专题04 全等三角形的判定（题型专练）-2025-2026学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题04 全等三角形的判定 目录 【题型一 “边角边”(SAS)证明三角形全等】 1 【题型二 “角边角”(ASA)证明三角形全等】 2 【题型三 “角角边”(AAS)证明三角形全等】 3 【题型四 “边边边”(SSS)证明三角形全等】 4 【题型五 三角形的稳定性】 4 【题型六 斜边直角边（HL）证明三角形全等】 5 【题型七 灵活选用方法证明三角形全等】 6 【题型八 二次证明三角形全等】 7 【题型一 “边角边”(SAS)证明三角形全等】 例题：（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、相交于点E，，．求证． 【题型二 “角边角”(ASA)证明三角形全等】 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【题型三 “角角边”(AAS)证明三角形全等】 例题：（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【题型四 “边边边”(SSS)证明三角形全等】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【题型五 三角形的稳定性】 例题：（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的 ． 【题型六 斜边直角边（HL）证明三角形全等】 例题：（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可） 【变式训练】 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 2．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【题型七 灵活选用方法证明三角形全等】 例题：（25-26八年级上·全国·单元测试）下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，于点D，于点E，与相交于点F，连接，则图中的全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）根据下列条件，能作出唯一的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【题型八 二次证明三角形全等】 例题：如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 2．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 一、单选题 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 5．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，于点E，于点F，则下列条件中，能判定的有 ．（请填写序号）①；②；③；④． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，若，则 ． 9．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 10．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 12．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 14．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在同一条直线上，点在上，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形的判定 目录 【题型一 “边角边”(SAS)证明三角形全等】 1 【题型二 “角边角”(ASA)证明三角形全等】 3 【题型三 “角角边”(AAS)证明三角形全等】 5 【题型四 “边边边”(SSS)证明三角形全等】 7 【题型五 三角形的稳定性】 9 【题型六 斜边直角边（HL）证明三角形全等】 10 【题型七 灵活选用方法证明三角形全等】 12 【题型八 二次证明三角形全等】 14 【题型一 “边角边”(SAS)证明三角形全等】 例题：（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 【变式训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、相交于点E，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【题型二 “角边角”(ASA)证明三角形全等】 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 利用“”判定定理添加条件即可． 【详解】解：当，，添加后，可用“”判定， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由即可得出． 【详解】证明：在和中， ． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三 “角角边”(AAS)证明三角形全等】 例题：（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 【题型四 “边边边”(SSS)证明三角形全等】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由已知得，即，利用边边边即可判定全等． 【详解】解：这两个三角形全等； 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 【题型五 三角形的稳定性】 例题：（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：构成，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，利用三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 【题型六 斜边直角边（HL）证明三角形全等】 例题：（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据推出，再考虑添加的条件即可． 【详解】解：条件可以是：； 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌． 故答案为： （答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 2．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 【题型七 灵活选用方法证明三角形全等】 例题：（25-26八年级上·全国·单元测试）下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、只有两条边，不能画出唯一的，不符合题意； B、只有一边一角，不能画出唯一的，不符合题意； C、能画出唯一的，符合题意； D、不能画出唯一的，不符合题意； 故选C． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，于点D，于点E，与相交于点F，连接，则图中的全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 由条件先根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，进一步证明可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， 在与中， ∴， ∴全等的三角形共有5对， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）根据下列条件，能作出唯一的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； B.根据三角形的三边关系，该三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.根据全等三角形的判定定理（角边角），能作出唯一的，符合题意； D. 根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； 故选：C． 【题型八 二次证明三角形全等】 例题：如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，则，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：连接，如图， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 2．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值． 【详解】解：， ， 根据三角形全等的判定方法可知： ①当P运动到时， ∵， 在与中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，， 在与中， ， ∴， 即， 综上所述，当的值为或时，与全等， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 5．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据“”证即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，于点E，于点F，则下列条件中，能判定的有 ．（请填写序号）①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，依据可得可判定①，依据可得可判定②，依据可得可判定③，依据可得可判定④． 【详解】解： ， ， 对①和中， ∵， 则依据可得， 故①正确； 对②由于， 所以， 则在和中， ∵， 那么依据可得，故②正确； 对③在和中，， 则依据可得，故③正确； 对④由于， 所以， 则在和中，， 那么依据可得，故④正确. 故答案为：①②③④． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，若，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．先证明，得出，根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 9．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明，得出，从而可证，结合，，即可求出，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 10．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意先证明，进一步推得，再证明，求出的长，即可利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：，是高， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ∴， ∵， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，然后根据即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 12．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明三角形全等. （1）根据平行线得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， ∴. 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，，；（2）；（3）6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】解：（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 故答案为：已作，对顶角相等，，； （2）由（1），得，且，， ． 在中，． 又 ． 故答案为：． （3）如图，延长交的延长线于点． ， ． 在和中， ， ． 又且， ， ， ． 故的长是6． 14．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 15．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在同一条直线上，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，先根据三角形的外角性质证明∠DEF=∠ACF，再根据得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：如图所示： 根据三角形的外角性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$