18.2 平行四边形的判定 暑假练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 一、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，已知，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形为平行四边形；②∵四边形为平行四边形，∴，；③连接，交于点；④∵，∴，即．证明步骤正确的顺序是（    ） A. ①②③④ B. ③④②① C. ③②④① D. ④③②① 2.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 3.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 4.如图，在中，，为的中点，，交于点，，连接．以下结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是      ．（写出所有正确结论的序号） 5.如图，在四边形中，，，对角线相交于点O，写出图中任意一组相等的线段      ． 6.如图，在中，E、F分别为延长线上的点，与交于点M，，．求证：． 7.如图，点、、、在同一直线上，四边形为平行四边形，若，求证：． 二、根据定义判定平行四边形 1.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 3.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且       ∥       时，这个四边形是平行四边形. 5.如图，在中，，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为       ． 6.如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 三、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 2.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为　    　． 5.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P、Q同时出发 　     　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5 cm，BC＝9 cm.M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q. (1)试说明△PCM≌△QDM. (2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC AD＝5 cm，BC＝8 cm，M是CD的中点，P是BC边上一个动点（P与B，C不重合）连接PM并延长交AD的延长线于Q． ①求证：△PCM≌△QDM； ②当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？ 四、平行四边形的个数问题 1.如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 3.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A. B. C. D. 4.如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有      个平行四边形． 5.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 五、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 2.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 3.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 4.若四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足        ，从对角线的关系看应满足        ． 5.如图所示，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个适当的条件　                            　，使四边形BEDF是平行四边形． 6.如图，已知为直角三角形，，F为斜边的中点，D为边上一点（不与A，C重合），连接，过B作交的延长线于E，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 7.如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在线段，上，且，∠1=∠2，．求证：四边形是平行四边形． 六、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F．若，则（    ） A. B. C. D. 2.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，平分，，，则       ． 5.如图，在中，点在线段 上，点在线段 的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为         ． 6.如图，在中，，与交于点P，且，，是等腰直角三角形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的度数． 7.如图，已知平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，、交于点． (1)求证：． (2)若，，，求线段的长． 七、判定能否构成平行四边形 1.下列说法错误的是（　　） A.对角分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.相邻的角互补的四边形是平行四边形 2.以下条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A.一组对边相等 B.对角线相等 C.两组对角相等 D.对角线互相垂直 3.如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （    ） A.过点D作与交于点C B.在下方作与交于点C， 使 C.在上截取， 使， 连接 D.以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 5.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 6.小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题． (1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图1，在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，四边形就是平行四边形．小云判定四边形平行四边形的依据是___________； (2)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形________（填写“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形． (3)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是： ____________． 7.学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究． 以下是小明探究过程，请补充完整： (1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A）；（B）. (2)将（1）中的命题用文字语言表述为： ①命题1_____________________________________________； ②画出图形，并写出命题1的已知和求证； (3)小明进一步探究发现： 若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题． 八、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 2.如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 3.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在四边形中，，添一个条件        ，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 5.如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有      (只写序号即可)． 6.已知：如图，点、是平行四边形ABCD对角线上的两点，当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 7.如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固（参考答案） 一、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，已知，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形为平行四边形；②∵四边形为平行四边形，∴，；③连接，交于点；④∵，∴，即．证明步骤正确的顺序是（    ） A. ①②③④ B. ③④②① C. ③②④① D. ④③②① 【答案】C 【解析】连接，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， 证明步骤正确的顺序是③②④①， 故选：C． 2.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 3.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 4.如图，在中，，为的中点，，交于点，，连接．以下结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是      ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∴，故②正确； , 即，故③正确； 综上，①②③正确， 故答案为：①②③． 5.如图，在四边形中，，，对角线相交于点O，写出图中任意一组相等的线段      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴， 故答案为： 或 或 或 ． 6.如图，在中，E、F分别为延长线上的点，与交于点M，，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 7.如图，点、、、在同一直线上，四边形为平行四边形，若，求证：． 【答案】证明： ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 点、、、在同一直线上， ，， ， 在和中， ， ， ． 二、根据定义判定平行四边形 1.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 2.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且       ∥       时，这个四边形是平行四边形. 【答案】 AD；BC 【解析】∵∠1＝∠2， ∴DC∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为AD；BC． 5.如图，在中，，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为       ． 【答案】3 【解析】，，， ， ，， 四边形为平行四边形， 的最小值等于平行线与之间的距离． 故答案为：3． 6.如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 三、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 【答案】D 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 2.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB， 如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l1的距离为1， ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 【答案】C 【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t6﹣t， 解得：t＝5， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t， 解得：t＝3， 故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为　    　． 【答案】2或3.5 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝9， ∵AD∥BC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时， 则得：9﹣3t＝5﹣t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时， 则得：3t﹣9＝5﹣t， 解得：t＝3.5， ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2或3.5． 5.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P、Q同时出发 　     　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 【答案】2或3 【解析】根据题意有AP＝t cm，CQ＝3t cm，PD＝（8﹣t）cm，BQ＝（12﹣3t）cm． ①∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t＝12﹣3t． 解得t＝3． ∴t＝3时四边形APQB是平行四边形． ②AP＝t cm，CQ＝3t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝12 cm， ∴PD＝AD﹣AP＝（8﹣t）cm． ∵AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即：8﹣t＝3t， 解得t＝2． ∴当t＝2时，四边形PDCQ是平行四边形． 综上所述，当P，Q同时出发3或2秒后其中一个新四边形为平行四边形． 故答案为：2或3． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5 cm，BC＝9 cm.M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q. (1)试说明△PCM≌△QDM. (2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由． 【答案】(1)证明　∵AD∥BC， ∴∠QDM＝∠PCM， ∵M是CD的中点， ∴DM＝CM， ∵∠DMQ＝∠ CMP， 在△PCM和△QDM中， ∵∠QDM＝∠PCM，DM＝CM，∠DMQ＝∠ CMP， ∴△PCM≌△QDM(ASA)． (2)解　当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ， ∵BC－CP＝AD＋QD， ∴9－CP＝5＋CP， ∴CP＝(9－5)÷2＝2. ∴当PC＝2 cm时，四边形ABPQ是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC AD＝5 cm，BC＝8 cm，M是CD的中点，P是BC边上一个动点（P与B，C不重合）连接PM并延长交AD的延长线于Q． ①求证：△PCM≌△QDM； ②当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？ 【答案】解：①∵AD∥BC， ∴∠C＝∠QDM， ∵点M是CD的中点， ∴MD＝MC， 在△PCM和△QDM中， ， ∴△PCM≌△QDM（ASA）； ②设PC＝x时，四边形ABPQ是平行四边形， ∴AQ＝BP， ∵△PCM≌△QDM， ∴CP＝DQ， ∵AD＝5 cm，BC＝8 cm， ∴AQ＝5+x，BP＝8﹣x， 则5+x＝8﹣x，得x＝1.5， 即当点P运动到距离点C1.5 cm时，四边形ABPQ是平行四边形． 四、平行四边形的个数问题 1.如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， 又∵EG∥AB，FH∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：□ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个. 故选D． 2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 3.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为， 故选：C. 4.如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有      个平行四边形． 【答案】3 【解析】依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形, 故答案为：． 5.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【答案】4 【解析】∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点， ∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD， ∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4． 故答案为4． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 五、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 【答案】C 【解析】嘉嘉给出的条件是：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，嘉嘉可以； 琪琪给出的条件是：， ∴，， ∴四边形是平行四边形，琪琪也可以； 故选：C． 2.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 【答案】B 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故选：B． 3.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 【答案】D 【解析】∵CE∥AB， ∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， , ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD， ∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 4.若四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足        ，从对角线的关系看应满足        ． 【答案】； 【解析】四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足，从对角线的关系看应满足， 故答案为：；． 5.如图所示，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个适当的条件　                            　，使四边形BEDF是平行四边形． 【答案】AE＝CF或AF＝CE（答案不唯一） 【解析】添加：AE＝CF． 理由：连接BD，DE，BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故答案为：AE＝CF或AF＝CE（答案不唯一）． 6.如图，已知为直角三角形，，F为斜边的中点，D为边上一点（不与A，C重合），连接，过B作交的延长线于E，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：设，则， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴在中，， ∴． 7.如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在线段，上，且，∠1=∠2，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵在和中, ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 六、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F．若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 2.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 【答案】A 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，平分，，，则       ． 【答案】5 【解析】平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 5.如图，在中，点在线段 上，点在线段 的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为         ． 【答案】24 【解析】如图，连接，过作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 边上的高和的边上的高相同， ， 同理：， ， ， 设平行四边形的边上的高为， 则， ， ， ， 故答案为：24. 6.如图，在中，，与交于点P，且，，是等腰直角三角形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的度数． 【答案】解：（1）∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）如图所示，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 7.如图，已知平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，、交于点． (1)求证：． (2)若，，，求线段的长． 【答案】解：（1）四边形为平行四边形， ，，， ，， 、分别平分和， ，， ，， ，， ， ； （2）过点作，交的延长线于，    ， ， 平分交于点，平分交于点， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，． 七、判定能否构成平行四边形 1.下列说法错误的是（　　） A.对角分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.相邻的角互补的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】A选项：对角分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意； B选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意； C选项：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，符合题意； D选项：相邻的角互补的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意. 故选：C. 2.以下条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A.一组对边相等 B.对角线相等 C.两组对角相等 D.对角线互相垂直 【答案】C 【解析】A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原选项错误，不合题意； B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原选项错误，不合题意； C.两组对角相等的四边形是平行四边形，故原选项正确，符合题意； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原选项错误，不合题意． 故选：C. 3.如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （    ） A.过点D作与交于点C B.在下方作与交于点C， 使 C.在上截取， 使， 连接 D.以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【解析】A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①添加，条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故①可以； ②添加，；条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故②可以； ③添加，条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以； ④添加，条件， 则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故④可以； ⑤添加，条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故⑤可以； 故答案为：①②④⑤． 5.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】∵，， ∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意； ∵，， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意； ∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意； ∵，， ∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意； 故答案为：①④. 6.小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题． (1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图1，在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，四边形就是平行四边形．小云判定四边形平行四边形的依据是___________； (2)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形________（填写“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形． (3)探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是： ____________． 【答案】解：（1）∵在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）以点为圆心，以线段的长为半径画圆，连接并延长与圆弧的交点即符合条件的点、，如图所示， 由作图可知，四边形不是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴符合条件的四边形不一定是平行四边形， 故答案为：不一定是. （3）与满足的条件是：． 理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：. 7.学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究． 以下是小明探究过程，请补充完整： (1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A）；（B）. (2)将（1）中的命题用文字语言表述为： ①命题1_____________________________________________； ②画出图形，并写出命题1的已知和求证； (3)小明进一步探究发现： 若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题． 【答案】解：（1）在四边形中，对角线与相交于点， 若，则当时，四边形是平行四边形； 故答案为：B； （2）①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ②已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）如图所示，四边形满足，但四边形不是平行四边形． 八、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能. 故选：A． 2.如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定， 可添加的条件是：． 故选：B． 3.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B.∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C.由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D.∵， ， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 4.如图，在四边形中，，添一个条件        ，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（或或者）（答案不唯一） 【解析】根据平行四边形的判定，可添加：(答案不唯一)． 故答案为：（或或）． 5.如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有      (只写序号即可)． 【答案】①② 【解析】① ，， 四边形是平行四边形，故① 符合题意； ② ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故② 符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 6.已知：如图，点、是平行四边形ABCD对角线上的两点，当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 【答案】解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下：连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. 7.如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）解：添加①，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加④，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加③不能得出四边形AECF为平行四边形． 故答案为：①或②或④（填一个即可）； （2）证明：如图， 添加①BE＝DF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AFCE时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， ∵AFCE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AFCE， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加④∠BAE＝∠DCF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$