2.2 用配方法求解一元二次方程同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 基础夯实 知识点 1 用直接开平方法解一元二次方程 1.「2025山西运城实验中学期中」关于y的一元二次方程 的解是 ( ) A. y=2 2.关于x的方程 无实数根，那么m满足的条件是 ( ) A. m>2 B. m<2 C. m>1 D. m<1 3.解方程： (1)「2025江苏靖江期中」 (2)「2025江苏靖江期中」 (3)「2024江西萍乡期末」 知识点2用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程 4.「2024山东东营中考」用配方法解一元二次方程 2x-2023=0,将它转化为( 的形式，则aᵇ的值为 ( ) A.-2024 B.2 024 C.-1 D.1 5.填上适当的数，使下列等式成立： 6.「2024山西晋中寿阳月考」下面是王磊同学用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务. 解： ， 第一步 x2 + 4 x + 4 = 1 + 4 , 第二步 (x + 4)2 = 5 , 第三步 x + 4 = ± , 第四步 X1= - 4 +, x2 = - 4 -. 第五步 任务一： ①以上解题过程中，第二步的依据是 ; ②第 步开始出现错误. 任 务 二：该方 程 正 确 的 根 为 ` 7.用配方法解下列方程： (1)「2025甘肃兰州期中 8. 配方后得到方程 则 c的值为 ( ) A.-3 B.0 C.3 D.9 9.如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为 ( ) 10.定义新运算：对于任意实数m，n，都有 等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算.例如：(-3)⊗2= 若x⊗4=20,则x的值是 11.如图，公园原有一块长18 m，宽6m 的矩形空地，后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开.如果各区域鲜花面积和为85 m²，求所铺设的石子路的宽度. 12.阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题： 解方程:x(x-2)=3. 解:原方程变形得[(x-1)+1][(x-1)-1]=3, 两边开平方，得x-1=±2，解得 我们称这种解法为“和差数法”. 应用：用“和差数法”解方程((x+1)(x+5)=12. 素养提优 13.形如 的方程，求正数解的一种几何方法：如图①，先构造一个面积为x² 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 x的矩形，再将图形补全为一个大正方形，易知大正方形的面积为 则大正方形的边长为8，故该方程的正数解为 小明按此方法解关于x的方程 时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为 . 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 基础夯实 知识点用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程 1.「2024山东青岛五十三中月考」用配方法解下列方程，配方错误的是 ( ) 化为( 化为 化为 化为 2.「2025江苏连云港灌南月考」某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，这位同学是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.「2025宁夏银川六中月考」下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解： 二次项系数化为1，得x2 + 4 x - 3 = 0 . 第一步 移项，得.x2 + 4 x = 3 . 第二步 配方，得 ,即(x+4)²=19. 第三步 由此，可得.x + 4 = ± . 第四步 所以x1 = - 4 , x2 = - - 4 . 第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 (填“消元”或“降次”)；“配方法”所依据的数学公式是 (填“完全平方公式”或“平方差公式”). (2)“第二步”变形的数学依据是 (3)小明同学解题过程中，从第 步开始出 现 错 误，请直 接 写 出 正 确 的 结 果： 4.用配方法解方程： (1) (2) (3) (4)(x-3)(2x+1)=-5. 5. bx+a=0得 则b的值为 ( ) A.-6 B.-3 C.6 D.3 6.若 2y+8x+3(x、y为实数),求 W的最小值. 素养提优 7.新运算能力 已知： 求下列各式的值. 微专题利用配方法求二次三项式的最值 例题 「2025 贵州贵阳期中改编」阅读材料： 数学课上，老师在求代数式 的最小值时，利用公式 对式子作如下变形： 因为 所以 当x=2时， 因此( 有最小值1,即 的最小值为1. 解决问题： (1)代数式 的最小值为 . (2)代数式 的最大值为 . 变式1「2024河南商水期中」已知代数式 可以利用配方法变形为 进而可知 的最小值是 5.类似地，代数式 的最小值是 变式2 当x取何值时，代数式 有最大值或最小值?并求出最大值或最小值. 2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 基础夯实 1. 故选 B. 2 C 当1-m<0时,方程无解,故m>1.故选C. 3.解析 (3)由原方程,得3x-1=±2×(2x+3),则3x-1=4x+6或3x-1=-4x-6,整理,得x=-7或7x=-5, 即(x-1)²=2024,∴a=-1,b=20 故选D. 5.答案 (1)4 (2)36;6 6.答案 等式的基本性质1；三； 解析 任务一；①第二步在 的等号两边同时加4，依据是等式的基本性质1. ②第三步应为( 故从第三步开始出现错误.任务二： 7.解析 即 即 能力提升 8. C 方程 移项得 配方得 即 ∴2c=-c+9,解得c=3,故选 C. 9C 由题意得 整理得 直接开平方得x-1=2或x-1=-2,解得 故选 C. 10.答案 ±2 解析 4,解得x=±2,故答案为±2. 11.解析 设所铺设的石子路的宽度为 xm，则种植鲜花的部分可合成长为(18-x)m,宽为(6-x)m的矩形,根据题意得(18-x)(6-x)=85, 整理得 解得 3(不符合题意，舍去). 答：所铺设的石子路的宽度为 1m . 12.解析 原方程变形得[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, 两边开平方,得x+3=±4,解得 素养提优 13.答案 解析 根据题意知，构造题图②的方法：先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 x的矩形，再将图形补全为一个大正方形，则大正方形的面积为 则该方程的正数解为 第2 课时 用配方法解较复杂的 一元二次方程 基础夯实 1. C . 移项得 配方得 1=99+1,即( 此选项配方正确，不符合题意； 移项得 则 配方得 即 此选项配方正确，不符合题意；( 移项得 配方得 即 此选项配方错误，符合题意； 移项得 则 配方得 即 此选项配方正确，不符合题意.故选 C. 所以 所以这位同学是乙，故选B. 3.解析 (1)降次；完全平方公式. (2)等式的基本性质1. 二次项系数化为1，得 移项，得 配方，得 即 由此，可得 所以 故从第三步开始出现错误，正确结果为 4.解析 即 (4)原方程可化为 即 能力提升 则 ∴ b=6,故选 C. 6 解析 ··x,y为实数, ..W≥-2,∴W的最小值为-2. 素养提优 7.解析 所以 (2)由 得 所以 微专题 利用配方法求二次三项式的最值例题 答案 (1)3 (2)10 解析 当x=-3时， 因此 有最小值3，即代数式 的最小值为3.故答案为3. 由于 所以 当x=1时, 则 的最大值为10. 变式1 答案 解析 所以代数式 的最小值是 变式2 解析 当x=3时, 故当x=3时, 有最大值，最大值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$