学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（辽宁专用，北师大版第一章～第四章）

( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 5 小题，每小题3分，共1 5 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 1 ． ______________ 1 2 ． ______________ 1 3 ． ______________ 1 4 ． ______________ 1 5． ______________ 三、解答题（本题共 8 小题，共7 5 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 1 6 ．（ 16 分） ) ( 1 7 ．（ 5 分） 1 8 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 8 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 23．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 3．如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 9．我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（    ） A．2，8 B．3，8 C．2，9 D．3，9 10．如图，正方形的对角线在直线上，点A在第一象限．若正方形的面积是50，则点A的坐标为（   ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 12．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 13．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 14．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 15．矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（16分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（5分）如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． (1)李老师选择座位的概率是 ； (2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 18．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 19．（8分）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 20．（8分）某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 21．（8分）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“凸对四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”． (1)下列四边形一定是“凸对四边形”的有______（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“凸对四边形”； (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 22．（10分）若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 23．（12分）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出了如下的问题： 如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且．求证：． 【独立思考】（1）请你解答李老师提出的问题； 【实践探究】李老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“第一小组”增加条件：过点作交的延长线于点．求证：． （3）在“第一小组”增加条件的基础上，“第二小组”增加条件：若．求证：． 【问题解决】 （4）在课后，“第三小组”的同学在前面学习的基础上，又自行创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，，若，，求的长．      试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15．______________ 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（16 分） 17．（5 分） 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B B B A B B A 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．且 12． 13．6 14． 15．2或8 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（16分） 【详解】（1）解：， ∴， 直接开方得：或， 解得：，；（4分） （2）解：， 其中，，， ∴， ∴， ∴，．（8分） （3）， ，即， 或， 解得：，．（12分） （4）， 移项，得， 方程左边因式分解，得， 所以或， 解得：，．（16分） 17．（5分） 【详解】（1）；（1分） （2）解：列表如下： 由表知，所有等可能的结果共有9种，其中两位老师选择坐同一列的所有可能结果有2种，则这两位老师刚好坐在同一列的概率为； 答：这两位老师刚好坐在同一列的概率为．（5分） 18．（8分） 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形；（2分） （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；（5分） （3）， ， ， 化简得： 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故只有时，、间的距离等于．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即；（2分） ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；（5分） （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元；（4分） （2）解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）②④； （2分） （2）证明：如图2，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“凸对四边形”； （6分） （3）． （8分） 22．（10分） 【详解】（1）； （2分） （2）∵一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”， ∴， ∵， ∴， ∵为平方数， ∴，或， ∴（舍去），或， ∴原方程为， ∴“快乐数”为；（6分） （3）∵x的一元二次方程（m为正整数）是“快乐方程”， ∴设（a整数）， ∴， ∴， ∵两因式同奇同偶， ∴，或，或，或， 解得，或(舍去)， ∴， ∴ ∵x的一元二次方程（n为正整数）是“快乐方程”， ∴， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得，，（舍去）． 故n的值是3．（10分） 23．（12分） 【详解】（1）证明：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴；（2分） （2）证明：在中，， ∴， ∵过点作交的延长线于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴；（4分） （3）证明：延长与于点G，如图， ∵，即， ∵， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴；（8分） （4）解：在中，，， ∴， 延长与于点G，延长交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴为的角平分线， ∴为的中线和高线， ∴，， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， 由， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， ∴．（12分） 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 3．如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 9．我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（    ） A．2，8 B．3，8 C．2，9 D．3，9 10．如图，正方形的对角线在直线上，点A在第一象限．若正方形的面积是50，则点A的坐标为（   ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 12．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 13．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 14．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 15．矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（16分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（5分）如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． (1)李老师选择座位的概率是 ； (2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 18．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 19．（8分）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 20．（8分）某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 21．（8分）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“凸对四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”． (1)下列四边形一定是“凸对四边形”的有______（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“凸对四边形”； (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 22．（10分）若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 23．（12分）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出了如下的问题： 如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且．求证：． 【独立思考】（1）请你解答李老师提出的问题； 【实践探究】李老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“第一小组”增加条件：过点作交的延长线于点．求证：． （3）在“第一小组”增加条件的基础上，“第二小组”增加条件：若．求证：． 【问题解决】 （4）在课后，“第三小组”的同学在前面学习的基础上，又自行创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，，若，，求的长．      2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定等知识点，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵， ∴平行四边形是矩形，A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），B正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴平行四边形是正方形，C正确，不符合题意； ∵或，四边形是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形是菱形，D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是掌握列表法与树状图法求概率． 列表可得出所有等可能的结果数以及从入口A进入，从出口E离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中小明同学恰好从入口A进入，从出口E离开的结果有1种， ∴小明同学恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为， 故选：D． 4．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 5．宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据2023年注册用户及2025年注册用户，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为，则2024年用户数为，2025年用户数为， 根据2025年用户数为80万，得方程， 故选：B． 6．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 7．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 8．如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 9．我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（    ） A．2，8 B．3，8 C．2，9 D．3，9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 解得：，负值舍去，． 故选：B． 10．如图，正方形的对角线在直线上，点A在第一象限．若正方形的面积是50，则点A的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数图象上的点的特征，勾股定理，熟练作辅助线构造一线三垂直全等模型是解题的关键．作，交的延长线于点F，作轴于点M，轴于点N．证明是等腰直角三角形，得出，再证明，得出，，利用正方形的面积是50，得出，设，利用，得出，则可得，利用中点即可求出点的坐标． 【详解】解：作，交的延长线于点F，作轴于点M，轴于点N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形的面积是50， ∴， ∴， ∵点B在直线上，设， ∴，， ∴，即， 解得（正值舍）， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即． 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得 ，且，再进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且； 故答案为：且． 12．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：或（舍去） 即一个人每节课手把手教会了6名同学， 故答案为：6． 14．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15．矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（16分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）对于方程先移项将其化为再利用直接开平方法求解； （2）对于方程先确定二次项系数、一次项系数和常数项，再代入求根公式 计算． （3）先分解因式得，再解方程，即可作答． （4）利用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， ∴， 直接开方得：或， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ∴， ∴， ∴，． （3）， ，即， 或， 解得：，． （4）， 移项，得， 方程左边因式分解，得， 所以或， 解得：，． 17．（5分）如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． (1)李老师选择座位的概率是 ； (2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求简单事件的概率，列表法或树状图法求概率，关键是求出所有等可能的结果及事件发生的等可能结果； （1）李老师选择第二排空座位的所有可能结果有3种，选择座位只有1种结果，由此即可求得概率； （2）列表求出所有可能结果，两位老师刚好坐同一列的所有可能结果， 【详解】（1）解：由题意知，李老师选择座位的概率为； 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表知，所有等可能的结果共有9种，其中两位老师选择坐同一列的所有可能结果有2种，则这两位老师刚好坐在同一列的概率为； 答：这两位老师刚好坐在同一列的概率为． 18．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3）， ， ， 化简得： 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故只有时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 19．（8分）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 20．（8分）某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元 (2)2400元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）将型洗衣机的售价定为m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元； （2）解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元． 21．（8分）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“凸对四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”． (1)下列四边形一定是“凸对四边形”的有______（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“凸对四边形”； (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“凸对四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“凸对四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：∵①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ∴②菱形，④正方形一定是凸对四边形； 故答案为：②④； （2）证明：如图2，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“凸对四边形”； （3）解：若，连接，则四边形是矩形， ∴， 由（2）知，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， 整理得，（不符合题意舍去） 综上所述，的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关键． 22．（10分）若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【答案】(1) (2)m的值是0，该方程的“快乐数”是 (3)n的值为3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中“快乐方程”，“快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据，得到，即可求出的值为16或25，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）的“快乐数”为， 故答案为： （2）∵一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”， ∴， ∵， ∴， ∵为平方数， ∴，或， ∴（舍去），或， ∴原方程为， ∴“快乐数”为； （3）∵x的一元二次方程（m为正整数）是“快乐方程”， ∴设（a整数）， ∴， ∴， ∵两因式同奇同偶， ∴，或，或，或， 解得，或(舍去)， ∴， ∴ ∵x的一元二次方程（n为正整数）是“快乐方程”， ∴， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得，，（舍去）． 故n的值是3． 23．（12分）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出了如下的问题： 如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且．求证：． 【独立思考】（1）请你解答李老师提出的问题； 【实践探究】李老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“第一小组”增加条件：过点作交的延长线于点．求证：． （3）在“第一小组”增加条件的基础上，“第二小组”增加条件：若．求证：． 【问题解决】 （4）在课后，“第三小组”的同学在前面学习的基础上，又自行创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，，若，，求的长．      【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角形的内角和为可得，再结合即可证明； （2）根据三角形内角和为可得，再由对顶角相等即，即可证明； （3）先由角边角的证明方法证明与全等，由此可得，再由角边角的证明方法证明与全等，由此可得，即可证明； （4）先由边角边的证明方法证明与全等，由全等性质可得边的长度，再结合相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在中，， ∴， ∵过点作交的延长线于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴； （3）证明：延长与于点G，如图， ∵，即， ∵， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （4）解：在中，，， ∴， 延长与于点G，延长交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴为的角平分线， ∴为的中线和高线， ∴，， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， 由， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，需熟练掌握由等量代换证明角度相等；根据三角形全等可得长度，由相似三角形的性质求解是解决本题的关键． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$