11.2 解一元一次方程 合并同类项与移项 课件 2024-2025学年 人教版（五四制）七年级数学上册

11.2解一元一次方程 ——合并同类项与移项 复习导入 你知道什么是方程吗？ 含有未知数的等式. 等式的性质： 等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等. 等式的性质2：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 问题引入 问题2 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本，这个班有多少名学生？ 这批书的总数有几种表示方法？它们之间有什么关系？ 设这个班有x名学生. 每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x + 20)本. 每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共(4x - 25)本. 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这个相等关系，列方程得: 3x + 20 = 4x－25 . 问题思考 思考：方程 3x + 20 = 4x－25 的两边都有含 x 的项（3x 与 4x）和不含字母的常数项（20 与 -25），怎样才能把它转化为 x = m（常数）的形式呢？ 利用等式的基本性质 问题探究 利用等式的性质解下列方程： (1)3x+20=4x-25 (2)3x-2=-2x+13 解:(1)两边同时减20，得： 两边同时减4x，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： (2)两边同时加2，得： 两边同时加2x，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 3x+20-20=4x-25-20 即： 3x=4x-25-20 3x-4x=4x-25-20-4x 即： 3x-4x=-25-20 -x=-45 x=45 3x-2+2=-2x+13+2 即： 3x=-2x+13+2 3x+2x=-2x+13+2+2x 即： 3x+2x=13+2 5x=15 x=3 尝试合作，探究方法 观察(1)、(2)两个方程从上到下各项的变化情况，你发现了什么？ 由此，你能得到什么规律？与同学交流. 问题探究 总结归纳 移项的定义： 把方程中的某一项改变符号后移到方程的另一边，这种变形叫做移项. 注意： 1）移项必须变号，不移的项不能变号； 2）移项时通常把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。 3）“移项”有“两变化”： （1）位置变化： （2）符号变化： 从方程的一边移到方程的另一边. 正变负，负变正. 温馨提示： 移项的依据是等式的性质1. 问题 1 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？ 分析：本题的等量关系为“前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量 ＝ 140 台” 设前年购买 x 台，则去年购买____台，今年购买 台，据题意，列方程得： 2x 4x x + 2x + 4x ＝ 140 怎样才能把该方程转化为 x = a(常数) 的形式呢？ 问题探究 “各个分量的和=总量” 是一个基本的相等关系 它们是同类项，可以合并成一项！ 如何解方程 x + 2x + 4x ＝140 呢？ 分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a 为常数）的形式. 解： 合并同类项，得 7x ＝ 140. 系数化为 1，得 x ＝ 20. 检验一下x =20是不是方程 x +2x + 4x =140的解. 问题探究 上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 合并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为 ax = b ，使其更接近“ x = a ”的形式(其中 a , b 是常数) ． 探究思考 例1 解下列方程： 解： 系数化为 1，得 x = 4 (2)合并同类项，得 6x = -78 系数化为 1，得 x = -13 想一想，你能归纳利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤吗？ 例题解析 (1) 合并同类项，得 (2)系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数，将未知数的系数化为 1，得到 x = 利用合并同类项解一元一次方程的步骤： (1)合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax = b(a ≠ 0，a，b 为常数) 的形式； 总结归纳 解： 合并同类项，得 系数化为 1，得 答：这三个数是 －243，729，－2187. x - 3x + 9x = -1701 7x = -1701 x = -243 ∴ 3x = 729, 9x = -2187 例题解析 例2 有一列数，按一定规律排列 1，-3，9，-27，81，-243 ，··· . 其中第 n 个数是 (-3)n-1(n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，这三个数各是多少？ 设所求的三个数分别是 x, -3x,9x ，据题意得： 列方程解应用题的一般步骤： 1)“审”： 审题，弄清题意，找出题目中的等量关系； 2)“设”： 设未知数（直接设未知数或间接设未知数）； 3)“列”： 根据题目中的等量关系，列出关于未知数的方程； 4)“解”： 解所列出的方程； 5)“检”： 双检验，检验方程的解及解的合理性； 6)“答”： 作答，写出答语. 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法. 总结归纳 练 习 合并同类项： （1）x + 2x + 4x （2）5y － 3y － 4y （3）4a － 1.5a － 2.5a = 7x = －2y = 0 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为 1，得 x = 4 （1） ； 根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m，就是方程的解（想一想为什么）. 今后，检验环节通常可以省略. （2）7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3 合并同类项，得 6x = -78 系数化为 1，得 x = -13 解下列方程： 利用合并同类项解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、 常数项分别合并，把方程转化为 ax = b（ a ≠ 0， a，b 为常数）的形式； （2）系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边 除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知 数的系数化为 1，得到 x = . 练 习 1. 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为1，得 （1）5x - 2x = 9； （2） ； 3x = 9 x = 3 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）-3x + 0.5x = 10； 合并同类项，得 -2.5x = 10 系数化为 1，得 x = -4 （4）7x - 4.5x = 2.5×3–5. 合并同类项，得 系数化为 1，得 2.5x = 2.5 x = 1 有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，···，其中第 n 个数是 (-3)n-1 (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与 -3 的乘积. 例 题 解：设所求三个数中的第 1 个数是 x， 则后两个数分别是 -3x，9x. 由三个数的和是-1701,得 x - 3x + 9x = -1701. 合并同类项，得 7x = -1701. 系数化为 1，得 x = -243. 所以 -3x = 729，9x = -2187. 答：这三个数是 -243，729，-2187. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤: 审 审题 找 找相等关系 设 设未知数 列 列方程 解 解方程 验 检验所得结果 答 作答 2. 由方程 3x – 5=2x-4变形得3x–2x=-4+5，此变形是根据（ ） A. 合并同类项法则 B. 乘法分配律 C. 移项 D.等式的性质2 当堂练习 A. 3x – 12x=6+7 B. – 3x+12x= – 7+6 C. – 3x – 12x=6+7 D.–6–7=12x – 3x 1. 对于方程– 3x – 7=12x+6，下列移项正确的是（ ） C C B 4.下列变形中，属于移项的是（ ） C 当堂练习 3. 解一元一次方程9-3x =5x+5，移项正确的是（ ） A. -3x +5x=5+9 B. – 3x-5x= 5-9 C. – 3x – 5x=5+9 D. – 3x+5x=5-9 5.解下列方程： 当堂练习 当堂练习 6. 李明出生时父亲 28 岁，现在父亲的年龄是李明年龄的 3倍，求现在李明的年龄. 7. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 8 kg，张华平均每小时采摘 7 kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出 0.25 kg 给了张华，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？ 课堂小结 1. 会用合并同类项解一元一次方程. 解方程的步骤： 合并同类项（合并同类项法则） 系数化为1（等式性质2） 2. 学会找等量关系列一元一次方程. 实际问题 一元一次方程 作答 设未知数 列方程 解方程 $$