2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 基础夯实 知识点 1 用因式分解法解一元二次方程 1.「2025广西防城港期中」方程(x-1)(x+3)=0的根是( ) 2.「2024贵州中考」一元二次方程 的解是( ) 3.「2025天津南开期中」已知一元二次方程的解为 则这个方程可以为 ( ) A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.(x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 4.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 ( ) A.1或3 B.-1或-3 C.1或-1 D.3或-3 5.「2025河北任丘期中」下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 答案解： 方程两边同时除以(x+3),得2(x+3)=x. … 第一步 去括号,得2x+6=x. 第二步 移项、合并同类项，得x=-6. 第三步 任务一：以上解方程的过程，从第 步开始出现错误，错误的原因是 . 任务二：请你写出正确的解答过程. 见答案册D22 6.用因式分解法解方程： (2)「2025河南平顶山期中」7x(5x+2)=6(5x+2). (3)「2025河南内乡期中 (4)「2025黑龙江海伦期中」 知识点2 灵活选择方法解一元二次方程 7.解下列方程：①3x²-27=0;②x²-3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)²=3x-1.:最适当的解法是( ) A.依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B.依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 C.①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 D.①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 8.用合适的方法解下列方程： 能力提升 9.一元二次方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 ( ) A.10 B.10或8 C.9 D.8 10.若实数m、n满足 则 的值为( ) A.2 B.6 C.6或-2 D.6或2 11.如图,E 为矩形 ABCD 对角线AC上的一点,AE=AB=3,AD=4,则方程: 6x-16=0的正数解是 ( ) A.线段AE 的长 B.线段BE 的长 C.线段 CE 的长 D.线段AC的长 12. 这就是说，对于二次三项式 若能找到两个数a,b,使 就有 ab=(x+a)(x+b).这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项系数”，即a，b的乘积等于常数项，a，b的和为一次项系数，利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程. 素养提优 13.新课标运算能力 对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※ 例如:∵4>1,∴4※1=4×1-1²=3. (1)计算:2※(-1)= ,(-1)※2= (2)若x₁和x₂是方程 的两个根，且 ,求x₁※x₂的值. (3)若x※2与3※x的值相等,求x的值. 14.阅读材料，并完成相应的任务. 答案解含绝对值的方程： 解：分两种情况： 当x≥0时，原方程可化为 解得x=6或x=-1(舍去). 当x<0时，原方程可化为 解得x=-6或x=1(舍去). 综上所述，原方程的解是 任务：请参照上述方法解方程 4 用因式分解法求解一元二次方程 基础夯实 1. C . (x-1)(x+3)=0,∴x-1=0或:x+3=0,∴x₁=1, 故选 C. 2. B x²-2x=0,x(x-2)=0,则x=0或x-2=0,解得x;= 故选B. 3. A.方程的解为 ..方程可以为(x+4)(x-3)=0,故选A. 4. A ∵代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数, ∴x(x-1)+3(1-x)=0,即(x-3)(x-1)=0, ∴x-3=0或x-1=0,解得x=3或x=1.故选A. 5.解析 任务一：从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以一个值可能为0的代数式(x+3). 任务二：移项得 ∴(x+3)[2(x+3)-x]=0,则(x+3)(x+6)=0, 6解析 (1)y²-2y-35=0,(y-7)(y+5)=0,∴y-7=0或y+5=0. 解得 (2)原方程整理得7x(5x+2)-6(5x+2)=0, ∴(7x-6)(5x+2)=0, ∴7x-6=0或5x+2=0,解得 (3)x²-1=3(x+1),(x+1)(x-1)-3(x+1)=0, ∴[(5x-2)+3(x+3)][(5x-2)-3(x+3)]=0, ∴(8x+7)(2x-11)=0,解得 没有一次项，适合用直接开平方法； ，一次项系数为奇数，适合用公式法；③(x+2)(x+4)=x+2,方程两边都有因式(x+2),适合用因式分解法；( 方程两边都有因式(3x-1)，适合用因式分解法.故选D. 方法解读选用合适的方法解一元二次方程 若方程易化为 的形式，则选用直接开平方法；若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则选用配方法；若将方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则选用因式分解法；若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则选用公式法. 8.解析 17 (2)整理得 则a=2,b=-7,c=3, 即3(x+1)=2x-5或:3(x+1)=-(2x-5), 即 能力提升 9. A x²-6x+8=0,(x-4)(x-2)=0,所以x-4=0或x-2=0,解得 因为：2，2，4无法作为三角形的三边长，所以这个等腰三角形的腰长为4，底边长为2，所以这个三角形的周长为4+4+2=10.故选 A. 易错提示 解出方程的解后要考虑是否满足三角形三边关系， 10 B 设 则原方程可化为 (y-6)(y+2)=0,解得y₁=6,y₂=-2, 因为 所以 的值为6.故选B. 11. Cx²+6x-16=0,(x-2)(x+8)=0,∴x-2=0或x+8=0,解得x=2 或x=-8.∵ 四边形 ABCD 是矩形,AE=AB=3,.. BC=AD =4,∠ABC =90°,.. AC =√AB²+BC²=5,∴ CE=AC-AE=5-3=2.∴方程 6x-16=0的正数解是线段 CE 的长.故选 C. 12解析 (1)∵x²-3x-4=0,∴(x-4)(x+1)=0, .. x-4=0或 (2)∵x²+4x-5=0,∴(x+5)(x-1)=0, ∴x+5=0或 素养提优 13 解析 (1)由题意知2※(-1)=2×(-1)-(-1)²=-2-1=-3. (-1)※2 故答案为-3;6. (2)解方程 得x=-1或x=7.因为 所以 所以x₁※ ※ (3)由题意知x※2=3※x.当x<2 时,有 x²，整理得 解得 (舍去). 当2≤x≤3时,有 整理得 解得 (舍去). 当x>3时,有 整理得 解得： l(舍去),x₂=4. 综上所述，x的值为1或 或4. 14.解析 分两种情况： 当x≥0时，原方程可化为 解得x=2或x=-1(舍去). 当x<0时，原方程可化为 解得x=-2或x=1(舍去). 综上所述，原方程的解是 学科网（北京）股份有限公司 $$