第03讲 实际问题与一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第03讲 实际问题与一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、一元二次方程的实际应用-行程问题 题型二、一元二次方程的应用-数字问题 题型三、一元二次方程的实际应用-百分率问题 题型四、一元二次方程的实际应用-传染问题 题型五、一元二次方程的实际应用-销售问题 题型六、一元二次方程的应用-几何问题 题型七、一元二次方程的其他应用 知识梳理 一、解决实际问题的通用步骤 1.1 核心流程（四步法） 步骤 操作要点 审题 找出已知量、未知量，明确等量关系（关键：标注题目中的“增加”“减少”“倍”“面积”等关键词）。 设元 直接设未知数（问什么设什么）或间接设未知数（设中间量简化方程），用字母 列方程 根据等量关系列出一元二次方程，整理为一般形式 验根 解出方程后，检验根是否符合实际意义（如时间、长度、人数不能为负，结果需取整数等）。 二、行程问题 2.1 常见类型与等量关系 问题类型 核心等量关系 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离（同向而行： ）。 环形跑道 同向追及：快者比慢者多跑一圈；反向相遇：路程和为一圈。 2.2 典型示例 题目：A、B 两地相距 200 km，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度比乙车快 10 km/h，2 小时后两车相遇，求甲车速度。 设元：设乙车速度为 x km/h，则甲车速度 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程。 列方程：（此为一元一次方程，若将“2 小时相遇”改为“相遇时甲车比乙车多行驶 40 km”，则为二次方程）。 2.3 注意事项 单位统一（如速度用 km/h，时间用 h，路程用 km）； 环形跑道问题需区分“同向”与“反向”，避免等量关系混淆。 三、数字问题 3.1 数的表示方法 位数 表示形式（以 a 、 b 、 c 为各位数字） 两位数 十位数字 → 数值为 （如 35 表示为 三位数 百位 → 数值为 3.2 典型示例 题目：一个两位数，十位数字与个位数字之和为 12，交换个位与十位数字后，新数比原数大 36，求原数。 设元：设十位数字为 ，新数为 等量关系：新数 - 原数 = 36。 列方程： （一元一次方程，若改为“新数是原数的 2 倍”则为二次方程）。 3.3 注意事项 数字问题中，未知数需设为“数字”个数； 个位数字、十位数字均为 0~9 的整数，验根时需确保数字符合实际（如符合“数字”定义）。 四、百分率问题（增长率/下降率） 4.1 核心公式 增长率：初始量 下降率：初始量 4.2 典型示例 题目：某公司 2023 年利润为 500 万元，2025 年利润为 605 万元，设这两年利润的年平均增长率为 设元：年平均增长率为。 等量关系： 列方程： 整理得→ 化简为 。 4.3 注意事项 增长率 下降率问题中， 五、传染问题（传播模型） 5.1 核心模型 单轮传播： 多轮传播： 5.2 典型示例 题目：某种流感病毒，。 设元： 等量关系：2 轮后感染人数 = 121。 列方程：。 5.3 注意事项 传播模型中，“传染源”在每轮均参与传染，需区分“感染人数”与“新增感染人数”； 验根时，传染人数 为正整数（实际问题中）。 六、销售问题 6.1 核心等量关系 总利润 = 单个利润 = 销售量：常随售价变化（如“售价每降 1 元，销量增 10 件”）。 6.2 典型示例 题目：某商品进价 40 元/件，售价 60 元/件时，每天卖 100 件。若售价每降 2 元，销量增加 20 件，设售价降。 设元：售价 单个利润： 销售量： 列方程： 6.3 注意事项 销量与售价的关系需明确“单位变化量”（如“每降 1 元增 10 件”或“每涨 5 元减 2 件”）； 售价需大于成本，避免单个利润为负。 七、几何问题 7.1 常见类型与公式 图形 面积公式 典型问题场景 矩形 长/宽变化后面积变化、边框宽度问题。 正方形 边长增减后面积变化、挖去小正方形问题。 圆形 半径变化后面积变化、环形面积问题。 立体图形 长方体、圆柱体积变化（如高度增减）。 7.2 典型示例 题目：用长 30 m 的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙（墙长 18 m），若菜园面积为 100 m²，求菜园的长和宽。 设元：设垂直于墙的一边长为 等量关系：长 列方程： 7.3 注意事项 几何问题需结合图形性质（如矩形长 > 宽，边长为正数）； 涉及“靠墙”“边框”时，需明确哪条边不需要材料（如矩形靠墙时，长只需算一次）。 八、其他问题 工程问题 核心公式：工作效率 示例：甲单独完成工程需 10 天，乙单独需 15 天，两人合作 x 天后，乙再单独做 5 天完成，求 x 。 列方程：（整理后可能为一元一次方程，若涉及“效率变化”则为二次方程）。 题型强化 题型一、一元二次方程的实际应用-行程问题 【典型例题1】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了　 　秒． 【答案】 【解析】【解答】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【分析】设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，根据“ 紧急刹车后又滑行30米才停车 ”列出方程求出x的值，再求出平均每秒减速，再设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，根据“ 刹车后汽车滑行10米 ”列出方程，再求解即可. 【典型例题2】有一支匀速前进的队伍，总长为40米，排尾的通讯员因传达命令赶到排头后又立即以同样的速度回到排尾，队伍向前进了30米，则通讯员比队伍多行了　 　米路程. 【答案】60 【解析】【解答】解：设通讯员追到排头时，队伍所走的路程为xm，则此间通讯员走了(x+40)m，通讯员由排头回到排尾时，队伍又走了(30-x)m，而此间通讯员走了[40-(30-x)]m， 根据分析列方程，得 去分母，整理，得 x2+10x-600=0. 解得x1=20，x2=-30(舍去) 在整个过程中，通讯员所走路程为(x+40)+[40-(30-x)]=2x+50=90(m)， ∴通讯员比队伍多走了90-30=60(m). 故答案为：60. 【分析】设通讯员追到排头时，队伍所走的路程为xm，则此间通讯员走了(x+40)m，通讯员由排头回到排尾时，队伍又走了(30-x)m，而此间通讯员走了[40-(30-x)]m，根据分析列方程，得，解之即可得出答案. 题型二、一元二次方程的应用-数字问题 【典型例题1】两个数的差等于，积等于，则这两个数为（　　） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【解析】【解答】解：设这两个数中的大数为，则小数为， 由题意得，， 解得，， ∴小数为或， ∴这两个数为，或，， 故答案为： 【分析】设这两个数中的大数为，则小数为，然后再根据“两个数的积等于45”，由此建立方程：，最后再进行解方程即可。 【典型例题2】一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数． 【答案】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得： 解得：，不符合题意，舍去 ，故原来的两位数为． 答：原来的两位数为． 【解析】【分析】根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可。 【变式训练】在某年7月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数.（请用方程知识解答） 【答案】解：设这个最小数为x，则最大数为(x +8). 依题意，得x(x+8)=65. 整理，得 解得x=5 ，x； =-13.(不合题意，舍去). 答：这个最小数为 5. 【解析】【分析】观察框出的四个数的特点，设这个最小数为x，则最大数为(x +8)，根据最小数与最大数的乘积为65，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的x的值. 题型三、一元二次方程的实际应用-百分率问题 【典型例题1】某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月平均增长率．设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，由题意可得： 故答案为：D. 【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），即可求出答案. 【典型例题2】电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+2x）=10 B．3（1+x）2=10 C．3+3（1+x）+3（1+2x）=10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2=10 【答案】D 【解析】【解答】解：把增长率记作x，第一天票房约3亿元， ∴第二天票房为 3（1+x） 亿元，第三天票房为 3（1+x）2 亿元， ∵三天后票房收入累计达10亿元， 根据题意得，3+3（1+x）+3（1+x）2=10. 故答案为：D. 【分析】根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约3(1+x)亿元，第三天票房约3(1+x)2亿元，结合该地三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【变式训练1】有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为　 　． 【答案】10% 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 平均每次降价的百分率为10%． 故答案为：10%． 【分析】本题考查求平均变化率的方法、解一元二次方程.设平均每次降价的百分率为，根据若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为：，据此可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出答案. 【变式训练2】 河南樱桃，半壁江山在新安新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”村民以原价元千克对外销售为了减少库存，决定降价，经过两次降价后，售价为元千克求平均每次降价的百分率． 【答案】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：平均每次降价的百分率为． 【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：，解方程取其符合题意的值，即可求解. 题型四、一元二次方程的实际应用-传染问题 【典型例题1】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后共有196台电脑被感染．则每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【典型例题2】毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送条，这个班级的学生总人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【变式训练】某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？ 【答案】（1）解：设每位发病者平均每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：每位发病者平均每天传染人； （2）解：人， ， 按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人． 【解析】【分析】（1）设平均每天传染x人，则第一天为2x，第二天为2x+2，在由题意列方程解方程即可。 （2）根据(1)求得的数字求解即可判断。 题型五、一元二次方程的实际应用-销售问题 【典型例题1】西瓜经营户以3元/千克的价格购进一批小型西瓜，以4元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克这种小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】解：设应将每千克这种小型西瓜的售价降低元． 根据题意，得， 原式可化为：，解这个方程，得，． ∵为了促销，故不符合题意，舍去，∴． 答：应将每千克这种小型西瓜的售价降低0.3元． 【解析】【分析】 设应将每千克这种小型西瓜的售价降低元，根据“该经营户要想每天盈利200元”列出方程，再求解即可. 【典型例题2】某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台． （1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？ （2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？ 【答案】（1）解：设每个小家电销售定价为x元， 则销量为（个）， 依题意得， 解得， ， 答：应降价8元； （2）解：由题意，得， 整理得： 解得，， 使顾客得到实惠，售价为50元． 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每个小家电销售定价为x元，根据题意列出一元一次方程，解一元一次方程可求出答案； （2）根据题意可得等量关系：，据此可列出一元二次方程，解一元二次方程可求出销售定价，再根据题意可确定答案． 【变式训练】第届亚运会于年月日在中国杭州举行，本届亚运会吉样物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商场在销售吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利元时，每天可售出套，在此基础上，如果销售单价每降价元，则平均每天可多销售套． （1）当每套徽章盈利元时，每天可销售多少套？ （2）商场为了让更多人获得“江南忆”，进行让利销售，同时确保销售徽章的日盈利达到元，则每套吉祥物徽章可降价多少元销售？ 【答案】（1）解：（套） 答：当每套徽章盈利元时，每天可销售套． （2）解：设每套吉祥物徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 答：每套徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元． 【解析】【分析】（1）根据“当每套徽章盈利元时，每天可售出套，在此基础上，如果销售单价每降价元，则平均每天可多销售套”列式计算即可求解； （2）设每套吉祥物徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元，根据题意列出一元二次方程，进而即可求解。 题型六、一元二次方程的应用-几何问题 【典型例题1】在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长cm，宽cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，可得， 故选：B． 【分析】利用三个长方形的面积计算公式结合丝绸边的面积为cm2列方程求解即可． 【典型例题2】如图，将矩形沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，四块图形拼成一个正方形，边长为x 根据剪拼前后图形的面积相等，则y(x+y)=x2 ∵x=1 ∴1-y-y2=0，解得：（舍去） 故答案为： 【分析】根据题意拼出正方形，根据剪拼前后图形的面积相等，则y(x+y)=x2，将x=1代入等式可得关于y的二次方程，再解方程即可求出答案. 【变式训练】如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽为x米，请你用含x的代数式表示的长___________米； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽． 【答案】（1） （2）解：由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的宽为9米． 【解析】【解答】（1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； 【分析】（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可． （1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； （2）由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的宽为9米． 题型七、一元二次方程的其他应用 【典型例题1】在一次篮球比赛中，每两个班级进行一场比赛，如果一共进行55场，则参加篮球比赛的班级数为（　　） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【答案】C 【解析】【解答】解：设参加比赛的班级有x个，根据题意，得 ， 解得（舍）， 所以参加篮球比赛得班级数为11个． 故答案为：C 【分析】设参加篮球比赛得班级为x个，每两个班级之间进行一场比赛，实际上是一个从n个班级中选取两个班级进行比赛，据此可列出方程：，最后再解方程即可。 【典型例题2】某旅游团旅游结束时，其中一位游客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两位参加旅游的人互握一次手，共握了45次手，问这个旅游团共有多少位游客？ 【答案】解：设这个旅游团共有x位游客， 由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：这个旅游团共有10位游客． 【解析】【分析】基本关系：n个人，两两握手，一共握次，据此列出方程求解即可。 【变式训练】某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： 队员号码 比赛场次 胜场 负场 积分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 6 2 14 5 7 0 7 7 （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负　 　场． 【答案】（1）解：设参加本次比赛的队员共人． 由题意，得． 解方程，得（舍去）． 所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛． 根据题意，可知胜一场积2分，负一场积1分． 所以该名队员在本次比赛中的积分是． 答：该名队员本次比赛中的积分是39分． （2）6 【解析】【解答】（2）由题意：设该名队员在本次比赛中最多负m场， 可得 解得 该名队员在本次比赛中最多负6场. 【分析】（1）设参加本次比赛的队员共人 ，根据每两个队员之间都赛一场，一共进行了210场，列出方程，解方程取符合题意的x的值，再根据积分规则算出总分即可求解； （2）设该名队员在本次比赛中最多负m场，根据该名队员在本次比赛中的积分不低于34分，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解. 提升练习 一、选择题 1．某商品经过两次连续涨价后，售价比原来增长21%，则平均每次涨价的百分率为（　　） A．10% B．10.5% C．15% D．20% 【答案】A 【解析】【解答】解：设平均每次涨价的百分率为x， 根据题意得：（1+x）²=1+21%， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）， 即平均每次涨价的百分率为10%. 故答案为：A. 【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据经过两次连续涨价后，售价比原来增长21%，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 2．“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】【解答】解：设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程得， x（x﹣1）=28， 解得x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数是8人． 故选：B． 【分析】设参加聚会的人数是x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x﹣1）次，且其中任何两个人的握手只有一次，因而共有x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答即可． 3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 个人，列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】根据题意列方程， ∴x+1+（x+1）x=64 整理得，（1+x）2=64． 故答案为：C 【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮后有（x+1）人患流感，第二轮后共有x+1+（x+1）x人患流感，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，列出方程。 4．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是（　　） A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm 【答案】D 【解析】【解答】解：设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm， 由题意得， 解得， 此时20-x=20-10=10， 故答案为：D． 【分析】设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm，根据“ 两个正方形的面积之和为12.5 cm2”列出方程并解之即可. 5．如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【解析】【解答】设道路的宽为x米， 根据题意可得：（100-x）（80-x）=7644， 解得：x1=2，x2=178， ∵80-x＞0， ∴x＜80， ∴x=2， 故答案为：B. 【分析】设道路的宽为x米，再根据“绿化面积为7644平方米”列出方程（100-x）（80-x）=7644求解即可. 6．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为(　　） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【解析】【解答】解：设的四个数中最小数为x，则其它三个数为x+1，x+7，x+8， ∵围出的四个数中最小数与最大数的积为153， ∴x(x+8)=153， 解得x1=-17(舍去)，x2=9， ∴x+1=10，x+7=16，x+8=17， ∴9+10+16+17=52， ∴这四个数的和为52. 故答案为：C. 【分析】根据题意和月历表中的数据，可以先设出最小的数为x ，则其它三个数为x+1，x+7，x+8，根据罢出的四个数中最小数与最大数的积为153，即可列出相应的方程，然后求出x的值，从而可以得到其它的数，再将它们相加即可求解. 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为𝑥，则所列方程正确的为（　　） A．1000(1+𝑥)2=1000+440 B．1000(1+𝑥)2=440 C．440(1+𝑥)2=1000 D．1000+1000(1+𝑥)+1000(1+𝑥)2=1000+440 【答案】A 【解析】【解答】解：依题意得， 1000(1+x)2=1000+440. 故答案为：A. 【分析】根据第三个月投放单车数量=第一个月投放单车数量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程. 8．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，得 ． 故答案为：D． 【分析】 由10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，可得11月份销量为3（1+x）万件，12月份销量为3（1+x）2万件，根据第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件列出方程即可. 九、填空题 9．有支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故答案为：5． 【分析】利用“总场数=总队数×（总队数-1）÷2”列出方程即可. 10．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有　 　人． 【答案】10 【解析】【解答】解：设这个微信群共有x人，则每人需发（x−1）个红包， 依题意得：x（x−1）＝90， 整理得：x2−x−90＝0， 解得：x1＝10，x2＝−9（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【分析】根据题意列方程求解即可得到答案。 11．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；则每次下降的百分率是　 　. 【答案】20% 【解析】【解答】解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 50(1-a)2=32， 解得：a=1.8（舍）或a=0.2=20%， 故答案为：20%. 【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程,求解并检验即可. 12．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，商店计划要盈利500元，则可列方程为　 　. 【答案】（a-25）=500. 【解析】【解答】解： 若每件商品售价a元，则可卖出件， 根据题意，得：（a-25）=500. 故答案为：（a-25）=500. 【分析】 若每件商品售价a元，则可卖出件，根据（售价-进价）×销量=利润，即可得出方程。 13．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 则修建的路宽应为　 　m. 【答案】1 【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米 由题意可得：(15-x)(10-x)=126 解得：x1=1，x2=24(舍去) ∴道路的宽应为1米 故答案为：1 【分析】设道路的宽应为x米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 十、解答题 14．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】解：设这种植物每个支干长出x个小分支， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：这种植物每个支干长出5个小分支． 【解析】【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“ 主干、支干和小分支的总数是31”列出方程，再求解即可. 15．某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品. （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由. 【答案】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得， ， 即 解得：， 答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元 （2）解：， 即 ∵，原方程无解， ∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元. 【解析】【分析】（1）该批发商场决定降价x元销售该款商品，则每件的利润为(10-x)元，每天的销售量为(3000+1000x)，然后根据每件的利润×每天的销售量=总利润列出关于x的方程，求解即可； （2）同理建立关于x的方程，求出判别式的值，判断出方程根的情况，据此解答. 16．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变 （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200 解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去） 所以四、五月份销售量平均增长率为25% （2）解：设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250 解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去） 所以商品降价5元时，商场获利2250元 【解析】【分析】（1）首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解；（2）首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解. 17．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． ​​​​ （2）解：①由题意得：=-10x+1000； ②依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列关于a的一元二次方程，结合实际意义即可求解； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解； ②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可列关于x的一元二次方程，解方程并结合题意“尽可能让顾客得到实惠”即可求解． （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：① ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 18．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 【答案】（1）解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为； （2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴． 【解析】【分析】（1）根据长方形各边之间的关系，可得出的长为； （2）根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （1）解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为； （2）解：根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实际问题与一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、一元二次方程的实际应用-行程问题 题型二、一元二次方程的应用-数字问题 题型三、一元二次方程的实际应用-百分率问题 题型四、一元二次方程的实际应用-传染问题 题型五、一元二次方程的实际应用-销售问题 题型六、一元二次方程的应用-几何问题 题型七、一元二次方程的其他应用 知识梳理 一、解决实际问题的通用步骤 1.1 核心流程（四步法） 步骤 操作要点 审题 找出已知量、未知量，明确等量关系（关键：标注题目中的“增加”“减少”“倍”“面积”等关键词）。 设元 直接设未知数（问什么设什么）或间接设未知数（设中间量简化方程），用字母 列方程 根据等量关系列出一元二次方程，整理为一般形式 验根 解出方程后，检验根是否符合实际意义（如时间、长度、人数不能为负，结果需取整数等）。 二、行程问题 2.1 常见类型与等量关系 问题类型 核心等量关系 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离（同向而行： ）。 环形跑道 同向追及：快者比慢者多跑一圈；反向相遇：路程和为一圈。 2.2 典型示例 题目：A、B 两地相距 200 km，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度比乙车快 10 km/h，2 小时后两车相遇，求甲车速度。 设元：设乙车速度为 x km/h，则甲车速度 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程。 列方程：（此为一元一次方程，若将“2 小时相遇”改为“相遇时甲车比乙车多行驶 40 km”，则为二次方程）。 2.3 注意事项 单位统一（如速度用 km/h，时间用 h，路程用 km）； 环形跑道问题需区分“同向”与“反向”，避免等量关系混淆。 三、数字问题 3.1 数的表示方法 位数 表示形式（以 a 、 b 、 c 为各位数字） 两位数 十位数字 → 数值为 （如 35 表示为 三位数 百位 → 数值为 3.2 典型示例 题目：一个两位数，十位数字与个位数字之和为 12，交换个位与十位数字后，新数比原数大 36，求原数。 设元：设十位数字为 ，新数为 等量关系：新数 - 原数 = 36。 列方程： （一元一次方程，若改为“新数是原数的 2 倍”则为二次方程）。 3.3 注意事项 数字问题中，未知数需设为“数字”个数； 个位数字、十位数字均为 0~9 的整数，验根时需确保数字符合实际（如符合“数字”定义）。 四、百分率问题（增长率/下降率） 4.1 核心公式 增长率：初始量 下降率：初始量 4.2 典型示例 题目：某公司 2023 年利润为 500 万元，2025 年利润为 605 万元，设这两年利润的年平均增长率为 设元：年平均增长率为。 等量关系： 列方程： 整理得→ 化简为 。 4.3 注意事项 增长率 下降率问题中， 五、传染问题（传播模型） 5.1 核心模型 单轮传播： 多轮传播： 5.2 典型示例 题目：某种流感病毒，。 设元： 等量关系：2 轮后感染人数 = 121。 列方程：。 5.3 注意事项 传播模型中，“传染源”在每轮均参与传染，需区分“感染人数”与“新增感染人数”； 验根时，传染人数 为正整数（实际问题中）。 六、销售问题 6.1 核心等量关系 总利润 = 单个利润 = 销售量：常随售价变化（如“售价每降 1 元，销量增 10 件”）。 6.2 典型示例 题目：某商品进价 40 元/件，售价 60 元/件时，每天卖 100 件。若售价每降 2 元，销量增加 20 件，设售价降。 设元：售价 单个利润： 销售量： 列方程： 6.3 注意事项 销量与售价的关系需明确“单位变化量”（如“每降 1 元增 10 件”或“每涨 5 元减 2 件”）； 售价需大于成本，避免单个利润为负。 七、几何问题 7.1 常见类型与公式 图形 面积公式 典型问题场景 矩形 长/宽变化后面积变化、边框宽度问题。 正方形 边长增减后面积变化、挖去小正方形问题。 圆形 半径变化后面积变化、环形面积问题。 立体图形 长方体、圆柱体积变化（如高度增减）。 7.2 典型示例 题目：用长 30 m 的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙（墙长 18 m），若菜园面积为 100 m²，求菜园的长和宽。 设元：设垂直于墙的一边长为 等量关系：长 列方程： 7.3 注意事项 几何问题需结合图形性质（如矩形长 > 宽，边长为正数）； 涉及“靠墙”“边框”时，需明确哪条边不需要材料（如矩形靠墙时，长只需算一次）。 八、其他问题 工程问题 核心公式：工作效率 示例：甲单独完成工程需 10 天，乙单独需 15 天，两人合作 x 天后，乙再单独做 5 天完成，求 x 。 列方程：（整理后可能为一元一次方程，若涉及“效率变化”则为二次方程）。 题型强化 题型一、一元二次方程的实际应用-行程问题 【典型例题1】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了　 　秒． 【典型例题2】有一支匀速前进的队伍，总长为40米，排尾的通讯员因传达命令赶到排头后又立即以同样的速度回到排尾，队伍向前进了30米，则通讯员比队伍多行了　 　米路程. 题型二、一元二次方程的应用-数字问题 【典型例题1】两个数的差等于，积等于，则这两个数为（　　） A．， B．， C．， D．，或， 【典型例题2】一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数． 【变式训练】在某年7月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数.（请用方程知识解答） 题型三、一元二次方程的实际应用-百分率问题 【典型例题1】某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月平均增长率．设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+2x）=10 B．3（1+x）2=10 C．3+3（1+x）+3（1+2x）=10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2=10 【变式训练1】有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为　 　． 【变式训练2】河南樱桃，半壁江山在新安新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”村民以原价元千克对外销售为了减少库存，决定降价，经过两次降价后，售价为元千克求平均每次降价的百分率． 题型四、一元二次方程的实际应用-传染问题 【典型例题1】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后共有196台电脑被感染．则每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【典型例题2】毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送条，这个班级的学生总人数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？ 题型五、一元二次方程的实际应用-销售问题 【典型例题1】西瓜经营户以3元/千克的价格购进一批小型西瓜，以4元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克这种小型西瓜的售价降低多少元？ 【典型例题2】某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台． （1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？ （2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？ 【变式训练】第届亚运会于年月日在中国杭州举行，本届亚运会吉样物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商场在销售吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利元时，每天可售出套，在此基础上，如果销售单价每降价元，则平均每天可多销售套． （1）当每套徽章盈利元时，每天可销售多少套？ （2）商场为了让更多人获得“江南忆”，进行让利销售，同时确保销售徽章的日盈利达到元，则每套吉祥物徽章可降价多少元销售？ 题型六、一元二次方程的应用-几何问题 【典型例题1】在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长cm，宽cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】如图，将矩形沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则　 　． 【变式训练】如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽为x米，请你用含x的代数式表示的长___________米； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽． 题型七、一元二次方程的其他应用 【典型例题1】在一次篮球比赛中，每两个班级进行一场比赛，如果一共进行55场，则参加篮球比赛的班级数为（　　） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【典型例题2】某旅游团旅游结束时，其中一位游客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两位参加旅游的人互握一次手，共握了45次手，问这个旅游团共有多少位游客？ 【变式训练】某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： 队员号码 比赛场次 胜场 负场 积分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 6 2 14 5 7 0 7 7 （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负　 　场． 提升练习 一、选择题 1．某商品经过两次连续涨价后，售价比原来增长21%，则平均每次涨价的百分率为（　　） A．10% B．10.5% C．15% D．20% 2．“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 个人，列出的方程是（　　） A． B． C． D． 4．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是（　　） A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm 5．如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 6．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为(　　） A．40 B．48 C．52 D．56 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为𝑥，则所列方程正确的为（　　） A．1000(1+𝑥)2=1000+440 B．1000(1+𝑥)2=440 C．440(1+𝑥)2=1000 D．1000+1000(1+𝑥)+1000(1+𝑥)2=1000+440 8．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为 A． B． C． D． 二、填空题 9．有支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则　 　． 10．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有　 　人． 11．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；则每次下降的百分率是　 　. 12．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，商店计划要盈利500元，则可列方程为　 　. 13．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 则修建的路宽应为　 　m. 三、解答题 14．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 15．某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品. （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由. 16．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变 （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 17．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 18．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$