15.3.1 等腰三角形 同步讲义 原卷+解析卷2025-2026学年人教版 八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形 讲义 新知廊 知识点1：等腰三角形的概念 有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边都叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 知识点2：等腰三角形的性质 1．等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 3．轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线． 知识点3：等腰三角形的判定 1．利用定义：有两边相等的三角形是等腰三角形． 2．利用判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 3．尺规作图：已知底边及底边上高作等腰三角形． 求甚解 1．等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．注意： （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 4．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 5．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 6．利用“等边对等角”“等角对等边”进行边角转化的方法在同一个三角形中，（1）可通过证明两条边相等，利用“等边对等角”得到这两条边所对的角相等；（2）可通过证明两个角相等，利用“等角对等边得到这两个角所对的边相等解题时，注意必须在同一个三角形中，才能利用“等边对等角”和“等角对等边”． 7．证明两条线段相等的方法 （1）利用两个三角形全等； （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等； （3）利用线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等； （4）利用轴对称的性质； （5）利用“等角对等边． 练题型 题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 典型例题 典例 01 （2025春•济阳区期末）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 【答案】D 【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°， 当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【答案】C 【分析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【解答】解：当它的顶角为70°时， 它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 当它的底角为70°时， 它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 【变式练2】　（2025春•锦州期末）等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（　　） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：当9cm为腰长，4cm为底边长时；当9cm为底边长，4cm为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可． 【解答】解：若9cm为腰长，4cm为底边长， ∵9+9＞4， ∴能组成三角形， ∴它的第三边是9cm； 若9cm为底边长，4cm为腰长， ∵4+4＜9， ∴不能组成三角形； 故选：C． 【变式练3】　（2025春•崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 【答案】C 【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）． 故选：C． 题型02 等腰三角形的性质 典型例题 典例 02 （2025春•织金县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD的长为 　　 ． 【答案】2． 【分析】由等腰三角形的性质推出BDBC＝2． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC4＝2． 故答案为：2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•柴桑区期中）等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：　　 ． 【答案】等边对等角． 【分析】根据等边对等角的性质即可求解． 【解答】解：等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：等边对等角． 故答案为：等边对等角． 【变式练2】　（2025•兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　　 ． 【答案】115°． 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解． 【解答】解：由条件可知∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°． 【变式练3】　（2025春•稷山县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　　 ． 【答案】40°． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AD是△ABC的中点， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝40°． 故答案为：40°． 题型03 等腰三角形的判定 典型例题 典例 03 （2024秋•双辽市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形． 【答案】见详解． 【分析】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可． 【解答】证明：∵在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AB＝BC， ∵BE＝BD， ∴AE＝CD， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AF＝CF， ∴△AFC是等腰三角形． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•岱岳区期中）如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】首先根据角平分线的定义得出∠ACD＝∠DCE，然后根据平行的性质，得出∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，进而得出∠B＝∠A，即可得证． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE． ∵DC平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠B＝∠A， ∴AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形． 【变式练2】　（2024秋•曹县期中）已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义推出∠E＝∠ACF，进而得到AC＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解． 【解答】证明：∵AD∥CE， ∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠E＝∠ACF， ∴AC＝AE， ∵AF⊥CE， ∴EF＝CF． 【变式练3】　（2024春•衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形． 【答案】证明见解析． 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACD度数，即可得到∠A＝∠ACD，继而得证． 【解答】证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵CD平分∠ACB， ∴． 又∵∠A＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD，即△ACD是等腰三角形． 题型04 等腰三角形的判定与性质综合 典型例题 典例 04 （2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F． （1）求证：△AEP是等腰三角形． （2）若AD＝BD，求∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解； （2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AD， ∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD， ∴∠E＝∠APE， ∴AE＝AP， ∴△AEP是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝BD＝CD， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°， ∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°， ∴∠E＝∠CAD＝45°． 即学即练 【变式练1】　（2025春•太原月考）如图，∠A＝90°，BE⊥CD于点E，BE平分∠CBD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2），求AD的长． 【答案】（1）见解析 （2）AD＝4． 【分析】（1）利用ASA证明△EBD≌△EBC，推出BD＝BC，即可证明结论成立； （2）利用HL证明Rt△ABD≌Rt△EDB，推出AD＝BE＝4． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BED＝∠BEC＝90°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠EBD＝∠EBC， ∵BE＝BE， ∴△EBD≌△EBC（ASA）， ∴BD＝BC， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵△EBD≌△EBC， ∴， ∵， ∴AB＝DE， 在Rt△ABD和Rt△EDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EDB（HL）， ∴AD＝BE＝4． 【变式练2】　（2024秋•白塔区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F． （1）求证：△BEO是等腰三角形． （2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长． 【答案】（1）见解析； （2）9． 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明△BEO是等腰三角形， （2）同理可得OE＝BE，再由等腰三角形的性质得OF＝FC，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∵OB是∠ABC的平分线， ∴∠EBO＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴OE＝BE， ∴△BEO是等腰三角形． （2）解：由（1）得：OE＝BE， 同理可得OF＝FC， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+OF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC， ∵AB＝5，AC＝4， ∴△AEF的周长5+4＝9． 【变式练3】　（2024秋•南昌期中）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD． （1）求证：AD＝DC； （2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）60°． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠3，根据角平分线的性质得出∠1＝∠3，等量代换得出∠1＝∠2，进而证得AD＝DC； （2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据∠D＝120°求出∠3，根据AC⊥CB得出∠ACB＝90°，进而求出∠B． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， AD＝DC； （2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3， ∵∠D＝120°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3.1 等腰三角形 讲义 新知廊 知识点1：等腰三角形的概念 有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边都叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 知识点2：等腰三角形的性质 1．等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 3．轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线． 知识点3：等腰三角形的判定 1．利用定义：有两边相等的三角形是等腰三角形． 2．利用判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 3．尺规作图：已知底边及底边上高作等腰三角形． 求甚解 1．等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．注意： （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 4．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 5．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 6．利用“等边对等角”“等角对等边”进行边角转化的方法在同一个三角形中，（1）可通过证明两条边相等，利用“等边对等角”得到这两条边所对的角相等；（2）可通过证明两个角相等，利用“等角对等边得到这两个角所对的边相等解题时，注意必须在同一个三角形中，才能利用“等边对等角”和“等角对等边”． 7．证明两条线段相等的方法 （1）利用两个三角形全等； （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等； （3）利用线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等； （4）利用轴对称的性质； （5）利用“等角对等边． 练题型 题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 典型例题 典例 01 （2025春•济阳区期末）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 【答案】D 【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°， 当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【变式练2】　（2025春•锦州期末）等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（　　） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 【变式练3】　（2025春•崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 题型02 等腰三角形的性质 典型例题 典例 02 （2025春•织金县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD的长为 　　 ． 【答案】2． 【分析】由等腰三角形的性质推出BDBC＝2． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC4＝2． 故答案为：2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•柴桑区期中）等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：　　 ． 【变式练2】　（2025•兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　　 ． 【变式练3】　（2025春•稷山县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　　 ． 题型03 等腰三角形的判定 典型例题 典例 03 （2024秋•双辽市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形． 【答案】见详解． 【分析】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可． 【解答】证明：∵在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AB＝BC， ∵BE＝BD， ∴AE＝CD， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AF＝CF， ∴△AFC是等腰三角形． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•岱岳区期中）如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形． 【变式练2】　（2024秋•曹县期中）已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF． 【变式练3】　（2024春•衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形． 题型04 等腰三角形的判定与性质综合 典型例题 典例 04 （2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F． （1）求证：△AEP是等腰三角形． （2）若AD＝BD，求∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解； （2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AD， ∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD， ∴∠E＝∠APE， ∴AE＝AP， ∴△AEP是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝BD＝CD， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°， ∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°， ∴∠E＝∠CAD＝45°． 即学即练 【变式练1】　（2025春•太原月考）如图，∠A＝90°，BE⊥CD于点E，BE平分∠CBD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2），求AD的长． 【变式练2】　（2024秋•白塔区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F． （1）求证：△BEO是等腰三角形． （2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长． 【变式练3】　（2024秋•南昌期中）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD． （1）求证：AD＝DC； （2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$