第2讲 空间向量的数量积运算【知识梳理+题型总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二上学前期数学常考题型归纳 【第2讲：空间向量的数量积运算】 【学习目标】 一、知识理解目标 1. 掌握数量积定义：非零向量（为夹角），零向量数量积为0，明确其结果是实数及“投影”几何意义； 2. 熟记核心性质：非负性（）、对称性（）、垂直判定（非零向量）。 二、运算掌握目标 1. 运用运算律：数乘结合律、分配律，避免混淆结合律； 三、应用能力目标 1. 解决计算问题：算数量积（定义/坐标法）、求模长（）、定夹角（结合辨锐角/钝角）； 2. 证明位置关系：证线线垂直（方向向量数量积为0）、线面垂直（方向向量与平面内两不共线向量数量积为0）、辅助证面面垂直（法向量数量积为0）。 四、素养提升目标 1. 发展直观想象：关联数量积与空间线段长度、夹角的几何意义； 2. 提升逻辑推理与运算：严谨推导公式，规范选择定义/坐标法解题； 3. 强化转化思想：将几何问题（垂直、夹角）转化为向量数量积的代数问题。 【知识梳理】 一、基本概念 1. 定义 非零向量：设空间中两非零向量、，夹角为（），则数量积； 零向量：零向量与任一向量的数量积为（即）； 结果本质：数量积是实数（非向量），反映两向量“投影”关系（在上的投影为，数量积即投影与的乘积）。 2. 关键关联概念 向量夹角：两向量共起点时，从同一起点出发的有向线段构成的不大于的角；若两向量不共起点，需平移至同一起点再找夹角； 向量投影与投影向量： 投影（数量）：在方向上的投影为（可正、可负、可零，正负由是否为锐角/钝角决定，零对应）； 投影向量（向量）：在方向上的投影向量为（即投影数量与同向单位向量的乘积），方向与相同或相反（为锐角/钝角），或为零向量（）； 二、核心性质（细化推导与说明） 1. 非负性： 内容：对任意向量，，当且仅当时等号成立； 推导：与自身夹角，故； 应用：可直接求向量模长（），或判断向量是否为零向量（若，则）。 2. 对称性： 内容：； 推导：，（夹角相同），故两者相等。 3. 垂直判定（充要条件）： 内容：非零向量的充要条件是； 推导：若，则，，故；反之，若且、非零，则，，即； 地位：空间中直线与直线、直线与平面垂直证明的核心依据。 4. 特殊角对应值： 当（两向量同向）时，，故； 当（两向量反向）时，，故； 当（两向量垂直）时，，故（与垂直判定一致）。 5. 模长不等式（补充）： 内容：对任意向量、，，当且仅当与共线（同向或反向）时等号成立； 推导：由，得。 三、运算规则 1. 运算律 数乘结合律：（为实数，数乘可提前或后置）； 分配律：（向量和的数量积等于数量积的和）； 注意：数量积无结合律，即（左侧结果与共线，右侧与共线，方向未必相同）。 四、主要应用 1. 计算类问题 求数量积：已知向量模与夹角，直接用定义计算； 求向量模长：利用，结合运算律（如）； 求两向量夹角：通过的值，结合确定夹角，区分锐角（且两向量不同向）、钝角（且两向量不反向）； 求投影向量：先算在上的投影数量，再乘的单位向量，即投影向量为。 2. 证明类问题 证线线垂直：若两直线方向向量为、，证明； 证线面垂直：证明直线方向向量与平面内两条不共线向量的数量积均为； 辅助证面面垂直：证明两平面法向量的数量积为（法向量垂直则平面垂直）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：空间向量数量积的计算】 【例题】1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 2．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）在四面体中，所有梭长都是2，、分别为棱、的中点，则 【针对训练】1．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 2．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    3．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【考点二：空间向量数量积求角或角的余弦值】 【例题】1．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值． 【针对训练】1．（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解题策略】 一、核心公式 对空间中两非零向量、，设其夹角为（），则： （求角时，先计算，再结合确定角的大小） 二、分类型解题步骤 类型1：已知向量的模与数量积 适用条件 题干直接给出、及的具体数值。 解题步骤 1. 计算余弦值：将、、代入核心公式，直接计算； 2. 确定夹角：根据的值，结合特殊角余弦值（如、、、）及确定；非特殊角保留形式（如）。 类型2：已知向量线性组合（含基底向量） 适用条件 题干给出目标向量的线性关系（如，，为实数），且已知基底、的模与夹角。 解题步骤 1. 计算： 用数量积分配律、数乘结合律展开：； 代入基底相关值：，，，计算得。 2. 计算、： 由，展开，代入值后开方得； 同理，由计算。 3. 求与：代入核心公式，重复“类型1”步骤2。 【考点三：空间向量数量积求距离】 【例题】1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 【针对训练】1．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．      2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在平行六面体中，，，，，则 . 3．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 .    【解题策略】 一、核心原理：距离与向量模的关系 空间中两点间距离、点到直线距离、点到平面距离，均可通过“向量模”转化计算，而向量模可由数量积推导：对任意向量，（数量积非负性的直接应用）。解题关键是“将所求距离转化为某一向量的模，再用数量积计算该向量的模”。 二、分场景解题方法 场景1：两点间距离（最基础应用） 适用条件 已知两点、对应的位置向量（或能表示出）。 解题步骤 1. 确定距离对应的向量：两点、间的距离； 2. 用数量积表示模：由，若可表示为线性组合（如），则展开得： ； 3. 代入计算：将已知的向量模、数量积代入公式，开方得距离。 【考点四：空间向量数量积求投影或投影向量】 【例题】1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（22-23高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（23-24高二上·广东·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心概念：投影数量与投影向量的区分 概念 本质 结果类型 核心关联 投影数量 向量在某方向上的“长度投影”（含正负） 实数 与数量积直接相关，是投影向量的模（加符号） 投影向量 向量在某方向上的“向量形式投影” 向量 由投影数量与方向向量单位向量相乘得到 解题前提：已知两非零向量（被投影向量）、（投影方向向量），设其夹角为（），数量积是核心计算依据。 二、分类型解题方法 类型1：求投影数量（高频基础题型） 适用条件 已知、的模与夹角，或能计算出与。 解题原理 在方向上的投影数量，等于的模与两向量夹角余弦值的乘积，结合数量积公式可推导为： 投影数量（核心公式）。 （当为锐角时，投影数量为正；直角时为0；钝角时为负） 解题步骤 1. 确定向量关系：明确被投影向量是，投影方向向量是（不可混淆）； 2. 计算关键值： 若已知、：直接用计算； 若已知、：用计算（无需单独求，更简便）； 若仅知向量线性组合（如，）：先通过数量积运算律求，再用求模，最后代入公式。 3. 确定结果符号：根据范围验证符号（为正，为0，为负），确保与计算结果一致。 类型2：求投影向量（进阶题型） 适用条件 已知、的模与夹角，或能计算出投影数量与的单位向量。 解题原理 投影向量是“投影数量”与“方向单位向量”的乘积，步骤分两步： 1. 先求的单位向量：（方向与相同，模为1）； 2. 再求投影向量：投影向量在上的投影数量，代入投影数量公式得： 投影向量（核心公式）。 解题步骤 1. 计算投影数量：按“类型1”步骤，求出在上的投影数量（记为）； 2. 求方向单位向量：计算的单位向量（若未知，用计算）； 3. 计算投影向量：将与相乘，即投影向量，结果保留向量形式（可整理为线性组合形式，如）。 三、解题关键技巧 1. 方向向量的灵活处理：若投影方向是“直线”（而非向量），可取直线的方向向量作为（方向不影响投影数量的绝对值，仅影响投影向量的方向）； 2. 零向量特殊处理：若为零向量，投影无意义；若为零向量，其投影数量为0，投影向量为零向量； 3. 利用垂直关系简化：若（即），直接得投影数量为0，投影向量为零向量，无需额外计算。 四、易错点警示 1. 投影方向不可颠倒：在上的投影，与在上的投影完全不同（公式中分子分母需对应：前者分子、分母，后者分子、分母）； 2. 投影向量的方向：投影向量必与同向或反向（由投影数量符号决定），若结果方向不符，必为“单位向量计算错误”或“投影数量符号错误”； 3. 公式分母不为零：计算时需确保（即非零），否则分母为零，公式无意义。 【考点五：利用空间向量数量积证明垂直关系】 【例题】1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【针对训练】1．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题策略】 一、核心原理：垂直关系的向量判定依据 空间中垂直关系的证明，本质是通过“向量数量积为0”实现转化，核心依据为： 对任意两个非零向量、，的充要条件是（数量积非负性与垂直定义的结合推导）。 解题关键：将几何中的“线、面垂直”转化为“对应向量垂直”，再通过计算数量积是否为0完成证明。 二、分类型解题方法 类型1：证明两条直线垂直（线线垂直） 适用场景 已知两条直线的方向向量（或可求出方向向量），证明直线。 解题原理 直线的方向向量反映直线的走向，若两条直线的方向向量垂直，则直线垂直。即： 设的方向向量为，的方向向量为，则。 解题步骤 1. 取方向向量：根据题干条件（如几何体棱长、点坐标、向量线性关系），分别求出的方向向量、的方向向量（可通过两点连线向量表示，如，、为上两点）； 2. 计算数量积：利用数量积定义（）或运算律（若向量为线性组合，如，，则展开计算）； 3. 判定垂直：若，则，进而证明。 类型2：证明直线与平面垂直（线面垂直） 适用场景 已知直线的方向向量和平面内两条不共线向量，证明直线平面。 解题原理 线面垂直的判定定理：若直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面。转化为向量关系： 设直线的方向向量为，平面内两条不共线向量为、（对应平面内两条相交直线的方向向量），则且且。 解题步骤 1. 取关键向量： 求直线的方向向量（如，、为直线上两点）； 在平面内取两条不共线向量、（优先取几何体的棱向量，如正方体的、，确保两向量对应平面内相交直线）； 2. 计算两个数量积：分别计算和（方法同“类型1”：已知模与夹角用定义，线性组合用运算律展开）； 3. 判定垂直：若且，则垂直于平面内两条相交直线的方向向量，进而证明。 三、解题关键技巧 1. 基底向量选择：在无坐标系的几何体中，优先选择“从同一顶点出发的不共面棱向量”作为基底（如长方体的、、），将所有目标向量（方向向量、平面内向量）转化为基底的线性组合，简化数量积计算； 2. 相交直线向量选取：证明线面垂直时，平面内的向量需对应“相交直线”，可通过几何体顶点直接取棱向量（如三棱锥中、，为平面内公共顶点），确保不共线； 3. 特殊情况直接判定：若题干明确平面内两条直线垂直，且直线方向向量与这两条直线方向向量均垂直，可直接跳过复杂推导，快速关联数量积为0的条件。 四、易错点警示 1. 向量非零性验证：计算数量积前，需确保所用向量（直线方向向量、平面内向量）均为非零向量，否则“数量积为0”无法推出垂直（零向量与任意向量数量积均为0）； 2. 平面内向量不共线：证明线面垂直时，平面内取的两条向量必须不共线（若共线，仅能说明直线与一条直线垂直，无法证明与平面内所有直线垂直）； 3. 方向向量对应直线：直线方向向量需准确对应直线走向（如与均为直线的方向向量，不影响垂直判定，因数量积结果符号不改变“是否为0”的性质）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （    ） A． B．2 C．4 D．6 6．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 二、多选题 8．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）在平行六面体中，，，M为的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 10．（24-25高二上·重庆长寿·阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量 ； ． 四、解答题 11．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设． (1)试用表示； (2)求的长度； (3)求直线与直线所成角的余弦值． 12．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，平行六面体中，已知，且；    (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的大小； 14．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026年高二上学前期数学常考题型归纳 【第2讲：空间向量的数量积运算】 【学习目标】 一、知识理解目标 1. 掌握数量积定义：非零向量（为夹角），零向量数量积为0，明确其结果是实数及“投影”几何意义； 2. 熟记核心性质：非负性（）、对称性（）、垂直判定（非零向量）。 二、运算掌握目标 1. 运用运算律：数乘结合律、分配律，避免混淆结合律； 三、应用能力目标 1. 解决计算问题：算数量积（定义/坐标法）、求模长（）、定夹角（结合辨锐角/钝角）； 2. 证明位置关系：证线线垂直（方向向量数量积为0）、线面垂直（方向向量与平面内两不共线向量数量积为0）、辅助证面面垂直（法向量数量积为0）。 四、素养提升目标 1. 发展直观想象：关联数量积与空间线段长度、夹角的几何意义； 2. 提升逻辑推理与运算：严谨推导公式，规范选择定义/坐标法解题； 3. 强化转化思想：将几何问题（垂直、夹角）转化为向量数量积的代数问题。 【知识梳理】 一、基本概念 1. 定义 非零向量：设空间中两非零向量、，夹角为（），则数量积； 零向量：零向量与任一向量的数量积为（即）； 结果本质：数量积是实数（非向量），反映两向量“投影”关系（在上的投影为，数量积即投影与的乘积）。 2. 关键关联概念 向量夹角：两向量共起点时，从同一起点出发的有向线段构成的不大于的角；若两向量不共起点，需平移至同一起点再找夹角； 向量投影与投影向量： 投影（数量）：在方向上的投影为（可正、可负、可零，正负由是否为锐角/钝角决定，零对应）； 投影向量（向量）：在方向上的投影向量为（即投影数量与同向单位向量的乘积），方向与相同或相反（为锐角/钝角），或为零向量（）； 二、核心性质（细化推导与说明） 1. 非负性： 内容：对任意向量，，当且仅当时等号成立； 推导：与自身夹角，故； 应用：可直接求向量模长（），或判断向量是否为零向量（若，则）。 2. 对称性： 内容：； 推导：，（夹角相同），故两者相等。 3. 垂直判定（充要条件）： 内容：非零向量的充要条件是； 推导：若，则，，故；反之，若且、非零，则，，即； 地位：空间中直线与直线、直线与平面垂直证明的核心依据。 4. 特殊角对应值： 当（两向量同向）时，，故； 当（两向量反向）时，，故； 当（两向量垂直）时，，故（与垂直判定一致）。 5. 模长不等式（补充）： 内容：对任意向量、，，当且仅当与共线（同向或反向）时等号成立； 推导：由，得。 三、运算规则 1. 运算律 数乘结合律：（为实数，数乘可提前或后置）； 分配律：（向量和的数量积等于数量积的和）； 注意：数量积无结合律，即（左侧结果与共线，右侧与共线，方向未必相同）。 四、主要应用 1. 计算类问题 求数量积：已知向量模与夹角，直接用定义计算； 求向量模长：利用，结合运算律（如）； 求两向量夹角：通过的值，结合确定夹角，区分锐角（且两向量不同向）、钝角（且两向量不反向）； 求投影向量：先算在上的投影数量，再乘的单位向量，即投影向量为。 2. 证明类问题 证线线垂直：若两直线方向向量为、，证明； 证线面垂直：证明直线方向向量与平面内两条不共线向量的数量积均为； 辅助证面面垂直：证明两平面法向量的数量积为（法向量垂直则平面垂直）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：空间向量数量积的计算】 【例题】1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 【答案】4 【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 故, 故答案为：4    2．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）在四面体中，所有梭长都是2，、分别为棱、的中点，则 【答案】/ 【分析】用向量，表示出，利用数量积的运算即可求解. 【详解】 如图，由题意有， ，又因为两两的夹角为，且模长为2， 所以， 所以 . 故答案为：. 【针对训练】1．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 2．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    【答案】/0.25 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则，    由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 【考点二：空间向量数量积求角或角的余弦值】 【例题】1．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 2.（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）根据数量积的定义可得，，，即可根据模长公式以及夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知 ． 方法二：因为为的中点，所以． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，． 所以 ， 即线段的长为． 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为． 【针对训练】1．（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，设，易知，， 因为，所以，， 则， 又，得到， ，得到, 设和的夹角为，则, 故选：C. 2.（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用空间向量线性运算、空间向量数量积的运算及模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，先求出，，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】（1）由题知， 又， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 【解题策略】 一、核心公式 对空间中两非零向量、，设其夹角为（），则： （求角时，先计算，再结合确定角的大小） 二、分类型解题步骤 类型1：已知向量的模与数量积 适用条件 题干直接给出、及的具体数值。 解题步骤 1. 计算余弦值：将、、代入核心公式，直接计算； 2. 确定夹角：根据的值，结合特殊角余弦值（如、、、）及确定；非特殊角保留形式（如）。 类型2：已知向量线性组合（含基底向量） 适用条件 题干给出目标向量的线性关系（如，，为实数），且已知基底、的模与夹角。 解题步骤 1. 计算： 用数量积分配律、数乘结合律展开：； 代入基底相关值：，，，计算得。 2. 计算、： 由，展开，代入值后开方得； 同理，由计算。 3. 求与：代入核心公式，重复“类型1”步骤2。 【考点三：空间向量数量积求距离】 【例题】1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】C 【分析】结合图形将用基底线性表示，再由模长公式计算即得. 【详解】由于， 所以 ， 故选：C 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：D 【针对训练】1．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．      【答案】 【分析】先把用、、表示出来.接着利用完全平方公式展开，得到.再根据已知条件，算出各向量模长及向量间夹角余弦值，代入式子求出的值.最后根据向量模长与向量平方的关系，对开方，得到的模长. 【详解】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解. 故， 故， 故， 故答案为： 2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在平行六面体中，，，，，则 . 【答案】 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长. 【详解】 以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故答案为： 3．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 .    【答案】 / 【分析】第一空，先转化向量，再利用向量数量积求解；第二空，先作，再根据二面角为得最后根据，利用向量平方求结果. 【详解】第一空，因为矩形， 所以 第二空，分别过作，分别交于，    因为二面角为，所以平面平面， 又平面平面,平面所以平面， 因为平面,所以， 因为矩形，所以， 同理可得， 因为 所以 故答案为：，. 【解题策略】 一、核心原理：距离与向量模的关系 空间中两点间距离、点到直线距离、点到平面距离，均可通过“向量模”转化计算，而向量模可由数量积推导：对任意向量，（数量积非负性的直接应用）。解题关键是“将所求距离转化为某一向量的模，再用数量积计算该向量的模”。 二、分场景解题方法 场景1：两点间距离（最基础应用） 适用条件 已知两点、对应的位置向量（或能表示出）。 解题步骤 1. 确定距离对应的向量：两点、间的距离； 2. 用数量积表示模：由，若可表示为线性组合（如），则展开得： ； 3. 代入计算：将已知的向量模、数量积代入公式，开方得距离。 【考点四：空间向量数量积求投影或投影向量】 【例题】1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 2．（22-23高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥如图所示， 底面是矩形，∴， 底面，底面，∴， 过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,， 故选：B 【针对训练】1．（23-24高二上·广东·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 2.（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 【解题策略】 一、核心概念：投影数量与投影向量的区分 概念 本质 结果类型 核心关联 投影数量 向量在某方向上的“长度投影”（含正负） 实数 与数量积直接相关，是投影向量的模（加符号） 投影向量 向量在某方向上的“向量形式投影” 向量 由投影数量与方向向量单位向量相乘得到 解题前提：已知两非零向量（被投影向量）、（投影方向向量），设其夹角为（），数量积是核心计算依据。 二、分类型解题方法 类型1：求投影数量（高频基础题型） 适用条件 已知、的模与夹角，或能计算出与。 解题原理 在方向上的投影数量，等于的模与两向量夹角余弦值的乘积，结合数量积公式可推导为： 投影数量（核心公式）。 （当为锐角时，投影数量为正；直角时为0；钝角时为负） 解题步骤 1. 确定向量关系：明确被投影向量是，投影方向向量是（不可混淆）； 2. 计算关键值： 若已知、：直接用计算； 若已知、：用计算（无需单独求，更简便）； 若仅知向量线性组合（如，）：先通过数量积运算律求，再用求模，最后代入公式。 3. 确定结果符号：根据范围验证符号（为正，为0，为负），确保与计算结果一致。 类型2：求投影向量（进阶题型） 适用条件 已知、的模与夹角，或能计算出投影数量与的单位向量。 解题原理 投影向量是“投影数量”与“方向单位向量”的乘积，步骤分两步： 1. 先求的单位向量：（方向与相同，模为1）； 2. 再求投影向量：投影向量在上的投影数量，代入投影数量公式得： 投影向量（核心公式）。 解题步骤 1. 计算投影数量：按“类型1”步骤，求出在上的投影数量（记为）； 2. 求方向单位向量：计算的单位向量（若未知，用计算）； 3. 计算投影向量：将与相乘，即投影向量，结果保留向量形式（可整理为线性组合形式，如）。 三、解题关键技巧 1. 方向向量的灵活处理：若投影方向是“直线”（而非向量），可取直线的方向向量作为（方向不影响投影数量的绝对值，仅影响投影向量的方向）； 2. 零向量特殊处理：若为零向量，投影无意义；若为零向量，其投影数量为0，投影向量为零向量； 3. 利用垂直关系简化：若（即），直接得投影数量为0，投影向量为零向量，无需额外计算。 四、易错点警示 1. 投影方向不可颠倒：在上的投影，与在上的投影完全不同（公式中分子分母需对应：前者分子、分母，后者分子、分母）； 2. 投影向量的方向：投影向量必与同向或反向（由投影数量符号决定），若结果方向不符，必为“单位向量计算错误”或“投影数量符号错误”； 3. 公式分母不为零：计算时需确保（即非零），否则分母为零，公式无意义。 【考点五：利用空间向量数量积证明垂直关系】 【例题】1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【针对训练】1．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【答案】(1)4； (2)证明见解析 【分析】（1）设，把作为一组基底，根据题意可得，结合计算即可得出结果； （2）根据题意可得和，结合向量的数量积计算即可得出结果. 【详解】（1）设，则作为一组基 ， ， ， 解得，所以； （2） ， 所以，则 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，使得，理由见解析，. 【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论； （2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论； （3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论. 【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以存在点，使得，此时. 【解题策略】 一、核心原理：垂直关系的向量判定依据 空间中垂直关系的证明，本质是通过“向量数量积为0”实现转化，核心依据为： 对任意两个非零向量、，的充要条件是（数量积非负性与垂直定义的结合推导）。 解题关键：将几何中的“线、面垂直”转化为“对应向量垂直”，再通过计算数量积是否为0完成证明。 二、分类型解题方法 类型1：证明两条直线垂直（线线垂直） 适用场景 已知两条直线的方向向量（或可求出方向向量），证明直线。 解题原理 直线的方向向量反映直线的走向，若两条直线的方向向量垂直，则直线垂直。即： 设的方向向量为，的方向向量为，则。 解题步骤 1. 取方向向量：根据题干条件（如几何体棱长、点坐标、向量线性关系），分别求出的方向向量、的方向向量（可通过两点连线向量表示，如，、为上两点）； 2. 计算数量积：利用数量积定义（）或运算律（若向量为线性组合，如，，则展开计算）； 3. 判定垂直：若，则，进而证明。 类型2：证明直线与平面垂直（线面垂直） 适用场景 已知直线的方向向量和平面内两条不共线向量，证明直线平面。 解题原理 线面垂直的判定定理：若直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面。转化为向量关系： 设直线的方向向量为，平面内两条不共线向量为、（对应平面内两条相交直线的方向向量），则且且。 解题步骤 1. 取关键向量： 求直线的方向向量（如，、为直线上两点）； 在平面内取两条不共线向量、（优先取几何体的棱向量，如正方体的、，确保两向量对应平面内相交直线）； 2. 计算两个数量积：分别计算和（方法同“类型1”：已知模与夹角用定义，线性组合用运算律展开）； 3. 判定垂直：若且，则垂直于平面内两条相交直线的方向向量，进而证明。 三、解题关键技巧 1. 基底向量选择：在无坐标系的几何体中，优先选择“从同一顶点出发的不共面棱向量”作为基底（如长方体的、、），将所有目标向量（方向向量、平面内向量）转化为基底的线性组合，简化数量积计算； 2. 相交直线向量选取：证明线面垂直时，平面内的向量需对应“相交直线”，可通过几何体顶点直接取棱向量（如三棱锥中、，为平面内公共顶点），确保不共线； 3. 特殊情况直接判定：若题干明确平面内两条直线垂直，且直线方向向量与这两条直线方向向量均垂直，可直接跳过复杂推导，快速关联数量积为0的条件。 四、易错点警示 1. 向量非零性验证：计算数量积前，需确保所用向量（直线方向向量、平面内向量）均为非零向量，否则“数量积为0”无法推出垂直（零向量与任意向量数量积均为0）； 2. 平面内向量不共线：证明线面垂直时，平面内取的两条向量必须不共线（若共线，仅能说明直线与一条直线垂直，无法证明与平面内所有直线垂直）； 3. 方向向量对应直线：直线方向向量需准确对应直线走向（如与均为直线的方向向量，不影响垂直判定，因数量积结果符号不改变“是否为0”的性质）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （    ） A． B．2 C．4 D．6 6．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 二、多选题 8．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）在平行六面体中，，，M为的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 10．（24-25高二上·重庆长寿·阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量 ； ． 四、解答题 11．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设． (1)试用表示； (2)求的长度； (3)求直线与直线所成角的余弦值． 12．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，平行六面体中，已知，且；    (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的大小； 14．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C B D D AD 1．C 【分析】利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解. 【详解】由题知，， 所以 ， 即线段的长为. 故选：C 2．A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 3．B 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 4．C 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解. 【详解】，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：C 5．B 【分析】根据给定的条件，取空间的基底，求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在平行六面体 中，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 . 故选：B 6．D 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 7．D 【分析】以向量为基底，通过空间向量的加减及数乘运算，分别写出，结合数量积运算公式、空间向量的模长计算公式、异面直线所成角的向量计算公式，分别计算求解，进而判断各选项. 【详解】对于A，由题意， ，故A错误； 对于B，记， 所以，， 所以，，故B错误； 对于C，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为，, 所以，， ， 又因为 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故D正确. 故选：D. 8．AD 【分析】根据向量的线性运算判断A，根据A的结果，计算数量积，判断B，利用基底表示，再代入向量数量积运算求模，判断C，根据几何图形，判断D. 【详解】对于A，，故A正确： 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误： 对于D，易得为正三角形，故，故D正确. 故选：AD 9． 【分析】利用转化法结合向量的数量积的运算律可求值. 【详解】 . 故答案为：. 10． 【分析】由空间向量的线性运算，结合图象，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】由为的中点，则，由，则， ， ， ，，, . 故答案为：；. 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到答案； （2）在（1）的基础上，平方求出，开方得到答案； （3）计算出，结合（2）中所求的，利用异面直线夹角余弦公式得到答案. 【详解】（1） ． （2）棱长均为1的四棱柱中，， ， 所以． （3）， 因为， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； （3）因为， 所以 . 13．(1)，， (2) 【分析】（1）由向量的线性运算，及模长公式即可求解； （2）由异面直线夹角的向量法求解即可； 【详解】（1）由题意可得：， ， ， ， ， ， （2）由（1）可得：, 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 所以 14．(1)；； (2). 【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长； （2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角. 【详解】（1）， 利用空间向量加法可得； 由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，， 所以，，， ， 所以线段CD的长为. （2），， ， 又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$