18.2 平行四边形的判定 暑假巩固练习 2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 一、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（    ） A. B. C. D. 2.如图，在中，对角线与相交于点O，E、F是对角线上的点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为      ． 5.如图，在四边形中，，添一个条件        ，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 6.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F，且AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论. 7.我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． [知识回顾] 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： 我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） [数学思考] 若将① ②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形中，、相交于点，___________________，． 求证：四边形是平行四边形． 二、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在四边形中，，．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 2.在四边形中，，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为      ． 5.如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为           ． 6.如图中，D是边的中点，E是上一点，且，以为直角边作等腰，连接 (1)求证：四边形平行四边形； (2)若，连接，求的大小． 7.如图，四边形中，，，对角线相交于点，若，的周长与的周长相差，求四边形的周长． 三、平行四边形的个数问题 1.已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B为顶点的网格平行四边形的个数为(   ) A.6 B.8 C.10 D.12 2.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（  ）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 4.已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出        个平行四边形. 5.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 6.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 7.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 四、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 2.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 3.如图，四边形是平行四边形，连接，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④．正确的结论个数为（   ） A.4 B.3 C.2 D.1 4.四边形中，，对角线、相交于点，于点，于点，连接、，当时，以下四个结论：①；②；③四边形是菱形：④．其中正确的个数是      ． 5.如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有            个． 6.四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．求证：四边形是平行四边形． 7.如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点， (1)请用不带刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据图形判断四边形形状，并说明理由． 五、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 2.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 3.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 4.如图，已知AO＝OC，BD＝5 cm，那么当OB＝　    　cm时，四边形ABCD是平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 6.如图，四边形中，，对角线相交于点，且是的中点； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 7.如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在线段，上，且，∠1=∠2，．求证：四边形是平行四边形． 六、判定能否构成平行四边形 1.已知四边形，对角线和交于点，有下列四句话：①；②；③；④．从四句话中任取两个作为命题的条件，四边形为平行四边形作为命题的结论，其中真命题的数量有（    ） A. B. C. D. 2.下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A.， B.， C.， D.， 3.在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 4.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是         （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 5.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 6.如图，在平面直角坐标系中，、、，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： (1)画线段，使，且，并写出点D的坐标______； (2)连接，判断四边形的形状为______； (3)在线段上找出一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 7.小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题． (1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图1，在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，四边形就是平行四边形．小云判定四边形平行四边形的依据是___________； (2)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形________（填写“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形． (3)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是： ____________． 七、根据定义判定平行四边形 1.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且       ∥       时，这个四边形是平行四边形. 5.已知：如图，AB∥CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：　          　（填一个即可），你判断的理由是：　                      　． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F． 求证：四边形ADEF为平行四边形. 7.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形． 八、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 4.如图，在等边三角形ABC中，BC＝16 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动；点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s），那么当t＝　        　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15 cm，BC＝10 cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2 cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5 cm/s的速度由C出发向B运动，运动 　    　秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形． 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 7.如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F． （1）求证：BF＝FD； （2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数． 华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固（参考答案） 一、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； B.∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； C.，，无法判断四边形是平行四边形，故符合题意； D.∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； 故选：C． 2.如图，在中，对角线与相交于点O，E、F是对角线上的点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴，，，，，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故B不符合题意； ∵，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，而，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，而，， ∵， ∴，而， 此时不能得到：，， ∴添加不能判定四边形是平行四边形，故A符合题意； 故选A． 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 4.如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 5.如图，在四边形中，，添一个条件        ，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（或或者）（答案不唯一） 【解析】根据平行四边形的判定，可添加：(答案不唯一)． 故答案为：（或或）． 6.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F，且AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论. 【答案】解：条件是：∠F=∠CDE， 理由如下： ∵∠F=∠CDE， ∴CD∥AF， 在△DEC与△FEB中， ， ∴△DEC≌△FEB， ∴DC=BF，∠C=∠EBF， ∴AB∥DC． ∵AB=BF， ∴DC=AB， ∴四边形ABCD为平行四边形. 7.我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． [知识回顾] 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： 我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） [数学思考] 若将① ②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形中，、相交于点，___________________，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一） （2）延长、并截取，． ， ，即． 四边形是平行四边形． ，． ，， ，． ． ． ． ， ． 四边形是平行四边形． （3）选择①或③或④之一， 法：①， 分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、． ，． ，． ， ． ． ， ，即． 即． ． ． 又， ． ． 又， ．即． ， 又， 四边形是平行四边形， 法：③， 分别在、上截取、． ，． ，． ， ． ． ， ． ， ，即． 即． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 法：④，方法同③. 二、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在四边形中，，．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2.在四边形中，，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为      ． 【答案】 【解析】垂直平分， ，， ，， ，即， ， ， ∴， ，垂直平分，， ∴，， 四边形为平行四边形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得：， ∴， ， 故的长为， 故答案为：． 5.如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为           ． 【答案】 【解析】过点作交于点，在上取一点，使得，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 8， ﹣， ∴， ﹣ ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 6.如图中，D是边的中点，E是上一点，且，以为直角边作等腰，连接 (1)求证：四边形平行四边形； (2)若，连接，求的大小． 【答案】解：（1）∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴, ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴． ∵, ∴, ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 7.如图，四边形中，，，对角线相交于点，若，的周长与的周长相差，求四边形的周长． 【答案】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵的周长与的周长相差， ∴，或， ∴，或， ∴四边形的周长为或． 三、平行四边形的个数问题 1.已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B为顶点的网格平行四边形的个数为(   ) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】如图所示,根据平行四边形的定义,则以AB为边的网格平行四边形有6个,以AB为对角线的网格平行四边形有6个,则共有12个. 故选D. 2.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（  ）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】把三角形相等的一边重合，得到平行四边形，有3种情况． 如图所示： 则有平行四边形有四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC共计3个． 故选：B. 3.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 4.已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出        个平行四边形. 【答案】3 【解析】如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ①AC=7，AD=15，AB=20时， 则15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； ②AC=15，AD=20，AB=7时， 15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； ③AC=20，AB=15，AD=7时， 则15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； 可以画出不同形状的平行四边形的个数是3， 故答案为3． 5.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【答案】4 【解析】∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点， ∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD， ∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4． 故答案为4． 6.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 7.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 四、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 2.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 3.如图，四边形是平行四边形，连接，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④．正确的结论个数为（   ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 若， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：A． 4.四边形中，，对角线、相交于点，于点，于点，连接、，当时，以下四个结论：①；②；③四边形是菱形：④．其中正确的个数是      ． 【答案】3个 【解析】如图，∵DE=BF， ∴DF=BE， ∵AB=CD， ∴Rt△CDF≌Rt△ABE， ∴∠CDF=∠ABE，CF=AE，①正确； ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴，②正确，③不一定正确； ∵，， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴，④正确； 故答案为：3个． 5.如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有            个． 【答案】3 【解析】和都是等腰直角三角形，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ； ， ，即， ； 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； 综上与全等的三角形共有3个, 故答案为：3． 6.四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵，， 四边形是平行四边形， ， ，， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 7.如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点， (1)请用不带刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据图形判断四边形形状，并说明理由． 【答案】解：（1）作图如下： 即为所求； （2）四边形是平行四边形，理由如下：                     四边形是平行四边形， ， . 又平分，平分， ，. ， ∴， 又四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形． 五、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵,, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 2.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 【答案】B 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故选：B． 3.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 4.如图，已知AO＝OC，BD＝5 cm，那么当OB＝　    　cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】2.5 【解析】当OB＝2.5 cm时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵BD＝5 cm，OB＝2.5 cm， ∴OD＝BD﹣OB＝2.5（cm）， ∴OD＝OB， 又∵AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：2.5． 5.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】如图，∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6.如图，四边形中，，对角线相交于点，且是的中点； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在上取点E，使，连接，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7.如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在线段，上，且，∠1=∠2，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵在和中, ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 六、判定能否构成平行四边形 1.已知四边形，对角线和交于点，有下列四句话：①；②；③；④．从四句话中任取两个作为命题的条件，四边形为平行四边形作为命题的结论，其中真命题的数量有（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，以①与②作为条件， ∵，， ∴四边形为平行四边形； ①与③作为条件， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ①与④作为条件， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 以②与③作为条件， 由图形可得：，不能判定与， ∴不能判定四边形是平行四边形； ②与④作为条件， 由图形可得：，不能判定与， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③与④作为条件，不能证明， ∴不能判定四边形是平行四边形， ∴真命题的数量有个． 故选：A． 2.下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】A.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D.对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意； 故选：D. 3.在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； B．如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； C．如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； D．，，无法判定四边形是平行四边形，故选项符合题意． 故选：D． 4.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是         （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确； ③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确； ④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误； 故答案为：②③④． 5.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】∵，， ∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意； ∵，， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意； ∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意； ∵，， ∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意； 故答案为：①④. 6.如图，在平面直角坐标系中，、、，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： (1)画线段，使，且，并写出点D的坐标______； (2)连接，判断四边形的形状为______； (3)在线段上找出一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 【答案】解：（1）画线段如图所示： 点D的坐标为， 故答案为： （2）因为，且， 所以四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． （3）如图，连接交于点I，在作射线交于E，此时， ． 7.小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题． (1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图1，在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，四边形就是平行四边形．小云判定四边形平行四边形的依据是___________； (2)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形________（填写“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形． (3)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是： ____________． 【答案】解：（1）∵在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）以点为圆心，以线段的长为半径画圆，连接并延长与圆弧的交点即符合条件的点、，如图所示， 由作图可知，四边形不是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴符合条件的四边形不一定是平行四边形， 故答案为：不一定是. （3）与满足的条件是：． 理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：. 七、根据定义判定平行四边形 1.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 3.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且       ∥       时，这个四边形是平行四边形. 【答案】 AD；BC 【解析】∵∠1＝∠2， ∴DC∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为AD；BC． 5.已知：如图，AB∥CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：　          　（填一个即可），你判断的理由是：　                      　． 【答案】AD∥CB；两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】AD∥CB， 根据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 故答案为：AD∥CB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F． 求证：四边形ADEF为平行四边形. 【答案】证明：∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A， ∵∠DEF＝∠A， ∴∠DEF＝∠BDE， ∴AD∥EF， ∴四边形ADEF为平行四边形. 7.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形． 【答案】证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠ADE＝∠EFC， ∴∠EFC＝∠B， ∴EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形． 八、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB， 如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l1的距离为1， ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 【答案】C 【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t6﹣t， 解得：t＝5， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t， 解得：t＝3， 故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 4.如图，在等边三角形ABC中，BC＝16 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动；点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s），那么当t＝　        　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或16 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝16﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝16﹣2t， 解得：t； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣16（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣16， 解得：t＝16； 综上可得：当t或16 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或16． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15 cm，BC＝10 cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2 cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5 cm/s的速度由C出发向B运动，运动 　    　秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形． 【答案】4 【解析】设x秒后，四边形ABQP是平行四边形， ∵P以2 cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5 cm/s的速度由C出发向B运动， ∴AP＝2x cm，CQ＝0.5x cm， ∵BC＝10 cm， ∴QB＝（10﹣0.5x）cm， 当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴2x＝10﹣0.5x，解得：x＝4． 故答案为：4． 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形， 根据题意可得：AP＝t cm，PD＝（27﹣t）cm，CQ＝2t cm，BQ＝（36﹣2t）cm， ①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP＝BQ， ∴t＝36﹣2t， 解得：t＝12， ∴12s后四边形ABQP是平行四边形； ②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD＝CQ， ∴27﹣t＝2t， 解得：t＝9， ∴9s后四边形PQCD是平行四边形； 综上所述：当P，Q两点同时出发，12秒或9秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形． 7.如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F． （1）求证：BF＝FD； （2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数． 【答案】解：（1）在Rt△AEB中，∵AC＝BC， ∴， ∴CB＝CE， ∴∠CEB＝∠CBE． ∵∠CEF＝∠CBF＝90°， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴EF＝BF． ∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠FED＝∠EDF， ∵EF＝FD． ∴BF＝FD． （2）能．理由如下： 若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC＝EF， ∴BC＝BF， ∴BA＝BD，∠A＝45°． ∴当∠A＝45°时，四边形ACFE为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$