学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（湖南专用，湘教版2024八上第一章-第二章2.3）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 17．____________________ 18．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） （1） （2） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） （1）__________________________，_____________________。 （2） 22．（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（9分） （1） （2） 24．（9分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） （1）_________________。 （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） （1）________，________，________。 （2）________。 （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册 第一章-第二章2.3。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解. 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式. 【详解】A. 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； B. 右边为，包含加法运算，未完全分解为积的形式，不符合因式分解要求； C. 右边为，包含减法运算，同样未形成积的形式，不是因式分解； D. 左边可写成，即两个相同因式的乘积，符合因式分解的定义. 故选：D. 2．把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质将原式分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍后再约分即可求解． 【详解】解：把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍得， 则分式的值不变， 故选：A． 3．小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了公因式的含义，解题的关键是掌握公因式的含义．根据公因式是指多项式中各项都含有的相同因式求解即可． 【详解】解：的公因式为． 故选：C． 4．下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，掌握最简分式的定义是解题的关键． 根据分子和分母没有公因式的分式叫最简分式，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、∵，∴不是最简分式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简分式，故此选项不符合题意； D、是最简分式，故此选项符合题意； 故选：D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可． 【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式； B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式； C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式； D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式； 故选：B． 6．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 8．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质．分别利用分式的减法的运算法则及分式的性质逐一计算，得出答案后即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 9．若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，设两个连续奇数分别是和，，可得和数是8的倍数，2024是8的倍数，是和数，2025不是8的正整数倍，不是和数；能被4整除的数如4，，0.5不是整数，所以4不是和数，据此判断． 【详解】解：设两个连续奇数分别是和（n为正整数），则 ， 即和数是8的倍数， 因为， 所以2024是“和数”， 因为， 所以2025不是“和数”， 4能被4整除， ， 0.5不是整数， 所以4不是和数， 所以所有能被4整除的正数不一定是“和数”． 故选：C． 10．已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用得到；将代入n的表达式，转化为a的表达式；根据排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ， ． ∵， ∴，即． 将代入，得：． ∵， ∴，即，故．即， 因n为自然数，故n的最小值是13， 此时，此时，符合题意， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若分式有意义，则x的取值应该满足 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为，即可得，据此求解即可． 【详解】若分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 13．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．先取2、1和6的最小公倍数6，再取a和b的最高次幂，则它们的积为所求． 【详解】解：分式，，的最简公分母为． 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将代入原式中进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：5． 15．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 16．若，则 ． 【答案】2026 【分析】根据已知条件，求出，然后把所求代数式中的拆成的形式，然后先把分解因式，然后再整体代入求值即可． 本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是利用拆项和分解因式的方法，使所求代数式出现的形式． 【详解】， ， ， 故答案为： 17．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则． 根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．已知实数满足，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先将已知等式两边同除以得，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 3、 解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）对下列各式进行因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法、公式法，熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 20．（6分）化简并求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，先化简分式再代入求值． 先对括号内的分式进行通分计算，将减法转化为同分母分式的减法；再把除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约分后得到最简分式；最后将代入最简分式计算结果． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 21．（8分）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 （1）小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法； （2）请你按照上述方法分解因式：； 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式； (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法． 先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 （2） ． 22．（8分）先约分，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，1 (2)， 【分析】本题考查的是分式化简求值，熟知分式化简的方法是解答此题的关键． （1）先将左边分式约分，再算加减后代入计算即可； （2）先约分，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式． 23．（9分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即的最小值为． 24．（9分）定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 【答案】(1)是的“最友好分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了分式减法与乘法的应用，正确理解“最友好分式”的定义是解题关键． （1）根据分式的减法法则计算的值，再根据“最友好分式”的定义即可得； （2）先根据“最友好分式”的定义可得，则可得，计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可得． 【详解】（1）解：是的“最友好分式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴是的“最友好分式”． （2）解：∵，，且是的“最友好分式”， ∴， ∴， ∴ ． 25．（10分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2 （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) （2）见解析 (3)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ （3）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 26．（10分）对于正数x，规定：．例如：． (1)求值：______；=______；______． (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求：的值． 【答案】(1)，1，1 (2)1，证明见解析 (3)2024 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． （1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间项，最后再求和即可． 【详解】（1）解：；； ； ；； ； 故答案为：，1，1； （2）解：， 证明：， ； 故答案为：1； （3）解： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 17．____________________ 18．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6 分） （1） （2） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 21.（8 分） （1）__________________________，_____________________。 （2） 22．（8 分） （1） （2） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（9 分） （1） （2） 24．（9 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） （1）_________________。 （2） （3） 26．（10 分） （1）________，________，________。 （2）________。 （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B B A C C C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11． 12． 13． 14． 15． 16．2026 17. 2 18. 6 3、 解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分） (1) (2) 解：（1）原式 （1分） （3分） （2）原式 （4分） （6分） 20．（6分） 解：原式 （1分） （2分） ； （4分） 当时， 原式 （6分） 21．（8分） （1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 （3分） （2） （6分） ． （8分） 22．（8分） （1）解：原式 （1分） （2分） ． （3分） 当时，原式． （4分） （2）解：原式 （6分） ． （7分） 当时， 原式． （8分） 23．（9分） 解：（1）解： （1分） （2分） （4分） ； （5分） （2）解： （6分） ， （7分） ， ，即的最小值为． （9分） 24．（9分）定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 解：（1）是的“最友好分式”，理由如下： （1分） ∵，， ∴ （3分） ， ∴是的“最友好分式”． （4分） （2）解：∵，，且是的“最友好分式”， ∴， （5分） ∴， ∴ （6分） （7分） ． （9分） 25．（10分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2 （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． （1）解：； （2分） （2）解：∵， （3分） ∴ （5分） （3）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， （7分） 令， 则上式， （9分） ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． （10分） 26．（10分）对于正数x，规定：．例如：． (1)求值：______；=______；______． (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求：的值． （1）解：；； ； （3分） （2）解：， （4分） 证明：， （6分） ； （7分） 故答案为：1； （3）解： ． （10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册 第一章-第二章2.3。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 3．小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 4．下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 10．已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．因式分解： ． 12．若分式有意义，则x的取值应该满足 13．分式，，的最简公分母是 ． 14．若，则 ． 15．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 16．若，则 ． 17．定义新运算：，若，则的值是 ． 18．已知实数满足，则的值为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）对下列各式进行因式分解： (1) (2) 20．（6分）化简并求值：，其中． 21．（8分）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 （1）小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法； （2）请你按照上述方法分解因式：； 22．（8分）先约分，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 23．（9分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 24．（9分）定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 25．（10分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2 （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 26．（10分）对于正数x，规定：．例如：． (1)求值：______；=______；______． (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求：的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册 第一章-第二章2.3。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 3．小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 4．下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 10．已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．因式分解： ． 12．若分式有意义，则x的取值应该满足 ． 13．分式，，的最简公分母是 ． 14．若，则 ． 15．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 16．若，则 ． 17．定义新运算：，若，则的值是 ． 18．已知实数满足，则的值为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）对下列各式进行因式分解： (1)； (2)． 20．（6分）化简并求值：，其中． 21．（8分）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 （1）小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法； （2）请你按照上述方法分解因式：； 22．（8分）先约分，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 23．（9分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式； 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 24．（9分）定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示）． 25．（10分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 26．（10分）对于正数x，规定：．例如：． (1)求值：______；=______；______． (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求：的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$