第4讲 空间向量及其运算的坐标表【知识梳理+题型总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第4讲：空间向量及其运算的坐标表示】 【学习目标】 一、知识目标 1. 理解空间向量的坐标表示，明确向量坐标与点坐标的对应关系； 2. 掌握空间向量加、减、数乘、数量积的坐标运算规则； 3. 熟记向量平行、垂直的坐标条件，以及向量模长、夹角、两点距离的坐标公式。 二、能力目标 1. 能根据几何体特征建立空间直角坐标系，准确确定点与向量的坐标； 2. 能熟练进行空间向量的坐标运算，快速求解数量积、模长、夹角等； 3. 能运用坐标运算解决向量平行、垂直判断及简单距离计算问题。 三、应用目标 1. 会用向量坐标运算转化空间几何中的位置关系（平行、垂直）与数量关系（距离、夹角）； 2. 为后续用向量法解决立体几何综合问题奠定基础。 【知识梳理】 一、空间向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底（按右手系排列，即右手拇指指向方向，食指指向方向，中指指向方向）。以为原点，分别以的方向为正方向，建立三条数轴：轴、轴、轴，这样就建立了空间直角坐标系。 2. 向量坐标确定：对于空间任意一点，过分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于、、三点。若，当与方向相同时，，反之；同理确定、。点的坐标与向量的坐标相同，即。例如，在棱长为的正方体中，以为原点，分别以为建立坐标系，若点为中点，则点坐标为，向量。 3. 向量坐标与点坐标关系：在空间直角坐标系中，点与位置向量一一对应，实现了空间点与向量的代数化表示。 4. 特殊点的坐标特征： 原点：坐标为（三条坐标轴的交点，位置向量为零向量）； 坐标轴上的点：轴上的点，如；轴上的点，如；轴上的点，如（仅在一条坐标轴上有非零坐标）； 坐标平面上的点：平面上的点，如；平面上的点，如；平面上的点，如（仅在一个坐标平面内，垂直于某条坐标轴）； 对称点：设点，其对称点坐标遵循“关于谁对称，谁不变；关于原点对称，全变号”原则，具体如下： 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于原点对称的点：（坐标全变号）。 示例：点，关于平面对称的点为，关于原点对称的点为。 二、空间向量运算的坐标规则 1. 向量加法：设，，则。例如，，，那么。 2. 向量减法：。如，，则。 3. 数乘向量：若为实数，，则。比如，，。 4. 数量积运算：。假设，，。 三、空间向量坐标的应用 1. 判断向量平行：当时，，，。例如，，，因为，，，即，所以。 2. 判断向量垂直：。比如，，，所以。 3. 求向量夹角：设两向量，，夹角公式为。若，，先求，，，则。 4. 求向量长度：向量的长度公式。例如，。 5. 求空间两点距离：设，，则。若，， 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：确定空间中任意一点的坐标】 【例题】1．（21-22高二·全国·课后作业）已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求. 【答案】16，0，2. 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，，，，，的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计算可得所求向量的数量积． 【详解】如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系， 即有，0，，，0，，，4，，，0，， ，0，，，4，，，4，， ，0，，，2，， （1），4，，4，； （2），2，，0，； （3），2，，2，．    【针对训练】2．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【答案】(1)点，点，点C， (2)；；；． 【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标； （2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标. 【详解】（1）点在z轴上，且， 所以点的坐标是． 同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可； 【详解】由题意可得，， ∴，， ∴． 故选：C. 【解题策略】 一、垂线法（直接作轴的垂线，基础操作法） 适用场景：已建立空间直角坐标系，且目标点在坐标系中位置清晰（如正方体、长方体的顶点或面上的点），可直接向坐标轴作垂线确定坐标。 核心原理：空间中任意一点到某条坐标轴的垂线，其垂足在坐标轴上的数值，即为该点对应坐标轴的坐标（如到轴的垂足数值=点的坐标）。 具体步骤： 1. 定位目标点：在已建立的坐标系（如以为原点，轴两两垂直）中，找到目标点的空间位置。 2. 作轴的垂线： 过点作垂直于轴的直线，交轴于点，读取在轴上的数值（如），此即为点的坐标； 同理，过点作垂直于轴的直线，交轴于点，读取在轴上的数值（如），即为点的坐标； 过点作垂直于轴的直线，交轴于点，读取在轴上的数值（如），即为点的坐标。 3. 确定坐标：整合三个坐标轴的数值，得到点的坐标（如）。 示例：长方体中，以为原点，为轴、为轴、为轴，棱长，，。求点坐标： 过作轴垂线，垂足为（轴上数值为），故； 过作轴垂线，垂足为（轴上数值为），故； 过作轴垂线，垂足为（轴上数值为），故； 最终。 二、垂面法（作坐标平面的垂面，间接转化法） 适用场景：目标点到坐标轴的垂线不易直接作出（如斜棱柱侧面上的点），但可通过作坐标平面的垂面，找到点在平面上的投影，间接确定坐标。 核心原理：空间中任意一点到某坐标平面的垂面，其与平面的交线（投影线）可确定点在该平面上的投影坐标，再结合第三个坐标轴的数值，得到点的完整坐标（如到平面的垂面，可确定坐标，再补全坐标）。 具体步骤： 1. 选坐标平面：根据目标点位置，选择一个易作垂面的坐标平面（如平面、平面，优先选已知条件多的平面）。 2. 作垂面找投影： 过点作垂直于所选坐标平面的平面（垂面），该垂面与坐标平面的交线即为点在该平面上的“投影线”； 沿投影线找到点在坐标平面上的投影点$P'$，用“垂线法”确定$P'$在该平面内的两个坐标（如在平面上，，则，）。 3. 确定第三个坐标： 投影点$P'$与原点点的连线垂直于坐标平面，该连线的长度（或方向）即为第三个坐标的数值（如在平面上方，距离平面个单位，则；在下方则）。 4. 整合坐标：将三个坐标数值整合，得到点的坐标（如）。 示例：斜棱柱中，以为原点，为轴、（垂直的底面线段）为轴、过的竖直线为轴，已知底面在平面上方，点在平面上的投影为，且到平面距离为。求坐标： 选平面为投影平面，过作垂直于平面的垂面，交平面于，故的坐标与相同，即，； 到平面距离为（在平面上方，），故； 最终。 三、两种方法的对比与注意事项 方法 适用场景 操作关键 优势 垂线法 规则几何体（正方体、长方体），点位置清晰 直接向坐标轴作垂线，读数值 步骤少，计算简单 垂面法 不规则几何体（斜棱柱、三棱锥），垂线难作 先找平面投影，再补第三坐标 适用范围广，灵活度高 注意事项： 1. 垂面需“真垂直”：作垂面时，需确保垂面与坐标平面垂直（可借助几何体中已知的垂直关系，如侧棱垂直底面，则侧棱所在平面垂直底面）； 2. 投影坐标对应准：投影点的坐标与原点点的坐标，仅第三个坐标不同（如平面投影，相同，不同），避免混淆坐标对应关系； 3. 方向影响符号：坐标数值的正负由点在坐标轴/平面的“方向”决定（如在轴负方向，；在平面下方，），需结合坐标系方向判断。 【考点二：空间向量平行与垂直的坐标表示】 【例题】1.（24-25高二下·江苏南京·期中）设向量则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】 故选：D. 【针对训练】1．（24-25高二上·广东江门·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则 . 【答案】 【分析】先求出的坐标，根据共线向量可求的值. 【详解】由题设有，，故， 因为，故，故. 故答案为： 2．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间中三点，设， (1)若，且，求向量 (2)已知向量与互相垂直，求k 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由空间向量模长公式结合空间向量平行坐标表示可得答案； （2）由空间向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】（1）由题，，因，则设； 因，则， 则或； （2）由题，， 则，又与垂直， 则. 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）（1）已知向量，. ①计算；②求. （2）已知向量，. ①若∥，求实数； ②若，求实数. 【答案】（1）①； ②；（2）①；② 【分析】（1）①根据题意可得，根据模长的坐标运算求解；②根据题意可得，根据向量的夹角公式运算求解； （2）根据题意求.①根据向量共线的坐标运算求解；②根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】（1）①因为向量， 则，所以； ②由题意可得：， 则， 且，所以； （2）因为向量， 则，， ①若， 则，解得； ②若， 则，解得. 【解题策略】 一、通用答题模板 第一步：确定待判断向量的坐标 1. 找向量：根据题干条件，明确需要判断平行或垂直关系的两个空间向量（记为、），若向量与直线关联，则取直线的方向向量；若与平面关联，则取平面内的不共线向量。 2. 写坐标：通过“建系—找点—算坐标”（参考垂线法/垂面法确定点坐标），写出两个向量的坐标： 设，（若题干已给出坐标，直接代入即可）。 二、向量平行的坐标表示答题模板 适用场景：判断两向量是否平行（或两直线是否平行，需结合直线位置关系） 具体步骤： 1. 验零向量：先判断是否存在零向量——若或为零向量（坐标全为0），则需结合题干条件进一步分析（零向量与任意向量平行，但实际解题中多为非零向量）；若均为非零向量，进入下一步。 2. 套平行条件：根据向量平行的坐标性质，非零向量的充要条件是“坐标对应成比例”，即： （记为比例式，需注意分母不为0，若某分母为0，则对应分子也为0，如则）。 也可表述为“存在实数，使”，即，，。 3. 代坐标计算：将、的坐标代入比例式（或系数等式），验证是否满足条件： 若满足（如），则； 若不满足（如），则与不平行。 4. 关联几何结论：若向量是直线方向向量，且两直线不重合，则“”可推出“直线”。 三、向量垂直的坐标表示答题模板 适用场景：判断两向量是否垂直（或两直线、线面是否垂直，需结合几何关系） 具体步骤： 1. 套垂直条件：根据向量垂直的坐标性质，两向量的充要条件是“数量积为0”，即： （无需判断零向量，零向量与任意向量数量积为0）。 2. 代坐标计算：将、的坐标代入数量积公式，计算结果： 若计算得（如），则； 若结果不为0，则与不垂直。 3. 关联几何结论： 若向量是直线方向向量，则“”可推出“直线”； 若向量分别是直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量，且直线方向向量与两者均垂直，则“直线平面”。 四、关键公式与注意事项 1. 核心公式汇总 关系 坐标表示（，） 平行（） （）或 垂直（） 2. 避坑注意事项 平行判断分母不为0：若向量某坐标为0（如），则对应坐标也需为0（即），比例式写为“，”，避免出现分母为0的错误。 垂直计算符号正确：代入坐标时注意正负号（如，，数量积为），防止符号错误导致结果偏差。 几何关系需补充：向量平行/垂直仅为几何关系的“必要条件”，如判断直线平行时，需额外说明“两直线不重合”；判断线面垂直时，需说明“平面内两向量相交”，避免逻辑漏洞。 【考点三：利用空间向量的坐标运算求夹角，距离】 【例题】1．（2025·广东佛山·一模）如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． (1)若分别是的中点，求证：平面； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的垂直表示可求的坐标，从而可求. 【详解】（1） 如图，连接，则彼此平分，而为的中点， 故为的中点，而为的中点，故， 而平面，平面，故平面. （2） 由直三棱柱的体积为可得， 而，故，而为三角形内角，故， 故即，结合直三棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，而， 由，可得，解得. 故，故 【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由空间向量共面的推论可得，再应用空间向量夹角的坐标公式求夹角余弦值. 【详解】因为四点共面，， 所以，则， 所以，，则，， 所以，，， 所以. 故答案为： 1．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于平面对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得出点坐标，再利用空间向量减法的坐标运算求出向量坐标，再计算模长即可． 【详解】由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 【解题策略】 一、通用答题模板 第一步：确定向量坐标或点坐标 1. 建系与找点：根据几何体特征（如正方体、长方体、带垂直关系的三棱锥），建立空间直角坐标系（优先选棱两两垂直的点为原点），确定相关点的坐标（用垂线法/垂面法，如点、）。 2. 求向量坐标：若求夹角，取相关向量（如直线方向向量、平面内向量），用“终点坐标-起点坐标”计算： 设向量对应两点，则；若求距离，直接确定两点坐标即可。 二、求空间夹角的答题模板（分两类场景） 场景1：空间两向量的夹角（含平面向量拓展） 适用场景：求任意两个空间向量的夹角（如平面内两向量、异面直线方向向量的夹角） 具体步骤： 1. 定向量坐标：写出两向量坐标，设，。 2. 算核心值： 计算数量积：； 计算模长：，。 3. 套夹角公式：设向量夹角为（），代入公式： 。 4. 求夹角值：根据值，结合特殊角三角函数值（如则，则），得夹角。 场景2：异面直线的夹角 适用场景：求空间中不共面的两条直线的夹角 具体步骤： 1. 取方向向量：分别取两条异面直线的方向向量、，计算其坐标（同“通用步骤”）。 2. 算核心值：同“向量夹角”步骤2，计算、、。 3. 套夹角公式：设异面直线夹角为（，因夹角取锐角或直角），公式需加绝对值： 。 4. 求夹角值：由值确定（如则），结果用角度制表示（题干无要求时）。 示例：已知，，求异面直线夹角： 数量积：； 模长：，； 三、求空间距离的答题模板（仅空间两点间距离） 适用场景：求任意两个空间点的距离（如线段长度、异面直线上两点距离、几何体棱的长度） 具体步骤： 1. 定两点坐标：写出两点坐标，设平面外点为，平面内任意一点为。 2. 套距离公式：直接代入两点间距离公式（由向量模长公式推导）： 。 3. 计算结果：展开平方项、合并同类项，化简根号（如、），最终得到距离的具体数值或最简形式。 示例：求点与的距离： 代入公式：； 计算平方项：； 化简结果：，故两点间距离为。 四、关键公式与注意事项 1. 核心公式汇总 类型 公式（，；，） 两向量夹角 （） 异面直线夹角 （） 两点间距离 2. 避坑注意事项 夹角公式绝对值：异面直线夹角需加绝对值，确保结果为锐角或直角；空间两向量夹角无需加绝对值，可准确表示钝角（如对应）。 坐标差计算顺序：求向量坐标或两点距离时，“终点坐标-起点坐标”的顺序需统一（如用坐标减坐标），但距离计算中坐标差平方后不影响结果，无需担心符号问题。 【考点四：利用空间向量的坐标运算求数量积，投影向量】 【例题】1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 【针对训练】2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南漯河·期末）已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 【答案】C 【分析】根据投影向量的知识列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，在上的投影向量为， 所以， 解得. 故选：C 【解题策略】 一、通用核心前提 1. 定向量坐标：设两空间向量，（通过“建系—找点—算坐标差”获取，即向量坐标=终点坐标-起点坐标）。 二、求空间向量数量积的答题模板 适用场景：计算任意两空间向量的数量积（用于判断垂直、求夹角等） 核心步骤： 1. 套数量积公式：直接代入坐标，按“对应坐标相乘再相加”计算： 。 2. 得结果：计算上述代数和，得到数量积的具体数值（可为正、负或0）。 三、求投影向量的答题模板 适用场景：求向量在向量上的投影向量（） 核心步骤： 1. 算关键值： 先求（用数量积公式）； 再求（向量模长公式：），进而算。 2. 套投影向量公式：投影向量是“投影系数×的单位向量”，公式为： 。 3. 代坐标化简：将、及的坐标代入，计算得投影向量的坐标（如，其中）。 四、核心公式与注意事项 1. 核心公式汇总 运算类型 公式（，，） 数量积 在上的投影向量 2. 避坑注意事项 数量积计算：注意坐标正负号，避免符号错误导致结果偏差； 投影向量：需保证非零（分母），且投影向量与共线（方向相同或相反）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·北京·期末）设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知向量 则在向量 上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 10．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 11．（25-26高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 12．（24-25高二上·湖南长沙·期末）下列四个结论正确的是（    ） A．任意向量，若，则或或 B．若空间中点满足，则三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．已知向量，若，则为钝角 三、填空题 13．（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 14．（25-26高二上·全国·单元测试）在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A D B A BC AD 题号 11 12 答案 ABD AB 1．A 【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A 2．C 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可. 【详解】因为向量，，，所以存在，使得， 即，解得， 故选：C. 3．A 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 4．C 【分析】运用向量坐标运算计算即可. 【详解】解：因为向量，， 则 故选： 5．A 【分析】先求向量在向量上的投影，再根据投影向量公式计算可得答案. 【详解】根据向量投影公式，向量在向量上的投影为. 先计算. 再计算. 所以向量在向量上的投影为. 投影向量为.. 所以投影向量为. 在向量上的投影向量为， 故选：A. 6．D 【分析】首先利用坐标法求点 的轨迹方程，再利用公式法，即可求解. 【详解】以点为原点，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以， 即，此方程表示以为球心，以为半径的球， 球心到每个面的距离都是1，每个平面与球的截面圆的半径为， 所以点的轨迹是以每一个正方形的中点为圆心的圆，所以轨迹长度为. 故选：D 7．B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 8．A 【分析】建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，计算数量积，求最小值. 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 9．BC 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10．AD 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 11．ABD 【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误. 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 12．AB 【分析】由，则或或，从而可判断A； 根据，可得，从而可判断B； 根据空间向量数量积的定义即可判断C； 根据为钝角，求出x的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A，，则或或，即或或，故A正确； 对于B，因为，则，即，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确； 对于C，，是与共线得向量， ，是与共线得向量， 而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误； 对于D，，若，则， 当时，则存在唯一实数，使得，即， 所以，解得， 所以当，且时，为钝角，故D错误. 故选：AB. 13． ； . 【分析】以为原点建立适当空间直角坐标系，设，利用取得最小值时，为异面直线和的公垂线段，进而得且，利用向量垂直坐标表示即可求出参数s和t，进而利用向量坐标运算即可计算求解. 【详解】由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 当取得最小值时，为异面直线和的公垂线段， 所以此时且， 故， 所以取得最小值时，，， 所以的最小值为， 此时. 故答案为：；. 14． 0 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    15．(1)的坐标为或 (2)； 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第4讲：空间向量及其运算的坐标表示】 【学习目标】 一、知识目标 1. 理解空间向量的坐标表示，明确向量坐标与点坐标的对应关系； 2. 掌握空间向量加、减、数乘、数量积的坐标运算规则； 3. 熟记向量平行、垂直的坐标条件，以及向量模长、夹角、两点距离的坐标公式。 二、能力目标 1. 能根据几何体特征建立空间直角坐标系，准确确定点与向量的坐标； 2. 能熟练进行空间向量的坐标运算，快速求解数量积、模长、夹角等； 3. 能运用坐标运算解决向量平行、垂直判断及简单距离计算问题。 三、应用目标 1. 会用向量坐标运算转化空间几何中的位置关系（平行、垂直）与数量关系（距离、夹角）； 2. 为后续用向量法解决立体几何综合问题奠定基础。 【知识梳理】 一、空间向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底（按右手系排列，即右手拇指指向方向，食指指向方向，中指指向方向）。以为原点，分别以的方向为正方向，建立三条数轴：轴、轴、轴，这样就建立了空间直角坐标系。 2. 向量坐标确定：对于空间任意一点，过分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于、、三点。若，当与方向相同时，，反之；同理确定、。点的坐标与向量的坐标相同，即。例如，在棱长为的正方体中，以为原点，分别以为建立坐标系，若点为中点，则点坐标为，向量。 3. 向量坐标与点坐标关系：在空间直角坐标系中，点与位置向量一一对应，实现了空间点与向量的代数化表示。 4. 特殊点的坐标特征： 原点：坐标为（三条坐标轴的交点，位置向量为零向量）； 坐标轴上的点：轴上的点，如；轴上的点，如；轴上的点，如（仅在一条坐标轴上有非零坐标）； 坐标平面上的点：平面上的点，如；平面上的点，如；平面上的点，如（仅在一个坐标平面内，垂直于某条坐标轴）； 对称点：设点，其对称点坐标遵循“关于谁对称，谁不变；关于原点对称，全变号”原则，具体如下： 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于原点对称的点：（坐标全变号）。 示例：点，关于平面对称的点为，关于原点对称的点为。 二、空间向量运算的坐标规则 1. 向量加法：设，，则。例如，，，那么。 2. 向量减法：。如，，则。 3. 数乘向量：若为实数，，则。比如，，。 4. 数量积运算：。假设，，。 三、空间向量坐标的应用 1. 判断向量平行：当时，，，。例如，，，因为，，，即，所以。 2. 判断向量垂直：。比如，，，所以。 3. 求向量夹角：设两向量，，夹角公式为。若，，先求，，，则。 4. 求向量长度：向量的长度公式。例如，。 5. 求空间两点距离：设，，则。若，， 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：确定空间中任意一点的坐标】 【例题】1．（21-22高二·全国·课后作业）已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求. 【针对训练】2．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、垂线法（直接作轴的垂线，基础操作法） 适用场景：已建立空间直角坐标系，且目标点在坐标系中位置清晰（如正方体、长方体的顶点或面上的点），可直接向坐标轴作垂线确定坐标。 核心原理：空间中任意一点到某条坐标轴的垂线，其垂足在坐标轴上的数值，即为该点对应坐标轴的坐标（如到轴的垂足数值=点的坐标）。 具体步骤： 1. 定位目标点：在已建立的坐标系（如以为原点，轴两两垂直）中，找到目标点的空间位置。 2. 作轴的垂线： 过点作垂直于轴的直线，交轴于点，读取在轴上的数值（如），此即为点的坐标； 同理，过点作垂直于轴的直线，交轴于点，读取在轴上的数值（如），即为点的坐标； 过点作垂直于轴的直线，交轴于点，读取在轴上的数值（如），即为点的坐标。 3. 确定坐标：整合三个坐标轴的数值，得到点的坐标（如）。 示例：长方体中，以为原点，为轴、为轴、为轴，棱长，，。求点坐标： 过作轴垂线，垂足为（轴上数值为），故； 过作轴垂线，垂足为（轴上数值为），故； 过作轴垂线，垂足为（轴上数值为），故； 最终。 二、垂面法（作坐标平面的垂面，间接转化法） 适用场景：目标点到坐标轴的垂线不易直接作出（如斜棱柱侧面上的点），但可通过作坐标平面的垂面，找到点在平面上的投影，间接确定坐标。 核心原理：空间中任意一点到某坐标平面的垂面，其与平面的交线（投影线）可确定点在该平面上的投影坐标，再结合第三个坐标轴的数值，得到点的完整坐标（如到平面的垂面，可确定坐标，再补全坐标）。 具体步骤： 1. 选坐标平面：根据目标点位置，选择一个易作垂面的坐标平面（如平面、平面，优先选已知条件多的平面）。 2. 作垂面找投影： 过点作垂直于所选坐标平面的平面（垂面），该垂面与坐标平面的交线即为点在该平面上的“投影线”； 沿投影线找到点在坐标平面上的投影点$P'$，用“垂线法”确定$P'$在该平面内的两个坐标（如在平面上，，则，）。 3. 确定第三个坐标： 投影点$P'$与原点点的连线垂直于坐标平面，该连线的长度（或方向）即为第三个坐标的数值（如在平面上方，距离平面个单位，则；在下方则）。 4. 整合坐标：将三个坐标数值整合，得到点的坐标（如）。 示例：斜棱柱中，以为原点，为轴、（垂直的底面线段）为轴、过的竖直线为轴，已知底面在平面上方，点在平面上的投影为，且到平面距离为。求坐标： 选平面为投影平面，过作垂直于平面的垂面，交平面于，故的坐标与相同，即，； 到平面距离为（在平面上方，），故； 最终。 三、两种方法的对比与注意事项 方法 适用场景 操作关键 优势 垂线法 规则几何体（正方体、长方体），点位置清晰 直接向坐标轴作垂线，读数值 步骤少，计算简单 垂面法 不规则几何体（斜棱柱、三棱锥），垂线难作 先找平面投影，再补第三坐标 适用范围广，灵活度高 注意事项： 1. 垂面需“真垂直”：作垂面时，需确保垂面与坐标平面垂直（可借助几何体中已知的垂直关系，如侧棱垂直底面，则侧棱所在平面垂直底面）； 2. 投影坐标对应准：投影点的坐标与原点点的坐标，仅第三个坐标不同（如平面投影，相同，不同），避免混淆坐标对应关系； 3. 方向影响符号：坐标数值的正负由点在坐标轴/平面的“方向”决定（如在轴负方向，；在平面下方，），需结合坐标系方向判断。 【考点二：空间向量平行与垂直的坐标表示】 【例题】1.（24-25高二下·江苏南京·期中）设向量则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（24-25高二上·广东江门·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则 . 2．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间中三点，设， (1)若，且，求向量 (2)已知向量与互相垂直，求k 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）（1）已知向量，. ①计算；②求. （2）已知向量，. ①若∥，求实数； ②若，求实数. 【解题策略】 一、通用答题模板 第一步：确定待判断向量的坐标 1. 找向量：根据题干条件，明确需要判断平行或垂直关系的两个空间向量（记为、），若向量与直线关联，则取直线的方向向量；若与平面关联，则取平面内的不共线向量。 2. 写坐标：通过“建系—找点—算坐标”（参考垂线法/垂面法确定点坐标），写出两个向量的坐标： 设，（若题干已给出坐标，直接代入即可）。 二、向量平行的坐标表示答题模板 适用场景：判断两向量是否平行（或两直线是否平行，需结合直线位置关系） 具体步骤： 1. 验零向量：先判断是否存在零向量——若或为零向量（坐标全为0），则需结合题干条件进一步分析（零向量与任意向量平行，但实际解题中多为非零向量）；若均为非零向量，进入下一步。 2. 套平行条件：根据向量平行的坐标性质，非零向量的充要条件是“坐标对应成比例”，即： （记为比例式，需注意分母不为0，若某分母为0，则对应分子也为0，如则）。 也可表述为“存在实数，使”，即，，。 3. 代坐标计算：将、的坐标代入比例式（或系数等式），验证是否满足条件： 若满足（如），则； 若不满足（如），则与不平行。 4. 关联几何结论：若向量是直线方向向量，且两直线不重合，则“”可推出“直线”。 三、向量垂直的坐标表示答题模板 适用场景：判断两向量是否垂直（或两直线、线面是否垂直，需结合几何关系） 具体步骤： 1. 套垂直条件：根据向量垂直的坐标性质，两向量的充要条件是“数量积为0”，即： （无需判断零向量，零向量与任意向量数量积为0）。 2. 代坐标计算：将、的坐标代入数量积公式，计算结果： 若计算得（如），则； 若结果不为0，则与不垂直。 3. 关联几何结论： 若向量是直线方向向量，则“”可推出“直线”； 若向量分别是直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量，且直线方向向量与两者均垂直，则“直线平面”。 四、关键公式与注意事项 1. 核心公式汇总 关系 坐标表示（，） 平行（） （）或 垂直（） 2. 避坑注意事项 平行判断分母不为0：若向量某坐标为0（如），则对应坐标也需为0（即），比例式写为“，”，避免出现分母为0的错误。 垂直计算符号正确：代入坐标时注意正负号（如，，数量积为），防止符号错误导致结果偏差。 几何关系需补充：向量平行/垂直仅为几何关系的“必要条件”，如判断直线平行时，需额外说明“两直线不重合”；判断线面垂直时，需说明“平面内两向量相交”，避免逻辑漏洞。 【考点三：利用空间向量的坐标运算求夹角，距离】 【例题】1．（2025·广东佛山·一模）如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． (1)若分别是的中点，求证：平面； (2)若，，求． 【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 1．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、通用答题模板 第一步：确定向量坐标或点坐标 1. 建系与找点：根据几何体特征（如正方体、长方体、带垂直关系的三棱锥），建立空间直角坐标系（优先选棱两两垂直的点为原点），确定相关点的坐标（用垂线法/垂面法，如点、）。 2. 求向量坐标：若求夹角，取相关向量（如直线方向向量、平面内向量），用“终点坐标-起点坐标”计算： 设向量对应两点，则；若求距离，直接确定两点坐标即可。 二、求空间夹角的答题模板（分两类场景） 场景1：空间两向量的夹角（含平面向量拓展） 适用场景：求任意两个空间向量的夹角（如平面内两向量、异面直线方向向量的夹角） 具体步骤： 1. 定向量坐标：写出两向量坐标，设，。 2. 算核心值： 计算数量积：； 计算模长：，。 3. 套夹角公式：设向量夹角为（），代入公式： 。 4. 求夹角值：根据值，结合特殊角三角函数值（如则，则），得夹角。 场景2：异面直线的夹角 适用场景：求空间中不共面的两条直线的夹角 具体步骤： 1. 取方向向量：分别取两条异面直线的方向向量、，计算其坐标（同“通用步骤”）。 2. 算核心值：同“向量夹角”步骤2，计算、、。 3. 套夹角公式：设异面直线夹角为（，因夹角取锐角或直角），公式需加绝对值： 。 4. 求夹角值：由值确定（如则），结果用角度制表示（题干无要求时）。 示例：已知，，求异面直线夹角： 数量积：； 模长：，； 三、求空间距离的答题模板（仅空间两点间距离） 适用场景：求任意两个空间点的距离（如线段长度、异面直线上两点距离、几何体棱的长度） 具体步骤： 1. 定两点坐标：写出两点坐标，设平面外点为，平面内任意一点为。 2. 套距离公式：直接代入两点间距离公式（由向量模长公式推导）： 。 3. 计算结果：展开平方项、合并同类项，化简根号（如、），最终得到距离的具体数值或最简形式。 示例：求点与的距离： 代入公式：； 计算平方项：； 化简结果：，故两点间距离为。 四、关键公式与注意事项 1. 核心公式汇总 类型 公式（，；，） 两向量夹角 （） 异面直线夹角 （） 两点间距离 2. 避坑注意事项 夹角公式绝对值：异面直线夹角需加绝对值，确保结果为锐角或直角；空间两向量夹角无需加绝对值，可准确表示钝角（如对应）。 坐标差计算顺序：求向量坐标或两点距离时，“终点坐标-起点坐标”的顺序需统一（如用坐标减坐标），但距离计算中坐标差平方后不影响结果，无需担心符号问题。 【考点四：利用空间向量的坐标运算求数量积，投影向量】 【例题】1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 4．（24-25高二上·河南漯河·期末）已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 【解题策略】 一、通用核心前提 1. 定向量坐标：设两空间向量，（通过“建系—找点—算坐标差”获取，即向量坐标=终点坐标-起点坐标）。 二、求空间向量数量积的答题模板 适用场景：计算任意两空间向量的数量积（用于判断垂直、求夹角等） 核心步骤： 1. 套数量积公式：直接代入坐标，按“对应坐标相乘再相加”计算： 。 2. 得结果：计算上述代数和，得到数量积的具体数值（可为正、负或0）。 三、求投影向量的答题模板 适用场景：求向量在向量上的投影向量（） 核心步骤： 1. 算关键值： 先求（用数量积公式）； 再求（向量模长公式：），进而算。 2. 套投影向量公式：投影向量是“投影系数×的单位向量”，公式为： 。 3. 代坐标化简：将、及的坐标代入，计算得投影向量的坐标（如，其中）。 四、核心公式与注意事项 1. 核心公式汇总 运算类型 公式（，，） 数量积 在上的投影向量 2. 避坑注意事项 数量积计算：注意坐标正负号，避免符号错误导致结果偏差； 投影向量：需保证非零（分母），且投影向量与共线（方向相同或相反）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·北京·期末）设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知向量 则在向量 上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 10．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 11．（25-26高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 12．（24-25高二上·湖南长沙·期末）下列四个结论正确的是（    ） A．任意向量，若，则或或 B．若空间中点满足，则三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．已知向量，若，则为钝角 三、填空题 13．（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 14．（25-26高二上·全国·单元测试）在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$