24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

赵州石拱桥 1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ O ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 你能证明上面的结论吗？ 合作探究 4 证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'， 垂足为M，连接OA，OA' 在△OAA'中，∵OAOA' ∴△OAA'是等腰三角形 又∵AA'CD ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线. F F' E E' B B' 证明 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上. C D A A' M O ⊙O关于直线CD对称 圆的对称性 ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 5 探究 O A A' M 直径CD平分弦AA'，且平分 ， . AM=A'M C D 点A与点A'重合； AM与A'M重合； 与 重合； 与 重合. 在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？ 6 自学检测 下列说法中，不正确的是（ ） A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 C 知 识 点 一：垂径定理 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 知 识 点 一：垂径定理 垂径定理: · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 几何语言： 　　1.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？ 利用新知　解决问题 D O C A B E 2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． · O A B E 变式1:在⊙O中，弦AB的长为8cm， ⊙O的半径为5cm， 求圆心O到AB的距离。 编题：请同学们结合以上两题的启示，请你自己编一道题。 利用新知　解决问题 　3.如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）． 利用新知　解决问题 问题解决： 37m 7.23m A B O C D 设AB所在的圆的圆心为O ，连接OA ，半径为R. ⌒ 根据垂径定理，D是AB的中点， C是AB的中点，CD就是拱高. ⌒ ⌒ 解：如图，用AB表示主桥拱， ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线 OC，D为垂足，OC与AB交于点C. R 18.5 7.23 R－7.23 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 问题解决： 18.5 A B O C D 7.23 R－7.23 R 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R. ⌒ ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ⌒ ⌒ ∵ AB=37m，CD=7.23m 解得R≈27.3（m） 答：赵州桥的主拱半径约为27.3m. 在 Rt △ OAD中，由勾股定理得 ∴ R2=18.52+(R－7.23)2 OA2=AD2+OD2 OD=OC－CD=R－7.23 ∴ AD= AB= ×37=18.5m 1 2 1 2 课堂小结： 一：你学习了关于圆的哪些数学知识？ 二：你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？ 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理： 2.圆心到弦的距离、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形解决. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 1.圆的轴对称性： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.推论： D · O A B C E 1.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，连接半径等重要的辅助线. 3.半径、弦长、弦心距、弓形高中，知二求二. 1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段 归纳： 2、一个Rt△： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦 · O A B C 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理 16 练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ， 求圆O的半径。 　　 例1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 17 反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据　　　　定理求出第三个量： C D B A O 18 解得：r ≈ 27．3（m） 在Rt△OAD中，由勾股定理， 得 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 37m 7.23m 解决求赵州桥拱半径的问题 ⊙Ｏ 解：如图，设 的半径为 r m, OA= r ,AB=37，CD=7.23, OD=OC－CD=r－7.23，AD=18.5 r 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． r2=（ a）2+d2 OA2=AE2+OE2 拓展提升 圆材埋壁 问径几何？ “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作 《九章算术》中的一个问题。 今有圆材， 埋在壁中， 不知大小， 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺， 问径几何？ $$