2.1 等式性质与不等式性质 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§2.1 等式性质与不等式性质 目录 题型1：用不等式表示不等关系 3 题型2：数（式）的大小比较 5 题型3：不等式性质的应用 8  判断命题的真假 8  证明不等式 11  求代数式的取值范围 12  不等式性质的实际应用 15 【强化训练】 17 1. 不等关系与不等式 在客观世界里，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠（不等于）”“>（大于）”“≥（大于或等于）”“<（小于）”“≤（小于或等于）”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的对应关系： 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 大于 > 大于或等于 ≥ 小于 < 小于或等于 ≤ 至多 ≤ 不小于 ≥ 至少 ≥ 不大于 ≤ 2. 两个实数大小关系的基本事实 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系.如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是，那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，. 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果，那么；如果是负数，那么.反过来也对.即 3. 等式的基本性质 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么；（对称性） 性质2 如果，那么；（传递性） 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，那么； 由性质3可进一步得到“如果，那么”， 由性质4可进一步得到“如果，那么”. 4. 不等式的基本性质 性质1 ；（对称性） 性质2 ；（传递性） 性质3 ；（可加性） 性质4 ；；（可乘性） 性质5 ；（同向可加性） 性质6 ；（同向同正可乘性） 性质7 ；（可乘方性） 性质8 .（可开方性） 题型1：用不等式表示不等关系 方法提炼 用不等式表示不等关系的步骤： (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系. (2)找出体现不等关系的关键词，比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接.特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“=”能否取到. 【例1.1.】 在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 【例1.2.】 用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为．若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系. 【答案】 【详解】由题意平行于墙的一条边长为，铁皮总长即矩形其中三边长和为40m， 如图，可知矩形的另一条边长为， 由实际意义可得，即， 所以仓库的面积， 故该题中的不等关系可表示为． 【例1.3.】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 题型2：数（式）的大小比较 方法提炼 (1) 作差法 (2) 作商法，适用于同号的两数（式）比较大小. ，则； ，则. (3) 平方法,适用于要比较的两数(式)中有根号的. ,则. 【例2.1.】 （1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 【例2.2.】 (1)若，，，比较与的值的大小，并说明理由; (2)设，比较与的大小. 【答案】(1)，理由见解析. (2) 【详解】(1)，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. (2)， ， ， . 【例2.3.】 比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：． 而， ； （2）解：，， 而， ． （3）∵ 又， . 题型3：不等式性质的应用 · 判断命题的真假 方法提炼 运用不等式的性质判断命题真假的方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证． (2) 利用特殊值法排除错误选项． (3) 作差法. 【例3.1.】 下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 【例3.2.】 若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 【例3.3.】 （多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 【例3.4.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 【例3.5.】 下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 【例3.6.】 (多选)若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. · 证明不等式 方法提炼 证明不等式的一般思路 (1) 简单不等式的证明，可直接由已知条件利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. (2) 对于不等式两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 【例3.7.】 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 【例3.8.】 (1)已知，证明：． 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 【例3.9.】 已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【例3.10.】 （1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 【详解】（1）由，所以． （2）因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； ， 而，所以，即，必要性成立． 综上，的充要条件是． · 求代数式的取值范围 方法提炼 (1) 同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性. (2) 不等式的两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变. (3) 已知，，求的取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围. 【例3.11.】 (1)已知，，则的取值范围为 ． (2)已知，则的取值范围是 . 【答案】(1) (2) 【详解】(1)令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： (2)由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【例3.12.】 （多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 【例3.13.】 （多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 【例3.14.】 已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. · 不等式性质的实际应用 方法提炼 解决决策优化型应用问题的步骤： (1) 审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个量的关系. (2) 设：设未知数，一般是设与所求问题相关的量. (3) 找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含关系. (4) 列：列出不等式（组）. (5) 算：算出结果或利用不等式性质找结果. (6) 答：根据所得结果作出正确的决策. 【例3.15.】 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【详解】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则. 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 【例3.16.】 购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【答案】第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【详解】设两次黄金的单价分别为，（，，）. 第一种购买方式，黄金的平均单价为：； 第二种购买方式，黄金的平均单价为：. 由，因为，，， 所以，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【例3.17.】 王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明） 【答案】王老师，理由的关键不等式为． 【详解】王老师的平均价格为， 高老师的平均价格为， 于是有： 因为每次打的酱油价格都不相同，所以互不相等， 所以， 即， 所以王老师的平均价格更低. 故平均价格较低是王老师， 理由的关键不等式为． 【强化训练】 1. 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【答案】答案见解析 【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得 2. 已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以且，所以． 故选：D 3. 已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 4. 已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为，则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 5. (多选)已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 6. （多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A选项，由可得，解得，A错误； B选项，由可得，解得，B错误； C选项，由可得，即，C正确； D选项，解法一：由得，则， 由A知，则， 解法二：已知，即，由知， 所以，即，D正确； 故选：CD 7. （1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 8. 已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 9. （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.1 等式性质与不等式性质 目录 题型1：用不等式表示不等关系 3 题型2：数（式）的大小比较 4 题型3：不等式性质的应用 6  判断命题的真假 6  证明不等式 7  求代数式的取值范围 8  不等式性质的实际应用 9 【强化训练】 10 1. 不等关系与不等式 在客观世界里，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠（不等于）”“>（大于）”“≥（大于或等于）”“<（小于）”“≤（小于或等于）”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的对应关系： 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 大于 > 大于或等于 ≥ 小于 < 小于或等于 ≤ 至多 ≤ 不小于 ≥ 至少 ≥ 不大于 ≤ 2. 两个实数大小关系的基本事实 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系.如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是，那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，. 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果，那么；如果是负数，那么.反过来也对.即 3. 等式的基本性质 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么；（对称性） 性质2 如果，那么；（传递性） 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，那么； 由性质3可进一步得到“如果，那么”， 由性质4可进一步得到“如果，那么”. 4. 不等式的基本性质 性质1 ；（对称性） 性质2 ；（传递性） 性质3 ；（可加性） 性质4 ；；（可乘性） 性质5 ；（同向可加性） 性质6 ；（同向同正可乘性） 性质7 ；（可乘方性） 性质8 .（可开方性） 题型1：用不等式表示不等关系 方法提炼 用不等式表示不等关系的步骤： (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系. (2)找出体现不等关系的关键词，比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接.特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“=”能否取到. 【例1.1.】 在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【例1.2.】 用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为．若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系. 【例1.3.】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 题型2：数（式）的大小比较 方法提炼 (1) 作差法 (2) 作商法，适用于同号的两数（式）比较大小. ，则； ，则. (3) 平方法,适用于要比较的两数(式)中有根号的. ,则. 【例2.1.】 （1）设，试比较与的大小． （2） 已知且，试比较与的大小． 【例2.2.】 (1)若，，，比较与的值的大小，并说明理由; (2) 设，比较与的大小. 【例2.3.】 比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 题型3：不等式性质的应用 · 判断命题的真假 方法提炼 运用不等式的性质判断命题真假的方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证． (2) 利用特殊值法排除错误选项． (3) 作差法. 【例3.1.】 下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【例3.2.】 若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【例3.3.】 （多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例3.4.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【例3.6.】 (多选)若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． · 证明不等式 方法提炼 证明不等式的一般思路 (1) 简单不等式的证明，可直接由已知条件利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. (2) 对于不等式两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 【例3.7.】 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【例3.8.】 (1)已知，证明：． 【例3.9.】 已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【例3.10.】 （1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． · 求代数式的取值范围 方法提炼 (1) 同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性. (2) 不等式的两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变. (3) 已知，，求的取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围. 【例3.11.】 (1)已知，，则的取值范围为 ． (2)已知，则的取值范围是 . 【例3.12.】 （多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.13.】 （多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3.14.】 已知，． (1) 求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． · 不等式性质的实际应用 方法提炼 解决决策优化型应用问题的步骤： (1) 审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个量的关系. (2) 设：设未知数，一般是设与所求问题相关的量. (3) 找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含关系. (4) 列：列出不等式（组）. (5) 算：算出结果或利用不等式性质找结果. (6) 答：根据所得结果作出正确的决策. 【例3.15.】 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【例3.16.】 购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【例3.17.】 王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明） 【强化训练】 1. 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 2. 已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3. 已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. (多选)已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 7. （1）比较和的大小； （3） 已知，，证明： 8. 已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 9. （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$