偶性. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 由正切（型）函数的奇偶性求参数 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）试写出的两个值： 、 ，使得为奇函数． 题型十二 由（含）正切函数的奇偶性求函数值 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知，若，则 ． 2．（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数，若，则 . 3．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ． 题型十三 正切（型）函数的最小正周期 1．（24-25高一下·四川雅安·期末）函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 题型十四 根据正切（型）函数周期求参数 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 题型十五 根据正切（型）函数周期求函数值 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 题型十六 正切（型）函数的对称中心 1.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的对称中心为 ． 题型十七 正切（型）函数对称性的应用 1．（2025高三·广东江苏·专题练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且函数的图象关于点中心对称，则 ． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 题型十八 含绝对值正切（型）函数的图象和性质 1．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 3．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    4．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 题型一 求含tanx(型)函数的定义域 1．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 题型二 正切函数图象和性质的综合问题 1．（多选）（24-25高二下·福建泉州·期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 2．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 3.（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 题型三 含tanx（型）的二次式问题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 3.（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高三上·全国·阶段练习）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 6．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 7．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3.2（3） 正切函数的图象和性质 题型一 五点法画正切（型）函数的图象 1．（21-22高一·湖南·课后作业）画出函数，的简图． 【答案】答案见解析． 【分析】用列表描点法画图． 【详解】列表： 0 1 0 －1 描点连线： 2．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    题型二 正切（型）函数图象的应用 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 2．（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合． (1)满足的集合． (2)满足的集合． (3)满足的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】作出函数的部分图象，观察图象位于x轴上，x轴下方，x轴上方的部分，写出对应区间，问题得解. 【详解】（1）作正切函数的部分图象如下： 观察图象可知： 为函数图象的零点，即， 所以，的解集为； （2）当时，图象位于x轴下方，即， 所以，的解集为； （3）当时，图象位于x轴上方，即， 所以，的解集为 题型三 正切（型）函数的定义域 1．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于不等式求解即可. 【详解】由，可得． 所以函数的定义域为. 故选：A. 题型四 正切（型）函数的单调性 1．（21-22高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．正切函数在定义域上是增函数 B．正切函数在第一、四象限是增函数 C．正切函数在每一个区间上都是增函数 D．正切函数在某一区间上是减函数 【答案】C 【分析】由正切函数的单调性可得出结论. 【详解】由正切函数的单调性可知，正切函数在每一个区间上都是增函数， 正切函数在定义域上不单调， 正切函数在第一、四象限不单调， 正切函数不存在减区间，ABD错，C对. 故选：C. 2．（2021·陕西榆林·模拟预测）下列四个函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性判断即可. 【详解】对A，因为在上递增，所以在上单调递减，故A错误； 对B，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C正确； 对D，由C知，在上单调递减，故D错误. 故答案为：C 3．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 4.（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 题型五 根据正切（型）函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】运用正切型函数的单调性得到，再根据正弦型函数的周期计算即可. 【详解】令，得， 又的单调递增区间为，所以， 于是，其最小正周期. 故答案为：. 题型六 比较正切等函数值的大小 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】思路一：由三角函数性质即可求解；思路二：作出的图象即可判断. 【详解】方法一：，又． 方法二：数形结合，如图，作出函数在上的图象， ，则的纵坐标分别对应， 则，．    故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）比较大小： . 【答案】> 【分析】利用诱导公式得到，，根据在内的单调性，比较出大小. 【详解】∵，. 又，在内单调递增， ∴， ∴. 故答案为：> 题型七 解正切（型）函数不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】说明为奇函数，且在上单调递增，故原不等式等价于，且，结合的单调性即可求解. 【详解】设，，定义域为关于原点对称， 所以为奇函数． 因为，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增． 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以，又函数在区间上单调递增， 由得，，解得 故答案为：. 题型八 求正切（型）函数的值域、最值 1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 【答案】 【分析】求出在的范围即可求解. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 题型九 由正切（型）函数的值域（最值）求参数 1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 【答案】/ 【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立等式，解出即可. 【详解】解：取，解得， 所以在上单调递增， 即在上单调递减， 因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3， 所以，且，， 即，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 2．（21-22高二上·广西崇左·开学考试）若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】因为函数，的图象都在轴上方， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 题型十 （含）正切（型）函数的奇偶性 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）判断的奇偶性. 【答案】奇函数 【分析】利用奇函数的定义可得结论. 【详解】定义域为，关于原点对称， ∵，∴它是奇函数. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 题型十一 由正切（型）函数的奇偶性求参数 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）试写出的两个值： 、 ，使得为奇函数． 【答案】 0 【分析】根据正切函数的奇偶性及诱导公式即可求解． 【详解】因为为奇函数，所以满足题意； 当时，，， 因为，为奇函数，所以满足题意， 故答案为：0，． 题型十二 由（含）正切函数的奇偶性求函数值 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出目标值. 【详解】函数，而， 则 ， 所以. 故答案为：1 2．（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】令，由函数为奇函数可得，进而得到，又，进而求解. 【详解】令，易知：函数为奇函数， 则，即， 由于， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 题型十三 正切（型）函数的最小正周期 1．（24-25高一下·四川雅安·期末）函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正切函数的周期公式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为. 故选：A. 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期， 故选：C． 题型十四 根据正切（型）函数周期求参数 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 【答案】A 【分析】根据正切型函数的性质，，求出的取值，再带入点，结合的限制条件，求出的取值. 【详解】根据函数性质，，求得， 代入点得，又有，. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数的最小正周期为，结合周期，即可得到答案. 【详解】由正切型函数的图象与性质，可得函数的最小正周期为， 所以直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 题型十五 根据正切（型）函数周期求函数值 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数周期及解析式求值即可. 【详解】由周期为可得， ， 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由函数是周期为3的周期函数，计算的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是周期为3的周期函数， 且，，， 所以． 故选：B. 3．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 题型十六 正切（型）函数的对称中心 1.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数对称中心公式列式计算即可. 【详解】令，则， 故的对称中心为，. 故答案为：，. 题型十七 正切（型）函数对称性的应用 1．（2025高三·广东江苏·专题练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即． 故选：C 2．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由对称中心求得，再通过正切函数的单调区间整体代换即可. 【详解】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且函数的图象关于点中心对称，则 ． 【答案】 【分析】结合题意易得，进而结合正切函数的周期求解即可. 【详解】由题得，解得， 又，当时，，故， 因此函数的最小正周期为， 又，，， 则． 故答案为：. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 题型十八 含绝对值正切（型）函数的图象和性质 1．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 2．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】A选项将和代入函数中即可判断；B选项利用正切函数的定义域可求解；C选项利用周期的定义进行判断；D选项借助函数的图象进行判断即可. 【详解】 对于A选项，，， ，故A正确； 对于B选项，要使有意义，则有， 的定义域是，故B正确； 对于C选项，， 是的一个周期，故C正确； 对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误. 故选：D. 3．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【分析】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 题型一 求含tanx(型)函数的定义域 1．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据定义域的定义列不等式求解即可. 【详解】由题意得，即， 如图，取公共部分，即得．    故答案为：. 题型二 正切函数图象和性质的综合问题 1．（多选）（24-25高二下·福建泉州·期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BC 【分析】根据正切型函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】令，则，A错； 由，则，故在上单调递增，B对； 由，显然是的一个对称中心，C对； 由正切型函数的性质知，的最小正周期为，D错. 故选：BC 2．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 【答案】AD 【分析】利用周期的定义可判断A，由正切函数的定义域可判断B，由正切函数的单调性可判断C，结合单调性可判断D. 【详解】因为，所以的一个周期为，A正确； 由，解得，所以的定义域为，B错误； 不能说正切函数在定义域内是增函数，C错误； 由，解得，当时，可得在上单调递增，所以，D正确． 故选：AD 3.（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】A选项，由图象可以看出函数的最小正周期，求出；B选项，将代入，结合得到；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，由图象可以看出的最小正周期为， 又故，A错误； B选项，将代入得，解得， 因为，所以只有时，满足要求， 故，B正确； C选项，， 的图象与轴的交点坐标为，C正确； D选项，时，， 由于的一个对称中心为， 故函数的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD 题型三 含tanx（型）的二次式问题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 3.（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【答案】4 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出单位圆，，由，有，得到，再根据，有即可得到答案． 【详解】作出单位圆，，用三角函数线进行求解，如图所示，因为， 所以有，所以，即． 由图可知，即， 所以，即． 综上，． 故选：B. 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的性质得到，进而得到，再利用对数函数的单调性与换底公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 所以，，即， 所以， 即，则， 因为，， ， 所以. 故选：C. 3．（19-20高三上·全国·阶段练习）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为， 所以的周期为，则， 所以， 由正弦函数和正切函数图象可知A正确. 故选：A. 4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 6．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）换元，令，区间是正切函数定义域的子集，可求出答案. （2）换元，令，正切函数第二个对称中心的横坐标在区间内，即可得到答案. 【详解】（1）令， 依题意可得，， 所以， ， 又因为，所以当且仅当时符合题意，此时， 所以. 故的最大值为1. （2）令， 由在区间上的对称中心依次为：,,, 所以依题意只需， 此时可得，即， 又由第一问可知. 故的取值范围为：. 7．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ） 【分析】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可； （2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算. 【详解】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$