第1讲 空间向量及其线性运算【知识梳理+题型总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第一讲：空间向量及其线性运算】 【学习目标】 1.理解空间向量概念：了解空间向量的实际背景，理解空间向量及相关概念，如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量等，掌握空间向量的几何表示和字母表示。 2.掌握线性运算及运算律：掌握空间向量的加法、减法和数乘运算，理解其运算律，包括加法的交换律和结合律，数乘的结合律与分配律等。能借助图形理解空间向量线性运算的意义，明白空间任意两个向量都可通过平移转化为同一平面内的向量，进而利用平面向量的三角形法则和平行四边形法则进行运算。 3.经历概念与运算推广过程：经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程，体会类比、特殊与一般、转化与化归等思想，通过空间向量加法结合律的证明，感受维数增加对向量推广带来的变化。 4.提升数学素养与能力：在学习过程中，进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力。 【知识梳理】 一、空间向量的基本概念 概念 定义与性质 空间向量 空间中具有大小（模）和方向的量，用有向线段表示，记为或（为起点，为终点）。属于自由向量，可在空间内任意平移。 向量的模 向量的大小，记为或，非负实数。 零向量 模为的向量，记为，方向任意；所有零向量相等。 单位向量 模为的向量，若，则与同向的单位向量为。 相等向量 模相等且方向相同的向量，记为（与起点位置无关）。 相反向量 模相等且方向相反的向量，的相反向量记为，满足。 二、空间向量的线性运算 1. 加法运算 运算法则：与平面向量一致，核心是“平移后首尾相接”。 三角形法则：若，，则（首尾相连，起点接终点）。 平行四边形法则：若，，以为邻边作平行四边形，则（共起点，对角线为和）。 运算律： 交换律： 结合律： 2. 减法运算 定义：空间向量的减法是加法的逆运算，即。 运算法则：三角形法则——若，，则（共起点，终点指向被减向量起点）。 3. 数乘运算 定义：实数与空间向量的乘积仍是一个空间向量，称为数乘向量。 性质： 方向：时，与同向；时，与反向；时，（方向任意）。 模：。 运算律： 结合律：（） 分配律：； 三、共线向量与共面向量 1. 共线向量（平行向量） 定义：空间中方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线。 共线定理：对空间中任意两个向量，（），的充要条件是存在唯一实数，使得。 推论：若直线过点且平行于非零向量，则对直线上任意一点，存在实数，使得（称为直线的方向向量）。 2. 共面向量 定义：平行于同一个平面的向量，或能平移到同一个平面内的向量（空间中任意两个向量必共面）。 共面定理：若两个向量，不共线，则向量与，共面的充要条件是存在唯一一对实数，使得。 推论：若平面内有不共线的两点，则对平面内任意一点，存在实数，使得（为平面内另一点）；或（为空间任意点），且。 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：空间向量的基本概念】 【例题】【多选题】1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直 C．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆 D．若空间向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的加法计算判断A，再根据基底定义判断B，根据单位向量判断C，应用向量相等判断D. 【详解】对于A：若是空间任意四点，则有，A选项正确； 对于B：单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直，B选项正确； 对于C，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故C选项错误； 对于D，根据向量相等的定义，空间向量满足，则明显成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【多选题】2．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 【针对训练】1．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 3．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【解题策略】 一、核心题型与解题策略 题型1：向量概念的辨析题（判断正误） 解题关键 逐一核对选项与“空间向量基本概念”的一致性，重点关注易混淆点：零向量、单位向量、相等向量、共线/共面向量的定义细节。 常见易错点与应对 易错点1：混淆“向量的模”与“向量本身”。 例：“模相等的向量相等”（错误）。 应对：明确“相等向量需同时满足模相等+方向相同”，仅模相等不成立。 易错点2：忽略“零向量的特殊性”。 例：“零向量没有方向”（错误）、“与零向量共线的向量只有零向量”（错误）。 应对：牢记零向量方向任意，且零向量与任意向量共线、共面。 易错点3：误解“自由向量的平移不变性”。 例：“起点不同的向量一定不相等”（错误）。 应对：空间向量是自由向量，只需模和方向相同，与起点位置无关。 题型2：向量模的计算与应用 解题关键 利用“向量模的定义（有向线段长度）”或“空间几何关系（如长方体棱长、正方体面对角线/体对角线）”转化计算。 常用方法 1. 直接观察法：若向量对应空间中已知长度的线段（如正方体棱长为，则棱长对应的向量模为），直接用线段长度作为模。 2. 几何公式法：若向量对应空间中斜线（如长方体面对角线、体对角线），利用勾股定理计算。 例：长方体长、宽、高，则面对角线向量的模，体对角线向量的模。 3. 利用相反向量：若求，可转化为，结合图形分析的模（与相等）。 题型3：相等向量与相反向量的判定 解题关键 紧扣“相等向量（模相等+方向相同）”和“相反向量（模相等+方向相反）”的定义，结合空间图形的平行、垂直关系判断方向。 解题步骤 1. 第一步：判断模是否相等 通过观察线段长度或计算模，排除模不相等的选项。 2. 第二步：判断方向是否相同/相反 利用空间中“平行线的方向一致性”判断：若两向量对应的有向线段平行（或在同一直线），且指向相同，则为相等向量；指向相反，则为相反向量。 例：在正方体中，与（模相等、方向相同，相等向量）；与（模相等、方向相同，相等向量）；与（模相等、方向相反，相反向量）。 二、通用解题思路 1. “定义优先”原则：遇到概念类问题，先回忆对应定义（如判断共线向量，先想“方向相同或相反的非零向量”），避免凭直观印象解题。 2. “图形辅助”策略：空间向量依赖空间几何背景，解题时可画出长方体、正方体、三棱锥等常见模型，将抽象向量转化为具体的有向线段，直观分析模和方向。 3. “排除法”提速：辨析题中，若选项涉及“绝对化表述”（如“一定”“所有”“没有”），优先验证是否与特殊向量（如零向量）矛盾，快速排除错误选项。 【考点二：空间向量的加减法运算】 【例题】1.（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在正方体中，若为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】 . 故选：C 【针对训练】1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 【答案】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的三角形法则，将转化为，再结合已知条件将用、、表示出来，进而得出的表达式; 【详解】    在三棱柱中， ， 故选：B. 3．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 【解题策略】 一、核心题型与解题策略 题型1：利用法则直接计算（无几何背景或简单背景） 解题关键 明确加减法的“首尾衔接”（三角形法则）和“共起点”（平行四边形法则）特征，直接按法则分步运算。 常用法则与操作 运算类型 核心法则 操作要点 示例 加法 三角形法则：，将的起点与的终点重合，从起点指向终点的向量即为和向量 平行四边形法则：，以、为邻边作平行四边形，共起点的对角线向量即为和向量 1. 三角形法则：“首尾连，起点指终点” 2. 平行四边形法则：“共起点，作平行四边形取对角线” 已知、不共线，用三角形法则计算：先算（首尾连），再将起点接终点，最终起点指终点 易错点应对 易错点：用三角形法则时“首尾衔接”顺序错误（如将起点接终点）。 应对：记准“加向量的起点=被加向量的终点”，如（起点是终点）。 题型2：结合空间几何体的向量表示（如长方体、正方体、三棱锥） 解题关键 以几何体的顶点为向量起点/终点，将待求向量用“从同一顶点出发的棱向量”（如长方体中、、）表示，再通过加减法拆解或合并。 解题步骤（以长方体为例） 1. 第一步：确定“基向量” 选择几何体中“不共面、易表示”的向量作为基向量（如长方体中，取、、）。 2. 第二步：用基向量表示待求向量 利用“向量的平移性”和加减法法则，将待求向量转化为基向量的和差。 例1：求：（先算，再算）。 例2：求：（，再按三角形法则衔接）。 3. 第三步：根据已知条件计算 若已知基向量的模或关系（如长方体棱长为，则），可进一步计算待求向量的模或判断方向。 题型3：向量加减法的逆运算（已知和/差向量，求分向量） 解题关键 利用加减法的“可逆性”，将已知和/差向量拆分为已知向量与待求向量的组合，通过移项转化为直接运算。 常用方法 若，则（移项：待求向量=和向量-已知向量）。 若，则（移项：待求向量=差向量+已知向量）。 示例 已知，若，，，求： 由法则得，则，故。 二、通用解题思路 1. “图形优先”策略：无论是否有几何背景，都建议画出向量对应的有向线段（或几何体），将抽象运算转化为“线段的拼接与拆分”，避免纯代数推导出错。 2. “分步拆解”原则：遇到多向量加减（如），先将减法转化为加法（），再按三角形法则逐步“首尾衔接”，减少计算步骤。 3. “利用对称性”提速：在正方体、正四面体等对称几何体中，利用向量的“相等/相反关系”简化表示（如正方体中，），避免重复推导。 【考点三：空间向量的数乘运算】 【例题】1．（24-25高二上·江西·阶段练习）在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算计算可得结果. 【详解】    因为E为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 【针对训练】1．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 所以 . 故选：D. 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，点为线段OA上靠近点的三等分点，为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义，用，，表示出. 【详解】由图知. 故选：C 3．（22-23高二上·辽宁营口·开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，并延长交于点，连接，再根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C. 【解题策略】 一、核心题型与解题策略 题型1：数乘向量的基本计算（求模、判断方向） 解题关键 明确数乘向量的定义：设为实数，为空间向量，则的模长为，方向由符号决定： 时，与同向； 时，与反向； 或时，（无方向）。 解题步骤 1. 确定已知条件：明确的模和实数的值； 2. 计算数乘向量的模：代入公式； 3. 判断方向关系：根据正负直接判断与的同向/反向。 易错点应对 易错点：忽略的绝对值，直接用计算模长（如误算负对应的模长为负数）。 应对：牢记模长是非负数，必须先取的绝对值再与相乘。 题型2：利用数乘运算律化简向量表达式 解题关键 数乘运算满足分配律和结合律，可类比实数乘法化简： 1. 结合律：（先计算实数乘积，再与向量相乘）； 2. 分配律1：（实数和与向量相乘，等于各实数分别与向量相乘后再相加）； 3. 分配律2：（数乘向量和，等于数乘各向量后再相加）。 解题步骤 1. 去括号：利用分配律展开含数乘的括号（注意符号，如）； 2. 合并同类向量：将系数（实数部分）相加，向量部分保持不变； 3. 化简结果：整理为“单一系数+单一向量”或“基向量线性组合”的最简形式。 题型3：利用数乘证明“向量共线”（核心应用） 解题关键 紧扣共线向量定理：空间中两个非零向量、共线的充要条件是“存在唯一实数，使得”。解题核心是“找到满足条件的实数”，证明两向量成数乘关系。 解题步骤（以几何体中线段平行为例） 1. 第一步：用同一组基向量表示两向量 选择几何体中易表示的基向量（如长方体的棱向量），将待证共线的、分别转化为基向量的线性组合； 2. 第二步：判断是否存在使 若两向量对应的基向量系数成比例（比例值即为），则两向量共线； 3. 第三步：结合图形验证 确认共线向量对应的线段满足“平行或重合”，同时排除零向量对判断的干扰。 题型4：利用数乘证明“向量共面”（结合共面向量定理） 解题关键 紧扣共面向量定理：空间中三个非零向量、、共面的充要条件是“存在唯一一对实数、，使得”。数乘的作用是“构造关于、的系数”，将三向量关系转化为“两个向量的线性组合”。 解题步骤 1. 选择两个不共线的向量作为“基底”（通常选关系明确的向量，如、）； 2. 将第三个向量表示为基底向量的数乘与和的形式（即）； 3. 若能找到唯一的实数、满足上述等式，则三向量共面。 二、通用解题思路 1. “数与形结合”：计算数乘向量的模和方向时，结合图形画有向线段（直观体现与的长度、方向关系），避免纯代数计算的逻辑偏差； 2. “基向量优先”：在几何体中，优先用“从同一顶点出发的棱向量”作为基向量，将待处理向量统一转化为基向量的数乘与加减组合，简化向量关系判断； 3. “紧扣定理”：证明共线/共面时，严格对照共线、共面向量定理的条件，核心是“找到满足定理的实数（或、）”，确保每一步推导符合定理逻辑（如明确非零向量前提）。 【考点四：空间向量共线与共面】 【例题】1．（22-23高二上·浙江·期中）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使、、三点共线的的值. 【详解】由题意可知， ，，则， ， ，，三点共线，，． 故答案为：. 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 【针对训练】1．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 3．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】 【分析】应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【分析】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【详解】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 【解题策略】 一、空间向量共线解题策略 1. 核心依据：共线向量定理 对空间中任意两个向量、（），的充要条件是：存在唯一实数，使得。 （关键条件：，保证的唯一性；“唯一实数”是核心，需通过向量关系求出） 2. 常见题型与解题步骤 题型1：证明两向量共线 解题步骤： 1. 确定“基准向量”：选择其中一个非零向量作为基准（如），避免用零向量； 2. 表示目标向量：将另一向量用已知条件（如几何体的棱向量、坐标系坐标）表示； 3. 找唯一：验证是否存在唯一，使（若系数成比例，则存在）； 4. 结论：若存在，则；反之则不共线。 题型2：判断三点共线（共线向量的几何应用） 转化逻辑：三点共线 ⇨ 向量与（或与）共线。 解题步骤： 1. 取三点构成的两个向量（如、），确保均非零； 2. 设关系：根据共线定理设（为实数）； 3. 求：若向量用坐标表示，列横、纵坐标相等的方程求；若用基底表示，通过基底系数相等列方程； 4. 验证唯一性：若存在唯一，则三点共线。 常用推论：若为空间任意点，共线 ⇨ 存在实数，使且（反之亦成立），可直接用“”快速判断。 3. 易错点应对 易错点1：忽略“”的前提，直接设（若，则需为，且不唯一）。 应对：先判断基准向量是否非零，再应用定理。 易错点2：混淆“向量共线”与“线段重合”（向量共线对应线段平行或重合，需结合图形补充判断线段是否重合）。 应对：若题目要求“直线平行”，需额外证明两点不重合（如不在直线上）。 二、空间向量共面解题策略 1. 核心依据：共面向量定理 若两个向量、不共线，则向量与、共面的充要条件是：存在唯一一对实数，使得。 （关键条件：、不共线，保证的唯一性；“唯一一对”是核心，需通过向量关系求解） 2. 常见题型与解题步骤 题型1：证明三向量共面 解题步骤： 1. 选基底：选择两个不共线的向量作为基底（如、），优先选已知关系明确的向量（如几何体的棱向量）； 2. 表示目标向量：将第三个向量用基底向量的线性组合表示（如利用几何体中的线段关系，拆分为、的和差）； 3. 找唯一：验证是否存在唯一一对，使（若基底系数唯一确定，则共面）； 4. 结论：若存在，则三向量共面；反之则不共面。 题型2：判断四点共面（共面向量的几何应用） 转化逻辑：四点共面 ⇨ 向量、、共面 ⇨ 存在使（或用“原点式”推论）。 解题步骤： 1. 取四点构成的三个向量（如、、），确保、不共线； 2. 设关系：根据共面向量定理设（为实数）； 3. 求：若用坐标，列横、纵、竖坐标相等的方程组求解；若用基底，通过基底系数相等列方程组； 4. 验证唯一性：若存在唯一，则四点共面。 常用推论：若为空间任意点，共面 ⇨ 存在实数，使且（反之亦成立），可直接用“系数和为1”快速判断。 3. 易错点应对 易错点1：选择共线的向量作为基底（如选与作为基底），导致无法确定唯一。 应对：基底必须是“不共线的两个向量”，优先选几何体中相邻的棱向量（如长方体的、）。 易错点2：忽略“空间任意两点确定的向量必共面”（空间中任意两个向量可平移到同一平面，需判断的是“第三个向量是否与这两个向量共面”）。 应对：证明三向量共面时，重点是“第三个向量能否用前两个不共线向量线性表示”。 三、通用解题思路 1. “基底化”优先：在几何体中，优先用“从同一顶点出发的不共面棱向量”作为基底，将所有待分析向量统一表示为基底的线性组合，简化系数对比； 2. “坐标法”辅助：若建立空间直角坐标系（如长方体、正方体中），可将向量转化为坐标，通过“坐标成比例（共线）”或“方程组有解（共面）”快速计算，降低抽象性； 3. “定理条件不可漏”：应用共线定理时必提“”，应用共面定理时必提“、不共线”，确保推导逻辑严谨，避免因条件缺失导致错误。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 2．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．（21-22高二下·江苏扬州·期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 8．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 10．（24-25高二下·甘肃定西·期中）有下列四个命题，其中不正确的命题有（    ） A．已知，，， 是空间任意四点，则 B．若两个非零向量 与 满足 ，则 C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 三、填空题 11．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 . 13．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C A C C BC CD 1．C 【分析】根据相等向量，共面向量，基底概念，逐个判断即可. 【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误． 平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确. 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 2．D 【分析】根据题意可得，，，又，从而可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 3．B 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 4．A 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】. 故选：A 5．C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    6．A 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为在平行六面体中，为和的交点， 又，，， 所以. 故选：A. 7．C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 8．C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 9．BC 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 10．CD 【分析】根据空间向量的加减运算法则，空间向量基本定理的推论可解. 【详解】 对于A，已知 ，，，是空间任意四点， 则 ，故A正确； 对于B，若两个非零向量 与 满足 ， 则，，正确； 对于C，任何两个向量都是共面向量，不正确； 对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点，，， 若 ， 当且仅当 时，，，， 四点共面，故错误． 故选：CD. 11． 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 12． 【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案. 【详解】设， 其中，为的中点，， 故, 所以，， 因为四点共面，所以，解得 故答案为： 13．/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 14． 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） ， ，，， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第一讲：空间向量及其线性运算】 【学习目标】 1.理解空间向量概念：了解空间向量的实际背景，理解空间向量及相关概念，如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量等，掌握空间向量的几何表示和字母表示。 2.掌握线性运算及运算律：掌握空间向量的加法、减法和数乘运算，理解其运算律，包括加法的交换律和结合律，数乘的结合律与分配律等。能借助图形理解空间向量线性运算的意义，明白空间任意两个向量都可通过平移转化为同一平面内的向量，进而利用平面向量的三角形法则和平行四边形法则进行运算。 3.经历概念与运算推广过程：经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程，体会类比、特殊与一般、转化与化归等思想，通过空间向量加法结合律的证明，感受维数增加对向量推广带来的变化。 4.提升数学素养与能力：在学习过程中，进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力。 【知识梳理】 一、空间向量的基本概念 概念 定义与性质 空间向量 空间中具有大小（模）和方向的量，用有向线段表示，记为或（为起点，为终点）。属于自由向量，可在空间内任意平移。 向量的模 向量的大小，记为或，非负实数。 零向量 模为的向量，记为，方向任意；所有零向量相等。 单位向量 模为的向量，若，则与同向的单位向量为。 相等向量 模相等且方向相同的向量，记为（与起点位置无关）。 相反向量 模相等且方向相反的向量，的相反向量记为，满足。 二、空间向量的线性运算 1. 加法运算 运算法则：与平面向量一致，核心是“平移后首尾相接”。 三角形法则：若，，则（首尾相连，起点接终点）。 平行四边形法则：若，，以为邻边作平行四边形，则（共起点，对角线为和）。 运算律： 交换律： 结合律： 2. 减法运算 定义：空间向量的减法是加法的逆运算，即。 运算法则：三角形法则——若，，则（共起点，终点指向被减向量起点）。 3. 数乘运算 定义：实数与空间向量的乘积仍是一个空间向量，称为数乘向量。 性质： 方向：时，与同向；时，与反向；时，（方向任意）。 模：。 运算律： 结合律：（） 分配律：； 三、共线向量与共面向量 1. 共线向量（平行向量） 定义：空间中方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线。 共线定理：对空间中任意两个向量，（），的充要条件是存在唯一实数，使得。 推论：若直线过点且平行于非零向量，则对直线上任意一点，存在实数，使得（称为直线的方向向量）。 2. 共面向量 定义：平行于同一个平面的向量，或能平移到同一个平面内的向量（空间中任意两个向量必共面）。 共面定理：若两个向量，不共线，则向量与，共面的充要条件是存在唯一一对实数，使得。 推论：若平面内有不共线的两点，则对平面内任意一点，存在实数，使得（为平面内另一点）；或（为空间任意点），且。 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：空间向量的基本概念】 【例题】【多选题】1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直 C．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆 D．若空间向量满足，则 【多选题】2．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【针对训练】1．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 3．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【解题策略】 一、核心题型与解题策略 题型1：向量概念的辨析题（判断正误） 解题关键 逐一核对选项与“空间向量基本概念”的一致性，重点关注易混淆点：零向量、单位向量、相等向量、共线/共面向量的定义细节。 常见易错点与应对 易错点1：混淆“向量的模”与“向量本身”。 例：“模相等的向量相等”（错误）。 应对：明确“相等向量需同时满足模相等+方向相同”，仅模相等不成立。 易错点2：忽略“零向量的特殊性”。 例：“零向量没有方向”（错误）、“与零向量共线的向量只有零向量”（错误）。 应对：牢记零向量方向任意，且零向量与任意向量共线、共面。 易错点3：误解“自由向量的平移不变性”。 例：“起点不同的向量一定不相等”（错误）。 应对：空间向量是自由向量，只需模和方向相同，与起点位置无关。 题型2：向量模的计算与应用 解题关键 利用“向量模的定义（有向线段长度）”或“空间几何关系（如长方体棱长、正方体面对角线/体对角线）”转化计算。 常用方法 1. 直接观察法：若向量对应空间中已知长度的线段（如正方体棱长为，则棱长对应的向量模为），直接用线段长度作为模。 2. 几何公式法：若向量对应空间中斜线（如长方体面对角线、体对角线），利用勾股定理计算。 例：长方体长、宽、高，则面对角线向量的模，体对角线向量的模。 3. 利用相反向量：若求，可转化为，结合图形分析的模（与相等）。 题型3：相等向量与相反向量的判定 解题关键 紧扣“相等向量（模相等+方向相同）”和“相反向量（模相等+方向相反）”的定义，结合空间图形的平行、垂直关系判断方向。 解题步骤 1. 第一步：判断模是否相等 通过观察线段长度或计算模，排除模不相等的选项。 2. 第二步：判断方向是否相同/相反 利用空间中“平行线的方向一致性”判断：若两向量对应的有向线段平行（或在同一直线），且指向相同，则为相等向量；指向相反，则为相反向量。 例：在正方体中，与（模相等、方向相同，相等向量）；与（模相等、方向相同，相等向量）；与（模相等、方向相反，相反向量）。 二、通用解题思路 1. “定义优先”原则：遇到概念类问题，先回忆对应定义（如判断共线向量，先想“方向相同或相反的非零向量”），避免凭直观印象解题。 2. “图形辅助”策略：空间向量依赖空间几何背景，解题时可画出长方体、正方体、三棱锥等常见模型，将抽象向量转化为具体的有向线段，直观分析模和方向。 3. “排除法”提速：辨析题中，若选项涉及“绝对化表述”（如“一定”“所有”“没有”），优先验证是否与特殊向量（如零向量）矛盾，快速排除错误选项。 【考点二：空间向量的加减法运算】 【例题】1.（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在正方体中，若为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心题型与解题策略 题型1：利用法则直接计算（无几何背景或简单背景） 解题关键 明确加减法的“首尾衔接”（三角形法则）和“共起点”（平行四边形法则）特征，直接按法则分步运算。 常用法则与操作 运算类型 核心法则 操作要点 示例 加法 三角形法则：，将的起点与的终点重合，从起点指向终点的向量即为和向量 平行四边形法则：，以、为邻边作平行四边形，共起点的对角线向量即为和向量 1. 三角形法则：“首尾连，起点指终点” 2. 平行四边形法则：“共起点，作平行四边形取对角线” 已知、不共线，用三角形法则计算：先算（首尾连），再将起点接终点，最终起点指终点 易错点应对 易错点：用三角形法则时“首尾衔接”顺序错误（如将起点接终点）。 应对：记准“加向量的起点=被加向量的终点”，如（起点是终点）。 题型2：结合空间几何体的向量表示（如长方体、正方体、三棱锥） 解题关键 以几何体的顶点为向量起点/终点，将待求向量用“从同一顶点出发的棱向量”（如长方体中、、）表示，再通过加减法拆解或合并。 解题步骤（以长方体为例） 1. 第一步：确定“基向量” 选择几何体中“不共面、易表示”的向量作为基向量（如长方体中，取、、）。 2. 第二步：用基向量表示待求向量 利用“向量的平移性”和加减法法则，将待求向量转化为基向量的和差。 例1：求：（先算，再算）。 例2：求：（，再按三角形法则衔接）。 3. 第三步：根据已知条件计算 若已知基向量的模或关系（如长方体棱长为，则），可进一步计算待求向量的模或判断方向。 题型3：向量加减法的逆运算（已知和/差向量，求分向量） 解题关键 利用加减法的“可逆性”，将已知和/差向量拆分为已知向量与待求向量的组合，通过移项转化为直接运算。 常用方法 若，则（移项：待求向量=和向量-已知向量）。 若，则（移项：待求向量=差向量+已知向量）。 示例 已知，若，，，求： 由法则得，则，故。 二、通用解题思路 1. “图形优先”策略：无论是否有几何背景，都建议画出向量对应的有向线段（或几何体），将抽象运算转化为“线段的拼接与拆分”，避免纯代数推导出错。 2. “分步拆解”原则：遇到多向量加减（如），先将减法转化为加法（），再按三角形法则逐步“首尾衔接”，减少计算步骤。 3. “利用对称性”提速：在正方体、正四面体等对称几何体中，利用向量的“相等/相反关系”简化表示（如正方体中，），避免重复推导。 【考点三：空间向量的数乘运算】 【例题】1．（24-25高二上·江西·阶段练习）在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，点为线段OA上靠近点的三等分点，为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·辽宁营口·开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心题型与解题策略 题型1：数乘向量的基本计算（求模、判断方向） 解题关键 明确数乘向量的定义：设为实数，为空间向量，则的模长为，方向由符号决定： 时，与同向； 时，与反向； 或时，（无方向）。 解题步骤 1. 确定已知条件：明确的模和实数的值； 2. 计算数乘向量的模：代入公式； 3. 判断方向关系：根据正负直接判断与的同向/反向。 易错点应对 易错点：忽略的绝对值，直接用计算模长（如误算负对应的模长为负数）。 应对：牢记模长是非负数，必须先取的绝对值再与相乘。 题型2：利用数乘运算律化简向量表达式 解题关键 数乘运算满足分配律和结合律，可类比实数乘法化简： 1. 结合律：（先计算实数乘积，再与向量相乘）； 2. 分配律1：（实数和与向量相乘，等于各实数分别与向量相乘后再相加）； 3. 分配律2：（数乘向量和，等于数乘各向量后再相加）。 解题步骤 1. 去括号：利用分配律展开含数乘的括号（注意符号，如）； 2. 合并同类向量：将系数（实数部分）相加，向量部分保持不变； 3. 化简结果：整理为“单一系数+单一向量”或“基向量线性组合”的最简形式。 题型3：利用数乘证明“向量共线”（核心应用） 解题关键 紧扣共线向量定理：空间中两个非零向量、共线的充要条件是“存在唯一实数，使得”。解题核心是“找到满足条件的实数”，证明两向量成数乘关系。 解题步骤（以几何体中线段平行为例） 1. 第一步：用同一组基向量表示两向量 选择几何体中易表示的基向量（如长方体的棱向量），将待证共线的、分别转化为基向量的线性组合； 2. 第二步：判断是否存在使 若两向量对应的基向量系数成比例（比例值即为），则两向量共线； 3. 第三步：结合图形验证 确认共线向量对应的线段满足“平行或重合”，同时排除零向量对判断的干扰。 题型4：利用数乘证明“向量共面”（结合共面向量定理） 解题关键 紧扣共面向量定理：空间中三个非零向量、、共面的充要条件是“存在唯一一对实数、，使得”。数乘的作用是“构造关于、的系数”，将三向量关系转化为“两个向量的线性组合”。 解题步骤 1. 选择两个不共线的向量作为“基底”（通常选关系明确的向量，如、）； 2. 将第三个向量表示为基底向量的数乘与和的形式（即）； 3. 若能找到唯一的实数、满足上述等式，则三向量共面。 二、通用解题思路 1. “数与形结合”：计算数乘向量的模和方向时，结合图形画有向线段（直观体现与的长度、方向关系），避免纯代数计算的逻辑偏差； 2. “基向量优先”：在几何体中，优先用“从同一顶点出发的棱向量”作为基向量，将待处理向量统一转化为基向量的数乘与加减组合，简化向量关系判断； 3. “紧扣定理”：证明共线/共面时，严格对照共线、共面向量定理的条件，核心是“找到满足定理的实数（或、）”，确保每一步推导符合定理逻辑（如明确非零向量前提）。 【考点四：空间向量共线与共面】 【例题】1．（22-23高二上·浙江·期中）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【针对训练】1．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【解题策略】 一、空间向量共线解题策略 1. 核心依据：共线向量定理 对空间中任意两个向量、（），的充要条件是：存在唯一实数，使得。 （关键条件：，保证的唯一性；“唯一实数”是核心，需通过向量关系求出） 2. 常见题型与解题步骤 题型1：证明两向量共线 解题步骤： 1. 确定“基准向量”：选择其中一个非零向量作为基准（如），避免用零向量； 2. 表示目标向量：将另一向量用已知条件（如几何体的棱向量、坐标系坐标）表示； 3. 找唯一：验证是否存在唯一，使（若系数成比例，则存在）； 4. 结论：若存在，则；反之则不共线。 题型2：判断三点共线（共线向量的几何应用） 转化逻辑：三点共线 ⇨ 向量与（或与）共线。 解题步骤： 1. 取三点构成的两个向量（如、），确保均非零； 2. 设关系：根据共线定理设（为实数）； 3. 求：若向量用坐标表示，列横、纵坐标相等的方程求；若用基底表示，通过基底系数相等列方程； 4. 验证唯一性：若存在唯一，则三点共线。 常用推论：若为空间任意点，共线 ⇨ 存在实数，使且（反之亦成立），可直接用“”快速判断。 3. 易错点应对 易错点1：忽略“”的前提，直接设（若，则需为，且不唯一）。 应对：先判断基准向量是否非零，再应用定理。 易错点2：混淆“向量共线”与“线段重合”（向量共线对应线段平行或重合，需结合图形补充判断线段是否重合）。 应对：若题目要求“直线平行”，需额外证明两点不重合（如不在直线上）。 二、空间向量共面解题策略 1. 核心依据：共面向量定理 若两个向量、不共线，则向量与、共面的充要条件是：存在唯一一对实数，使得。 （关键条件：、不共线，保证的唯一性；“唯一一对”是核心，需通过向量关系求解） 2. 常见题型与解题步骤 题型1：证明三向量共面 解题步骤： 1. 选基底：选择两个不共线的向量作为基底（如、），优先选已知关系明确的向量（如几何体的棱向量）； 2. 表示目标向量：将第三个向量用基底向量的线性组合表示（如利用几何体中的线段关系，拆分为、的和差）； 3. 找唯一：验证是否存在唯一一对，使（若基底系数唯一确定，则共面）； 4. 结论：若存在，则三向量共面；反之则不共面。 题型2：判断四点共面（共面向量的几何应用） 转化逻辑：四点共面 ⇨ 向量、、共面 ⇨ 存在使（或用“原点式”推论）。 解题步骤： 1. 取四点构成的三个向量（如、、），确保、不共线； 2. 设关系：根据共面向量定理设（为实数）； 3. 求：若用坐标，列横、纵、竖坐标相等的方程组求解；若用基底，通过基底系数相等列方程组； 4. 验证唯一性：若存在唯一，则四点共面。 常用推论：若为空间任意点，共面 ⇨ 存在实数，使且（反之亦成立），可直接用“系数和为1”快速判断。 3. 易错点应对 易错点1：选择共线的向量作为基底（如选与作为基底），导致无法确定唯一。 应对：基底必须是“不共线的两个向量”，优先选几何体中相邻的棱向量（如长方体的、）。 易错点2：忽略“空间任意两点确定的向量必共面”（空间中任意两个向量可平移到同一平面，需判断的是“第三个向量是否与这两个向量共面”）。 应对：证明三向量共面时，重点是“第三个向量能否用前两个不共线向量线性表示”。 三、通用解题思路 1. “基底化”优先：在几何体中，优先用“从同一顶点出发的不共面棱向量”作为基底，将所有待分析向量统一表示为基底的线性组合，简化系数对比； 2. “坐标法”辅助：若建立空间直角坐标系（如长方体、正方体中），可将向量转化为坐标，通过“坐标成比例（共线）”或“方程组有解（共面）”快速计算，降低抽象性； 3. “定理条件不可漏”：应用共线定理时必提“”，应用共面定理时必提“、不共线”，确保推导逻辑严谨，避免因条件缺失导致错误。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 2．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．（21-22高二下·江苏扬州·期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 8．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 10．（24-25高二下·甘肃定西·期中）有下列四个命题，其中不正确的命题有（    ） A．已知，，， 是空间任意四点，则 B．若两个非零向量 与 满足 ，则 C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 三、填空题 11．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 . 13．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$