学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（徐州专用，苏科版第1～2章）

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年九年级第一次月考 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） （1） （2） 21．（10 分） （1） （2） （3） 22．（8 分） 23．（10 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 9. ___________10．_________11．__________12．____________13．__________ 14．_________15．________16．__________17．_____________18．__________ 三、解答题：本题共 7小题，共 66分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步棸。 19．（本小题 8 分）解方程： （1） ( )2 22 2 4x x− = − ； （2） 2 7 3 0x x− + = ． 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） （1） ； （2） （3） 此 区 域 请 勿 答 题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1-2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 3．若的半径是3，点P在圆外，则的长可能是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，过的延长线上的点C作的切线，切点为P，点D是上一点，连接，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．方程的解是 ． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 11．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 第11题 第13题 12．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 13．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 第14题 第15题 15．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 16．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 第16题 第17题 17．如图，的直径为，是上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为 18．如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）解方程： （1）； （2）． 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．（本题10分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 22．（本题8分）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法： (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 23．（本题10分）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 24．（本题10分）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 25．（本题12分）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 9. ___________ 1 0 ． _________ 11 ． __________ 12 ． ____________ 13 ． __________ 1 4 ． _________ 1 5 ． _______ _ 1 6 ． __________ 1 7 ． _____________ 1 8 ． __________ 三 、解答题：本题共 7 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19． （本小题 8 分） 解方程： （1） ； （2） ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） （1） （2） 21 ． （ 10 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 8 分） 2 3 ． （ 10 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（ 1 0 分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 12 分） （1） ； （2） （3） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 此 区 域 请 勿 答 题 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1-2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 3．若的半径是3，点P在圆外，则的长可能是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，过的延长线上的点C作的切线，切点为P，点D是上一点，连接，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．方程的解是 ． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 11．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 第11题 第13题 12．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 13．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 第14题 第15题 15．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 16．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 第16题 第17题 17．如图，的直径为，是上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为 18．如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）解方程： （1）； （2）． 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．（本题10分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 22．（本题8分）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法： (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 23．（本题10分）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 24．（本题10分）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 25．（本题12分）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A C A B C D 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．， 10. 且 11. 12. 13． 14． 15. 12 16.5 17. 18. 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分） 【详解】解：（1）， ， ，………………………………2分 ∴或， ∴．………………………………4分 （2）， ∵， ∴，………………………………6分 ∴ ∴，．………………………………8分 20．（本题8分） 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根；………………………………4分 （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或．………………………………8分 21．（本题10分） 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2．………………………………3分 （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm．………………………………7分 （3）解：由题意得 ．………………………………10分 22．（本题8分） 【详解】（1）解：如图①，切线为所作：   ………………………………3分 （2）解：如图②，切线为所作：     ………………………………8分 23．（本题10分） 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切；………………………………4分 （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为．………………………………10分 24．（本题10分） 【详解】（1）解：不能为90°． 如图，取的中点M、N，连接； 则， ∴； 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按方案三所焊接而成的大扇形的圆心角必大于90°．………………………………4分 （2）解：不能相等，面积增大． ∵，是常数， ∴圆心角n增大，扇形的面积必增大； 由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圆心角大于90°， ∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积．………………………………7分 （3）解：n越大，所焊接成的大扇形的面积也越大． ∵，是常数， ∴n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大， ∴焊接成的大扇形的面积也越大．………………………………10分 25．（本题12分） 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：；………………………………2分 （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为；………………………………6分 （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，．………………………………12分 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1-2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意． 故选：C． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．由一元二次方程的根为得，化简得，整体代入计算，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 3．若的半径是3，点P在圆外，则的长可能是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆外时，点与圆心的距离大于半径即可确定． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴的长大于3， ∴的长可能是4． 故选：A． 4．一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 6．某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设两次调整中每次的平均下降率为x，该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：B． 7．如图，是的直径，过的延长线上的点C作的切线，切点为P，点D是上一点，连接，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， 是的切线， ， ， 故选：C． 8．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 【详解】解：连接 ∵四边形为正方形，，为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴当三点共线时，最小， 则：， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 将方程变形为，再解方程即可． 【详解】方程变形为， 或， 解得，， 故答案为：，． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 11．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 12．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，提公因式法因式分解．若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得和的值，并将其代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ∴ ． 故答案为：． 13．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一、切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定理求解 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 15．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：12． 16．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为， 故答案为：． 17．如图，的直径为，是上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用圆的周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点是以为直径的半圆上运动， ∵的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴点运动的路径长为， 故答案为：． 18．如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三线合一、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由题意可得，连接，过点分别作，，垂足为点，设，，由，得到，那么有三线合一可得，则，在中，由勾股定理建立方程求出，则，可得四边形为矩形，则由双勾股定理可得，继而建立方程求出，即可求解． 【详解】解：由题意得可得，连接，过点分别作，，垂足为点， 设，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ∴或， ∴． （2）， ∵， ∴， ∴ ∴，． 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 21．（本题10分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可； （2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可； （3）根据，将，代入化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 22．（本题8分）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法： (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】作垂线(尺规作图)、切线的性质和判定的综合应用、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图−复杂作图、也考查了切线的判定．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 （1）以为圆心，大于为半径画弧，再以为圆心，适当长度为半径画弧，分别相交于点M、N， 连接，点P在直线（直线）上，即可得直线过P点作的切线得到直线； （2）连接，作的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆交于A、B，则直线、满足条件． 【详解】（1）解：如图①，切线为所作：    （2）解：如图②，切线为所作：      23．（本题10分）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 24．（本题10分）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 【答案】(1)大于，理由见解析 (2)不能相等，面积增大；理由见解析 (3)当n逐渐增大时，焊接成的大扇形的面积增大 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求扇形面积 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，列出扇形的面积是解题的关键． （1）取的中点M、N，连接，求出，从而得到； （2）根据扇形的面积公式进行解答； （3）n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大，可知扇形的面积越大． 【详解】（1）解：不能为90°． 如图，取的中点M、N，连接； 则， ∴； 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按方案三所焊接而成的大扇形的圆心角必大于90°． （2）解：不能相等，面积增大． ∵，是常数， ∴圆心角n增大，扇形的面积必增大； 由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圆心角大于90°， ∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积． （3）解：n越大，所焊接成的大扇形的面积也越大． ∵，是常数， ∴n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大， ∴焊接成的大扇形的面积也越大． 25．（本题12分）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$