2.2用配方法求解一元二次方程(2) 导学案 　　2025—2026学年北师大版数学九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程(2)导学案 【学习目标】用配方法解较复杂的一元二次方程． 【学习重难点】利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． 【导学过程】 一.知识回顾 1．配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？①移,②配,③开方④写解. 2．用配方法解方程：（1） （2） 二.探究新知： 1．引入：解下列方程： 练习：1.解方程：（1） 解：x2+x-1=0 x2+x=1 x2+x+=1+即 x+=或x+=- ∴x1=,x2=-3 （2） 解： （1）； （2）． 解（1）方程两边同除以3，得，.(系数化为1） 移项，得，...........................................(移项) 配方，得，即，(配方) 两边开平方，得，................(直接开平方) 即或，........................(求出解) 所以，． （2）移项，得，...................(移项) 方程两边同除以2，得，.......（系数化为1） 配方，得，即，...(配方) 两边开平方，得，............(直接开平方) 即或， 所以，．......................(求出解) 2．归纳：解题步骤:（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根． 三.典例与练习： 例1.解下列方程：（1） （2） 解：(1) x1=2 x2= (2) 练习：2．解下列方程：（1） （2） 解：（1） （2） 例2．用配方法证明：无论x取何值，的值总不小于1． 证：∵=（x-2)2+1≥1∴的值总不小于1. 练习：3.试确定当x取何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵=（x+3)2-14≥-14∴当x=-3时，有最小值，最小值是-14 四.课堂小结：用配方法解一元二次方程的步骤：①系数化为1，②移项，③配方，④变形，⑤直接开平方，⑥求解，⑦写出原方程的解. 五.分层过关： 1．解方程：（1） （2） （3） （4） （1） (2) (3) (4) 2．解方程：（1） （2） (1) (2) 3．当x=-1时，代数式的值最小？最小值为 -7 ． 4．如图，矩形ABCD，AB=16cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．何时点P和点Q之间的距离是10cm？E 解：作PE⊥CD于E点，设运动时间为t，则QE=16-3t-2t=16-5t,PE=6,由勾股定理得： PE2+QE2=PQ2,即：62+(16-5t)2=100,解得： 答：当P点运动4.8s或1.6s时，P和Q之间的距离是10cm.图1 5.一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：，小球何时能达到10m高？解：当h=10时，即：解得：t1=1，t2=2答：小球在1s或2s时能达到10m高. 思考题：如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米． （1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 解：（1）依题意得，BC＝100﹣4x．则y＝（100﹣4x）x．图2 （2）设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x＝400，解得 x1＝20，x2＝5．则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80． ∵80＞25，∴x2＝5，舍去．即AB＝20，BC＝20．答：当20为何值时，矩形场地的总面积为400平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2用配方法求解一元二次方程(2)导学案 【学习目标】用配方法解较复杂的一元二次方程． 【学习重难点】利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． 【导学过程】 一.知识回顾 1．配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？①_________,②_________,③________④________. 2．用配方法解方程：（1） （2） 二.探究新知： 1．引入：解下列方程： 练习：1.解方程：（1） 解： （2） 解： （1）； （2）． 解（1）方程两边同除以3，得，(系数化为1） 移项，得，..................(移项) 配方，得，即，(配方) 两边开平方，得，..........(直接开平方) 即或，...............(求出解) 所以，． （2）移项，得，...........(移项) 方程两边同除以2，得，(系数化为1） 配方，得，即，(配方) 两边开平方，得，........(直接开平方) 即或， 所以，．..............(求出解) 2．归纳：解题步骤:（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根． 三.典例与练习： 例1.解下列方程：（1） （2） 练习：2．解下列方程：（1） （2） 例2．用配方法证明：无论x取何值，的值总不小于1． 练习：3.试确定当x取何值时，有最小值，最小值是多少？ 四.课堂小结：1.用配方法解一元二次方程的步骤：①系数化为1，②移项，③配方，④变形，⑤直接开平方，⑥求解，⑦写出原方程的解. 五.分层过关： 1．解方程：（1） （2） （3） （4） 2．解方程：（1） （2） 3．当x = 时，代数式的值最小？最小值为 ． 4．如图，矩形ABCD，AB=16cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．何时点P和点Q之间的距离是10cm？ 5.一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系：，小球何时能达到10m高？ 思考题：如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米． （1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$