15.3.2 等边三角形 同步讲义 原卷+解析卷2025-2026学年人教版 八年级数学上册

15.3.2 等边三角形 讲义 新知廊 知识点1：等边三角形的概念 三边都相等的三角形是等边三角形． 知识点2：等边三角形的性质 1．等边三角形的性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 2．等边三角形的性质2：等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”． 3．轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线（或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线）． 知识点3：等边三角形的判定 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．判定定理法1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．判定定理法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点4：含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 求甚解 1．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．含30°角的直角三角形的性质 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 练题型 题型01 利用等边三角形的性质求角度 典型例题 典例 01 （2024春•北林区校级期中）已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等． 【解答】解：已知三角形为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C60°故答案为C． 即学即练 【变式练1】　（2024•泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 【答案】B 【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数． 【解答】解：如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AF∥l， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝21°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF＝39°， 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•抚顺期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠DBC，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BDF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，然后根据∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF计算即可得解． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC60°＝30°， ∵BD＝BF， ∴∠BDF（180°﹣∠DBC）（180°﹣30°）＝75°， 又∵等边△ABC中，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝90°﹣75°＝15°． 故选：B． 【变式练3】　（2024春•朝阳期末）如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E是BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．45° 【答案】B 【分析】根据“三线合一”可得BP平分∠ABC，可得∠PBC＝30°，根据∠CPE＝∠ACB﹣∠E即可作答． 【解答】解：∵P是等边三角形ABC的边AC的中点， ∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴∠PBC＝30°， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠E＝30°， ∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°， 故选：B． 题型02 利用等边三角形的性质求线段长度、周长 典型例题 典例 02 （2024春•驻马店期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则BD的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，结合垂直的定义、平行线的性质求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根据含30°的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∴∠D＝90°， ∴CDBC＝2， BD2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•定安县期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CDAC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴CEAC＝3 ∴BE＝BC+CE＝6+3＝9． 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】首先求出，然后证△DEF为等边三角形即可求出△DEF的周长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8． ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8， ∵点E，F是BC边的三等分点， ∴， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴， ∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝38． 故选：D． 【变式练3】　（2024春•夏县期中）已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 　　 ． 【答案】6． 【分析】三角形的周长，根据等边三角形的三条边相等求解． 【解答】解：∵等边三角形的三边相等， ∴周长为3×2＝6． 故答案为：6． 题型03 等边三角形的判定 典型例题 典例 03 （2025春•埇桥区校级月考）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据角平分线定义得出∠ACE＝∠BCE，根据三角形外角性质推出∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，结合∠BAD＝60°，即可判定△AEF是等边三角形． 【解答】证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 即学即练 【变式练1】　（2025春•横山区期末）已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】由HB＝HC推出∠HBC＝∠HCB，再由∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90推出∠ABC＝∠ACB由此即可证明． 【解答】证明：∵HB＝HC， ∴∠HBC＝∠HCB， ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【变式练2】　（2024秋•武都区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形． 【答案】证明见解答过程． 【分析】由等腰三角形的性质得出∠E＝∠ADE＝30°，证出∠C＝∠B＝∠CAB，则可得出结论． 【解答】证明：∵AD＝AE， ∴∠E＝∠ADE＝30°， ∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°， ∵DF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠B＝∠CAB， ∴△ABC为等边三角形． 【变式练3】　（2023秋•商南县校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°，求证：△ABC为等边三角形． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD⊥AC于点D， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝60°， 又AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． 题型04 含30°角的直角三角形的性质的应用 典型例题 典例 04 （2025春•湘潭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，则AB的长为（　　） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC的数量关系． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6， ∴AB＝2BC＝12， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•法库县期末）如图，AC＝BC＝6cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝15°， ∴∠B＝∠BAC＝15°， ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°， ∵AD⊥BC，AC＝BC＝6cm， ∴ADAC6cm＝3cm． 故选：B． 【变式练2】　（2025春•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，若BC＝1，则AC＝　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB＝2BC＝2，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴AC＝2BC＝2． 故答案为：2． 【变式练3】　（2025•沙市区三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，则AB＝ 　　 ． 【答案】6． 【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此即可计算 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3， ∴AB＝2AC＝6． 故答案为：6． 题型05 等边三角形的判定与性质综合 典型例题 典例 05 （2025春•庐阳区校级月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，先求出BD，CD，证明△FDC是等边三角形得FD＝CFC＝CD，根据直角三角形斜边中线性质得MD＝MF＝MEEF，证明CM是线段FD的垂直平分线得CM⊥FD，DN＝FNFD，在Rt△CDN中，由勾股定理得CN，在Rt△BDE中，根据∠BDE＝30°得BE，由勾股定理得DE，再由勾股定理求出EF得MD＝MF＝MEEF√19/6，然后在Rt△MND中，由勾股定理求出MN，继而可得CM的长． 【解答】解：连接MD，如图所示： ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BC＝AC＝2，∠B＝∠ACB＝60°， ∵BDCD， ∴CD＝2BD， ∴BC＝BD+CD＝3BD＝2， ∴BD， ∴CD＝2BD， ∵DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∴∠FDC＝∠ACB＝60°， ∴△FDC是等边三角形， ∴FD＝CFC＝CD＝4/3， ∵∠EDF＝90°，M为边EF的中点， ∴MD是Rt△DEF斜边EF上的中线， ∴MD＝MF＝MEEF， ∴点M在线段FD的垂直平分线上， 又∵FC＝CD， ∴点C在线段FD的垂直平分线上， ∴CM是线段FD的垂直平分线， ∴CM⊥FD，DN＝FNFD， 在Rt△CDN中，由勾股定理得：CN， 在Rt△BDE中，∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（90°+60°）＝30°， ∴BEBD， 由勾股定理得：DE， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF， ∴MD＝MF＝MEEF， 在Rt△MND中，由勾股定理得：MN， ∴CM＝CN+MN． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•盐田区校级期末）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．20° C．30° D．15° 【答案】B 【分析】连接AC，由等边三角形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠ADB＝60°，由等边对等角可得∠CBD＝∠CDB，证明AC垂直平分BD，得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得∠DEF＝∠ACE+∠EAC＝60°，推出△DEF为等边三角形，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【解答】解：如图，连接AC， 由条件可知AB＝AD，∠BAD＝∠ADB＝60°， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB，AC垂直平分BD， ∴∠ACE∠BAD＝30°， ∴∠ACE＝∠EAC＝30°， ∴∠DEF＝∠ACE+∠EAC＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴∠DFE＝60°， ∴∠CDB＝2∠DCE， ∵∠CDF+∠DCE＝∠DFE＝60°， ∴2∠DCE+∠DCE＝60°， ∴∠DCE＝20°， 故选：B． 【变式练2】　（2023•岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【答案】见解答． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD⊥AC， ∴ADAC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AEAB． 【变式练3】　（2023秋•西安校级期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证； （2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形． 【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形， ∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°， ∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中， ∵， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝BM． （2）∵△CAN≌△CMB， ∴∠CAN＝∠CMB， 又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠MCF＝∠ACE， 在△CAE和△CMF中， ∵， ∴△CAE≌△CMF（ASA）， ∴CE＝CF， ∴△CEF为等腰三角形， 又∵∠ECF＝60°， ∴△CEF为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3.2 等边三角形 讲义 新知廊 知识点1：等边三角形的概念 三边都相等的三角形是等边三角形． 知识点2：等边三角形的性质 1．等边三角形的性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 2．等边三角形的性质2：等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”． 3．轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线（或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线）． 知识点3：等边三角形的判定 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．判定定理法1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．判定定理法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点4：含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 求甚解 1．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．含30°角的直角三角形的性质 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 练题型 题型01 利用等边三角形的性质求角度 典型例题 典例 01 （2024春•北林区校级期中）已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等． 【解答】解：已知三角形为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C60°故答案为C． 即学即练 【变式练1】　（2024•泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 【变式练2】　（2024秋•抚顺期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式练3】　（2024春•朝阳期末）如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E是BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．45° 题型02 利用等边三角形的性质求线段长度、周长 典型例题 典例 02 （2024春•驻马店期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则BD的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，结合垂直的定义、平行线的性质求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根据含30°的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∴∠D＝90°， ∴CDBC＝2， BD2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•定安县期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式练2】　（2024秋•大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【变式练3】　（2024春•夏县期中）已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 　　 ． 题型03 等边三角形的判定 典型例题 典例 03 （2025春•埇桥区校级月考）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据角平分线定义得出∠ACE＝∠BCE，根据三角形外角性质推出∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，结合∠BAD＝60°，即可判定△AEF是等边三角形． 【解答】证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 即学即练 【变式练1】　（2025春•横山区期末）已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 【变式练2】　（2024秋•武都区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形． 【变式练3】　（2023秋•商南县校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°，求证：△ABC为等边三角形． 题型04 含30°角的直角三角形的性质的应用 典型例题 典例 04 （2025春•湘潭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，则AB的长为（　　） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC的数量关系． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6， ∴AB＝2BC＝12， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•法库县期末）如图，AC＝BC＝6cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式练2】　（2025春•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，若BC＝1，则AC＝　 　 ． 【变式练3】　（2025•沙市区三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，则AB＝ 　　 ． 题型05 等边三角形的判定与性质综合 典型例题 典例 05 （2025春•庐阳区校级月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，先求出BD，CD，证明△FDC是等边三角形得FD＝CFC＝CD，根据直角三角形斜边中线性质得MD＝MF＝MEEF，证明CM是线段FD的垂直平分线得CM⊥FD，DN＝FNFD，在Rt△CDN中，由勾股定理得CN，在Rt△BDE中，根据∠BDE＝30°得BE，由勾股定理得DE，再由勾股定理求出EF得MD＝MF＝MEEF√19/6，然后在Rt△MND中，由勾股定理求出MN，继而可得CM的长． 【解答】解：连接MD，如图所示： ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BC＝AC＝2，∠B＝∠ACB＝60°， ∵BDCD， ∴CD＝2BD， ∴BC＝BD+CD＝3BD＝2， ∴BD， ∴CD＝2BD， ∵DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∴∠FDC＝∠ACB＝60°， ∴△FDC是等边三角形， ∴FD＝CFC＝CD＝4/3， ∵∠EDF＝90°，M为边EF的中点， ∴MD是Rt△DEF斜边EF上的中线， ∴MD＝MF＝MEEF， ∴点M在线段FD的垂直平分线上， 又∵FC＝CD， ∴点C在线段FD的垂直平分线上， ∴CM是线段FD的垂直平分线， ∴CM⊥FD，DN＝FNFD， 在Rt△CDN中，由勾股定理得：CN， 在Rt△BDE中，∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（90°+60°）＝30°， ∴BEBD， 由勾股定理得：DE， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF， ∴MD＝MF＝MEEF， 在Rt△MND中，由勾股定理得：MN， ∴CM＝CN+MN． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•盐田区校级期末）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．20° C．30° D．15° 【变式练2】　（2023•岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【变式练3】　（2023秋•西安校级期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$