21.3实际问题与一元二次方程（三大常考题型梳理+课中巩固+历年真题训练）2025-2026学年人教版九年级上册数学专用

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 实际问题与一元二次方程（增长率、病毒传播、循环比赛） 教学目标 1、掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 2、理解并掌握一元二次方程增长率问题、病毒传播问题以及循环比赛问 等数学模型。 Part01.实际问题——增长率问题 知识精讲： 一、一元二次方程实际应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审、设、列、解、答” （1）“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系，这一步是解决问题的基础； （2）“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要，恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； （3）“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程. 找出相等关系列方程是解决问题的关键； （4）“解”就是求出所列方程的解； （5）“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验 . 二、一元二次方程增长率问题 1．一元二次方程增长率问题：开始值 ×（1±x）²= 结束值. 例如：（1）某种商品的标价为324元/件，经过两次涨价后的价格为400元/件，并且两次涨价的百分率相同，设涨价率为a，则有等量关系324（1+a）²= 400. （2）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，设降价率为b，则有等量关系400（1－b）² = 324。 1 题类: 一元二次方程增长率问题 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. 50(1+x)²=182 B. 50 + 50 (1 +x)+ 50(1 +x)²=182 B. 50(1+2x)=182 D. 50 + 50 (1 +x)+ 50(1 + 2x)²=182 2 题类: 一元二次方程增长率问题 某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到1160元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列出的方程是 . 3 题类: 一元二次方程增长率问题 我市某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率. 4 题类：一元二次方程增长率问题 为进一步发展基础教育，自2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费6000万元，2025年投入教育费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同. （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率. （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2026年该县投入教育经费多少万元？ 5 题类：一元二次方程增长率问题 已汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2023年盈利1440万元，到2025年盈利2250万元，且从2023年到2025年，每年盈利的年增长率相同. (1)该公司2024年盈利多少万元？ (2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2026年盈利多少万元？ 6 题类：一元二次方程增长率问题 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元， （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（2）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ Part02.实际问题——病毒传播问题 知识精讲： 一元二次方程病毒传播问题 1.病毒传播问题：a (1+ = A a表示传染之前的人数，c表示每轮每人传染的人数，n表示传染的天数或轮数，A表示最终的感染总人数 1 题类：一元二次方程病毒传播问题 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护的情况下传播速度很快，现已有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 2 题类：一元二次方程病毒传播问题 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31，若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ） A. （1+x）²= 31 B. 1 + x + x²=31 C. （1+x）x = 31 D. 1 + x + 2x = 31 3 题类：一元二次方程病毒传播问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人. 4 题类：一元二次方程病毒传播问题 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 5 题类：一元二次方程病毒传播问题 某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，请问每个人计划发展下线多少人？ Part03.实际问题——循环握手（比赛）问题 知识精讲： 一元二次方程循环握手（比赛）问题 循环比赛（握手）问题： n ( n - 1 ) = A ; n表示队（人）数，A表示总场（次）数 1 题类：一元二次方程循环握手（比赛）问题 某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为，则可列方程为（ ） A. x（x + 1）= 21 B.x（x + 1）= 21 C. x（x - 1）= 21 D. x（x - 1）= 21 2 题类：一元二次方程循环握手（比赛）问题 “五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3 题类：一元二次方程循环握手（比赛）问题 某兴趣小组的同学互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送对方一张卡，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，则此兴趣小组人数有多少人？ 4 题类：一元二次方程循环握手（比赛）问题 去年9月10日，退休教师黄老师与以前的同事们聚会，共庆教师节。晚上，读初三的孙子小明问黄老师：“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦？”爷爷：“我来考考你，我们每个人都与其他人握了一次手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗？” （1）请你帮小明算出一共有多少人参加聚会; （2）若有25人参加聚会，则一共握了多少次手？ 课中巩固 1 题类：一元二次方程增长率问题 某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到1160元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列出的方程是 . 2 题类：一元二次方程增长率问题 在国务院房地产调控政策影响下，某市区房价逐步下降，2023年10月份的房价平均每平方米为10000元，预计2025年10月的房价平均每平方米回落到7800元，求这两年该市房价的平均下跌率为多少？ 3 题类：一元二次方程循环握手（比赛）问题 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则共有多少支球队？ 4 题类：一元二次方程循环握手（比赛）问题 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张，则全班有多少名同学？ 5 题类：一元二次方程病毒传播问题 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长同样数目的小分 支，主干、支干和小分支的总数是132，每个支干长出多少个小分支？ 6 题类：一元二次方程病毒传播问题 某省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置，在疫情排查过程中，某农场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头猪发病. （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？ 真题训练 例1 题类： （2024年花都区九上期末卷）某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为 36万元。若设平均每月增长的百分率为x，则依题意可列出的方程为（ ） A. 25（1 + x）×2 = 36 B.25+25（1 + x）+25（1 + x）²= 36 C. 25（1 + x）²= 36 D. 25（1 + x）³= 36 例2 题类： （2024年黄埔华附实验中学九上期中卷）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的3580元降到了2580元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为： . 例3 题类： （2024年增城区九上期末卷）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染x人，则x的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 例4 题类： （2024年越秀华侨外国语中学九上期中卷）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为 . 例5 题类： （2024年西关外国语中学9月月考卷）某初中毕业班的每一个同学都将自已的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了1640张照片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x + 1）= 1640 B.x（x - 1）= 1640 C. x（x + 1）= 1640 D. x（x - 1）= 1640 例6 题类： （2024年仲元中学九上期中卷）在一次会议中，每两个人都握了一次手，所有人共握21次设有x人参加这次会议，则列出方程正确的是（ ） A. x（x + 1）= 21 B. x（x - 1）= 21 C. x（x + 1）= 21 D. x（x - 1）= 21 例7 题类： （2024年广州天河113中学九上期中）某市为争创全国文明卫生城市，2022年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2024年投入的资金是2420万元，且从2022年到2024年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同。 （1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率： （2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2025年需投入多少万元？ 答案： 实际问题——增长率问题 1.A 2.2370（1 - x）²=1160 3.解：设平均增长率为x 100（1 + x）² = 121 （1 + x）² = 1 + x = ± 解得： = = - 1.1（舍） 答：平均增长率为10% 4.解：（1）设这两年县投入教育经费的平均增长率为x 6000（1 + x）² = 8640 （1 + x）² = 1 + x = ± 解得： = = - 1.2（舍） 答：平均增长率为20% （2）8640×（1+0.2）=10368（万元） 答：2026年该县投入教育经费10368万元。 5.解:（1）设该公司每年的年增长率为x 1440（1 + x）² = 2250 （1 + x）² = 1 + x = ± 解得： = = - 1.25（舍） 1500×（1+0.25）= 1800（万元） 答：该公司2024年盈利1800万元 （2）2250×（1+0.25）=2812.5（万元） 答：2026年盈利2812.5万元。 6.解：（1）设捐款增长率为x 10000（1 + x）² = 12100 （1 + x）² = 1 + x = ± 解得： = = - 1.1（舍） 答：平均增长率为10% （2）12100×（1+0.1）= 13310（万元） 答：第四天该单位能收到13310万元捐款。 实际问题——病毒传播问题 1.A 2.B 3. 4.解：（1）设平均每个人传染x人 （1 + x）² = 144 1 + x =±12 解得： = = - 13（舍） 答：每轮传染中平均每个人传染11人 （2）144×（1+11）= 1728（人） 答：第三轮传染后，共有1728人患病 5.解：设每个人计划发展下线x人 2 + 2 + 2x² = 114 (x + 8)(x - 7) = 0 解得： = = - 8（舍） 答：每个人计划发展下线7人 实际问题——循环握手（比赛）问题 1. C 2. B 3. 解：设此兴趣小组有x人 x(x - 1) = 90 (x + 9)(x - 10) = 0 解得： = = - 9（舍） 答：此兴趣小组有10人 4.解：（1）设一共有x人参加聚会 x(x - 1) = 120 x²- x -240 = 0 解得： = = - 15（舍） 答：一共有16人参加聚会 （2） × 25 ×（25-1）= 300（次） 答：一共握了300次手 课中巩固： 1. 2370（1 - x）²=1160 2. 解：设房价平均下跌率为x 20000（1 - x）² = 9800 （1 - x）² = 1 - x = ± 解得： = = 1.7（舍） 答：平房价平均下跌率为30%。 3. 解：设共有x只球队 x(x - 1) = 45 x²- x -90 = 0 解得： = = - 9（舍） 答：共有10只球队 4. 解：设全班共有x名同学 x(x - 1) = 1056 x²- x -1056 = 0 (x + 32)(x - 33) = 0 解得： = = - 32（舍） 答：全班共有33名同学。 5. 解：设每个支干长出x个小分支 1+ x + x² = 157 x²+ x - 157 = 0 解得： = = - 13（舍） 答：每个支干长出12个小分支 6.解：（1）设平均每天传染x头猪 3（1 + x）² = 192 （1 - x）² = 64 1 + x =±8 解得： = = - 9（舍） 答：每头发病生猪平均每天传染7头猪。 （2）192×（1+7）= 1536（人） 1536>1500 答：3天后生猪发病头数会超过1500头 真题训练： 例1：C 例2：3380（1 - x）²= 2580 例3：B 例4：1+ x + x² = 73 例5：B 例6：D 例7：解：（1）设该市队市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x 2000（1 + x）² = 2420 （1 - x）² = 1 + x =± 解得： = = - 1.1（舍） 答：该市队市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10% （2）2420×（1+0.1）= 2662（万元） 答：2025年需投入2662万元 学科网（北京）股份有限公司 $$