6.2.2 线段的比较与运算（课件）2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

6.2 直线、射线、线段 6.2.2 线段的比较与运算 1. 通过学生自主探究,会用尺规作图,理解线段的长短、和、差、中点的几何意义及数量关系,并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述,提高学生的自主学习能力和语言描述能力. 2.通过对图形的分析,会利用线段的和、差、中点等知识进行初步的推理与计算,体会分类讨论的思想,提高学生的推理能力. 重点 难点 一级标题:黑体, 2 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 活动导入 同学们,请你在草稿纸上画一条线段AB. 你能在草稿纸上作出一条同样大小的线段吗? 你是怎么做的? 一级标题:黑体, 3 同学们,请你们观察这三组图形,你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗? 情境导入 事实上,这三组图形中,线段a和b的长度是相等的. 很多时候,眼见未必为实,准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法. a b 一级标题:黑体, 4 同学们,老师这里有一个问题: 做手工时,在没有刻度尺的条件下,若想从较长的木棍 上截下一段,使其等于短木棒,你有什么办法吗? 问题导入 思考:在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,大家想想办法,如何画出一条与已知线段相等的线段? 提示:圆规可截取任意长度,相当于可以移动的“小木棍”. 结论:通过移动、对齐,可以在长木棒上“截取”相等长度的短木棒. 一级标题:黑体, 5 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 1.阅读课本164-166页,思考并回答以下问题: 如图,已知线段a,画一条线段AB等于线段a.(请注意标上字母和结论) ①用刻度尺画图,如图,AB就是所求作的线段. ②根据课本164页示范,用圆规和无刻度的直尺画图,如图,AB就是所求作的线段. 一级标题:黑体, 6 2.线段的长短比较有两种方法:(用“>”“=”或“<”填空) (1)叠合法:把其中一条线段移到另一条上作比较. 如图①,AB_CD;如图②,AB_CD;如图③,AB_CD. (2)度量法:量出两条线段的长度进行比较. 如图①,量出AB=_cm,CD=_cm,则AB_CD; 如图②,量出AB=_cm,CD=_cm,则AB_CD; 如图③,量出AB=_cm,CD=_cm,则AB_CD. < = > 2.3 3.4 < 2 2 = 3 2 > 一级标题:黑体, 7 3.(1)两点的所有连线中,_.简单说成:_. (2)连接两点的线段的长度,叫作这两点间的_. 线段最短 两点之间,线段最短 距离 一级标题:黑体, 8 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 例1.如图,已知线段a、b,尺规作图: (1)画一条线段AC=a+b;(根据下列作法画出图形) 作法:①用直尺画直线l; ②用圆规在直线l上截取线段AB=a(点B在点A的右侧); ③用圆规在直线l上截取线段BC=b(点C在点B的右侧); 则线段AC即为所求. (2)画一条线段MN=a-b; (3)画一条线段PQ=2a-b. 尺规作图略 一级标题:黑体, 9 例2.(1)如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M、N分别是AC、BC的中点.求MN的长; (2)若C为线段AB上任意一点,满足AC+CB=a cm,点M、N分别是AC、BC的中点,请猜想MN的长. MN=7 cm MN= a cm 一级标题:黑体, 10 (3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-CB=b cm,点M、N分别是AC、BC的中点,请猜想MN的长,并画出图形,说明理由. 一级标题:黑体, 11 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 小组展示 我提问 我回答 我补充 我质疑 提疑惑:你有什么疑惑? 越展越优秀 1.尺规作图:在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图. 2.画一条线段等于已知线段: 画法一(尺规作图):如图所示,先用直尺画射线AC,再用圆规在射线AC上截取AB=a. 画法二(测量长度):先量出线段a的长度, 再画一条等于这个长度的线段. 知识点1:线段的画法及长短比较(重点) 3.线段的长短比较: (1)线段长短比较的实质是线段的长度的比较. (2)线段长短的比较方法: ①度量法(数):用刻度尺量出线段的长度,根据长度大小来比较,长度大的线段较长,长度相等时两线段相等. ②叠合法(形):比较两条线段AB与CD的长短,可以把线段AB移到线段CD上,使点A与点C重合,点B与点D在重合点的同一侧. 1.线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短. 2.两点间的距离:连接两点的线段的长度. 知识点2:线段的性质及两点间的距离(重点) 注:线段是一个图形,两点间的距离是指线段的长度,是一个数值,而不是线段本身,因此不能说“A,B两点间的距离是线段AB”,而应该说“A,B两点间的距离是线段AB的长度”. 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 知识点3:尺规作线段的和与差(难点) 条件 图形 作法 结论 用圆规在射线AE上截取线段AB=a,再在射线BE上截取线段BC=b 线段AC是线段a、b的和,即AC=a+b 用圆规在射线AE上截取线段AB=a,再在线段AB上截取线段BD=b 线段AD是线段a、b的差,即AD=a-b 注:进行线段的和、差作图时,要掌握画一条线段等于已知线段的方法,作图时作图痕迹要保留,并且结论必须写明哪条线段是所求作的线段. 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 1.线段的中点:如图,点M在线段AB上,AM=BM,点M叫作线段AB的中点. 应用:因为点M是线段AB的中点,所以AM=BM= AB, AB=2AM=2BM. 知识点4:线段的中点及等分点(难点) 2.线段的等分点: 如图①所示,B,C是线段AD上的两点, 且AB=BC=CD= AD或AD=3AB=3BC=3CD, 我们称点B,C是线段AD的三等分点. 类似地,还有线段的四等分点, 如图②所示, AB=BC=CD=DE= AE或AE=4AB=4BC=4CD=4DE. 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 【题型一】线段的长短比较 例1:如图,用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短,结论正确的是( ) A.A′B′>AB B.A′B′=AB C.A′B′<AB D.没有刻度尺,无法确定 C 变式:为比较线段AB、CD的长短,小明将点A与点C重合,使两条线段在一条直线上,点B在CD的延长线上,则( ) A.AB<CD B.AB>CD C.AB=CD D.以上都有可能 B 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 例2:下列说法正确的是( ) A.过A,B两点的直线的长度是A,B两点之间的距离 B.线段AB就是A,B两点之间的距离 C.在连接A,B两点的所有线中,最短线的长度是A,B两点之间的距离 D.乘火车从上海到北京要行驶1 463千米,这就是说上海站与北京站之间的距离是1 463千米 C 【题型二】两点间的距离 变式:如图,C,D是线段AB上两点.若AC=3,点C是线段AD的中点,AB=10,则B,D两点之间的距离是_. 4 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 例3:下列四个现象中,可用“两点之间,线段最短”来解释的现象有( ) ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上; ②植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线; ③从A地到B地架设电线,总是尽可能地沿着直线架设; ④把弯曲的公路改直,就能缩短路程. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ D 【题型三】线段的性质 变式:如图,A,B是公路(直线l)两旁的两个村庄.若两个村庄要在公路上合修一个汽车站,使它到A,B两个村庄的距离之和最小,试在直线l上标出汽车站的位置,并说明作图依据. 解:如图,连接AB交直线l于点P,则点P即为汽车站的位置.依据:两点之间,线段最短. l B A 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 例4:如图. (1)AD=AB+_=AC+_=_+BC+_; (2)AB=AD-_=AC-_=_-BC-_; (3)AC+BD-AD=_. 【题型四】线段的和与差 BD CD AB CD BD BC AD CD BC 例5:如图,已知线段a,b,求作线段AB=2a-b.不写步骤,保留作图痕迹. 解:如图,线段AB即为所求作. 【题型五】尺规作图 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 例6:点B在线段AC上,下列关系式:①AB= AC;②AB=BC;③AC=2BC;④AB+BC=AC.其中能表示点B是线段AC的中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型六】线段的中点及等分点 C 1. 比较两条线段长短的方法:度量法,叠合法. 2.基本作图:作一条线段等于已知线段. 3.线段的中点: 因为点M是线段AB的中点,所以AM=BM= AB或AB=2AM=2BM. 4.线段的和、差、倍、分. 同学们,这是我们第一次接触线段的运算,一定要多观察,没图的时候先画图,能帮助我们更直观地解决问题. 一级标题:黑体, 29 考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度,特别是修正的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图,能完整描述一个立体图形的形状。解决标准差相关问题时,抽象化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法,如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决提公因式法相关问题时,垂直是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线,k代表斜率,b代表y截距。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度,特别是描述的能力。 教材习题:完成课本167-168页习题4,6,7,8题. 一级标题:黑体, 30 MN=b cm.理由:如图, 因为点M、N分别是AC、BC的中点,所以MC=AC,NC=BC. 因为AC-CB=b cm,所以MN=MC-NC=AC-CB=(AC-CB)=b cm $$