2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 基础夯实 知识点 1 用公式法解一元二次方程 1.利用公式法解一元二次方程 可得两根为a、b,且a>b,则a的值为 ( ) 2.「2025 湖南娄底双峰月考」在用 求 根 公 式 x = 求一元二次方程的根时，小珺正确地代 入 了 a, b, c 之 后, 得 到 x = 则她求解的一元二次方程是 ( ) 3.新过程性学习题「2025甘肃嘉峪关五中期中」嘉嘉同学解一元二次方程 的过程如下. 解： ① a=2,b=1,c=1,② ) 方程有两个相等的实数根 (1)嘉嘉解方程的方法是 (填“公式法”或“配方法”)，他的求解过程从第 步开始出现错误. (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根. 4.能够对待选用公式法解下列方程. (4)(3x-2)(x+2)=28. 知识点 2 一元二次方程根的判别式 5.「2024上海中考」以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( ) 6.「2024云南中考」若一元二次方程 无实数根，则实数c的取值范围为 7.「2024江苏南通中考」已知关于x的一元二次方程 2x+k=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意的k的值： . 8.易错题「2023湖北荆州中考」已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)当k=1时，用配方法解方程. 9.「2024山东潍坊中考， 其中m,n满足m-2n=3,关于该方程根的情况，下列判断正确的是 ( ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 10.新新建义题 「2024江苏宿迁中考改编，〔论〕规定：对于任意实数a、b、c,有【a,b】★c= ac+b,，其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 () 且m≠0 且m≠0 11.能易错题「2024浙江台州温岭期中，食欲」直线y=x+a不经过第二象限，则关于x 的方程 的实数解的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 12.「2023浙江杭州中考，☆☆」设一元二次方程. c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b=2,c=1; ②b=3,c=1; ③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 注：如果选择多组条件分别作答，那么按第一个解答计分. 13.新影数推理 「2025江苏泗阳期中，”已知关于x 的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求k的取值范围. (2)方程的一个根可以为1吗?如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由. 素养提优 14.新运动能力 副分类讨论 已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)已知 是关于x的方程. 的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两边长,求△ABC的周长. 第2课时 用公式法求解一元二次方程在实际生活中的应用 基础夯实 知识点 利用一元二次方程解决面积问题 1.「2023黑龙江哈尔滨中考」为了改善居民生活环境，某小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是 ( ) A. x(x-6)=720 B. x(x+6)=720 C. x(x-6)=360 D. x(x+6)=360 2.「2025山东商河期中」如图,在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600 m²，则小路的宽是 ( ) A.5m B.70 m C.5m 或70 m D.10 m 3.「2025河北任丘期中」某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙(墙长22米)的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为 ( ) A.10米 B.12米 C.15米 D.不存在 4. 教材变式 如图,由点A(a,0),O(0,0),B(-a,a+3)(a>0)确定的三角形的面积为2，求a的值. 能力提升 5.「2025河北衡水九中期中, 幽,」在一块长16m,宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案. (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合，请用方程的方法说明理由. (2)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上颜色，并写出你的设计方案. 3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 1. D 3x²-11x-1=0,a=3,b=-11,c=-1,..Δ=(-11)²- ∵一元二次方程 的两根为a、b,且a>b,∴a的值为 故选 D. 2. A 根据 以及求根公式x= 对应求出a=2,b=-3,c=-1,则该一元二次方程为 故选A. 3.解析 (1)公式法;②. 中,a=2,b=~1,c=-1, 4.解析 (1)∵α=1,b=-1,c=-7, (2)整理,得3x²-2x-1=0,∴a=3,b=-2,c=-1, ∴b²-4ac=6+140=146>0, (4)整理,得 ∴a=3,b=4,c=-32, 方法解读 利用求根公式解一元二次方程的一般步骤先将方程化为一般形式，然后计算b²-4ac的值,当b²-4ac 的值大于或等于零时，再代入求根公式求解. 5. D 由 知 有两个不等实数根，故A 不符合题意； 由 知 有两个不等实数根，故B 不符合题意； 由 知 有两个不等实数根，故C 不符合题意； 由 知 有两个相等实数根，故D符合题意. 故选 D. 6.答案 c>∫ 解析 ∵一元二次方程 无实数根，∴△= 7.答案 -Ⅰ(答案不唯一) 解析 ∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 解得 k<1.故k可以为-1(k的值不唯一，小于1 即可). 8解析 (1)∵关于x的一元二次方程 k-6=0有两个不相等的实数根，∴Δ=[-(2k+4)]²- 4k(k-6)>0,且k≠0,解得 且k≠0. (2)当k=1时,原方程为. 即 移项得 配方得 即 所以 解得 易错警示 易忽略二次项系数不为0的前提条件. 能力提升 原方程有两个不相等的实数根，故选 C. 10. D 根据题意得x(mx)+x+1=0,整理得 0,∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，∴ 且m≠0,解得 且m≠0.故选 D. 11. D ∵直线y=x+a不经过第二象限,∴a≤0.当α=0时，关于x的方程 是一元一次方程，解为 当a<0时，关于x的方程 是一元二次方程，∵ ∴方程有两个不相等的实数根.故选 D. 易错警示 本题易忽视a=0的情况. 12.解析 ∵方程有两个不相等的实数根， 即b²>4c,∴②③均可.选②，则这个方程为 选③，则这个方程为 13.解析 (1)根据题意得 8k-4≥0,∴k≥ ,∴k的取值范围为 (2)可以.把x=1代入 得 2k+1=0,解得 当k=1时，原方程有实数根，∴方程的一个根可以为1，此时k的值为1. 方法总结 一元二次方程 的根的情况 ⇔方程有两个不相等的实数根； ⇔方程有两个相等的实数根； )⇔方程没有实数根. 素养提优 14 解析 (1)证明:∵a=1,b=-(k+2),c=k-1, ∴ 无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根. (2)把 代入方程 得 解得 方程为 解得 ··这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，∴有两种情况：①当腰长为- 时，. ∴不能组成三角形，不合题意. ②当腰长为5时，∵ 能组成三角形. ∴这个等腰三角形的三边长分别为- ,5,5, ∴△ABC的周长为2 易错提示 本题易因忽略三角形的三边关系致错. 第2课时 用公式法求解一元二次方程在实际生活中的应用 基础夯实 1. A矩形空地的长为x米，则矩形空地的宽为(x-6)米，由题意可得x(x-6)=720,故选 A. 2. A设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100-2x)m,宽为(50-2x)m的矩形, 根据题意得(100-2x)(50-2x)= 3 600,整理得 75x+350=0,解得x₁=5,x₂=70(不符合题意,舍去),∴小路的宽是5m .故选 A. 3. C设菜地垂直于墙的一边的长为x米，由题意列方程可得x(49+1-2x)=300,解得 当x=10时,49+1-2x=30,30>22,不符合题意,舍去;当x=15时,49+1-2x=20,20<22,符合题意.所以菜地垂直于墙的一边的长为15 米.故选 C. 4解析 由△AOB的面积为2，得 化简，得 解得a=-4(不符合题意,舍去)或a=1. 故a的值为1. 能力提升 5解析 (1)不符合.理由：设小路的宽度均为 x m，根据题意得 解得 12.但 不符合题意，应舍去，∴x=2. ..小芳的方案不符合条件. (2)答案不唯一 例如： 左边的图形，取上边的边的中点作为三角形的顶点，下边的边的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右边的图形有横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，小路的宽为4米时，除去小路后剩下部分的面积为矩形面积的一半. 学科网（北京）股份有限公司 $$