第02讲 解一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第02讲 解一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、直接开平方法解一元二次方程 题型二、配方法解一元二次方程 题型三、一元二次方程根的判别式及应用 题型四、根据一元二次方程的根的情况求参数 题型五、公式法解一元二次方程 题型六、因式分解法解一元二次方程 题型七、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 知识梳理 一、核心概念 1.1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，称为一元二次方程。其一般形式为： 其中， 1.2 判别式及根的情况 判别式： 判别式 根的情况 数学表达 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根（有两个共轭虚根） —— 二、解法步骤 2.1 直接开平方法 适用形式： 步骤： 1. 直接开平方得 2. 解得 示例：解方程 解：开平方得 即 2.2 配方法 核心思想：将方程化为 步骤： 1. 移项：把常数项移到等号右边，得 2. 系数化 1：两边同除以 3. 配方：方程两边加 即 4. 开平方求解（需满足右边非负）。 示例：用配方法解方程 解：移项得 2.3 公式法 求根公式：对于为 步骤： 1. 化为一般形式，确定 2. 计算判别式 3. 若 示例：用公式法解方程 解： 2.4 因式分解法 适用条件：方程左边能分解为两个一次因式的乘积 步骤： 1. 将方程化为 2. 令每个因式等于 0，得 3. 解得 和 。 示例：用因式分解法解方程 解：分解因式得 即 解得 三、求根公式推导（配方法） 1. 对一般形式 2. 二次项系数化为 1： 3. 配方： ； 4. 化简左边为完全平方式： 5. 开平方（需 \Delta \geq 0 ）： 6. 解得： 四、常见题型及解题策略 4.1 选择适当方法解方程 方程特征 推荐方法 示例 直接开平方法 二次项系数为 1 且一次项为偶数 配方法 无法因式分解或系数较大 公式法 左边可分解为整式乘积 因式分解法 4.2 判别式的应用 例：已知方程 有两个不相等的实根，求 k 的取值范围。 解：由题意得 ， 。 五、易错点提示 1. 忽略二次项系数不为 0：使用判别式或公式法时，需先确认 2. 配方时漏乘系数：如方程 3. 开平方忘记取正负：直接开平方法中 4. 因式分解不彻底：如 题型强化 题型一、直接开平方法解一元二次方程 【典型例题1】方程的根是（　　） A． B． C． D．无实数根 【典型例题2】如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（　　） A．3 B．±3 C．-3 D．± 【典型例题3】关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A． B． C．或 D．3 【变式训练1】关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】用适当的方法解下列方程解方程： （1）； （2）． 题型二、配方法解一元二次方程 【典型例题1】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】把方程化成的形式，则m的值是　 　． 【变式训练1】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　 　． 【变式训练2】解方程： （1）； （2）． 题型三、一元二次方程根的判别式及应用 【典型例题1】一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【典型例题2】已知一个等腰三角形的一边的长是3，另外两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为 (　　) A．3或7 B．4或7 C．3或4 D．7 【典型例题3】 已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 题型四、根据一元二次方程的根的情况求参数 【典型例题1】一元二次方程有一个根为1，则　 　． 【典型例题2】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　． 【典型例题3】若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 题型五、公式法解一元二次方程 【典型例题1】若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】解一元二次方程： （1）； （2）． 【变式训练】已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 题型六、因式分解法解一元二次方程 【典型例题1】已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　 　． 【典型例题2】解方程： （1）； （2）． 【变式训练】阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值． 题型七、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【典型例题1】若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（　　） A．2 B．1 C．-1 D．0 【典型例题2】设，是一元二次方程的两根，则　 　 ． 【变式训练1】已知关于x的一元二次方程。 （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，。若，，求k的取值范围。 【变式训练2】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 提升练习 一、选择题 1． 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 3．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．12 C． D．8 5．关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（　　） A． B． C． D． 6．若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（　　） A． B． C． D． 7．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（　　） A．或-3 B．-3 C． D． 8．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 二、填空题 9．一元二次方程 的解是　 　. 10．请写出一个两根分别为1和3的一元二次方程　 　． 11．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为　 　. 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　 　． 13．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 =　 　. 三、解答题 14． 解方程： （1） ； （2） . 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 16． 已知关于x的方程.有两个相等的实数根. （1）求k的值； （2）直接写出这两个实数根的两根之和与两根之积. 17．已知关于的一元二次方程中，． （1）解：，， ， 　 　 ，此时　 　 ． （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求方程的根． 18．在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　 　(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、直接开平方法解一元二次方程 题型二、配方法解一元二次方程 题型三、一元二次方程根的判别式及应用 题型四、根据一元二次方程的根的情况求参数 题型五、公式法解一元二次方程 题型六、因式分解法解一元二次方程 题型七、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 知识梳理 一、核心概念 1.1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，称为一元二次方程。其一般形式为： 其中， 1.2 判别式及根的情况 判别式： 判别式 根的情况 数学表达 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根（有两个共轭虚根） —— 二、解法步骤 2.1 直接开平方法 适用形式： 步骤： 1. 直接开平方得 2. 解得 示例：解方程 解：开平方得 即 2.2 配方法 核心思想：将方程化为 步骤： 1. 移项：把常数项移到等号右边，得 2. 系数化 1：两边同除以 3. 配方：方程两边加 即 4. 开平方求解（需满足右边非负）。 示例：用配方法解方程 解：移项得 2.3 公式法 求根公式：对于为 步骤： 1. 化为一般形式，确定 2. 计算判别式 3. 若 示例：用公式法解方程 解： 2.4 因式分解法 适用条件：方程左边能分解为两个一次因式的乘积 步骤： 1. 将方程化为 2. 令每个因式等于 0，得 3. 解得 和 。 示例：用因式分解法解方程 解：分解因式得 即 解得 三、求根公式推导（配方法） 1. 对一般形式 2. 二次项系数化为 1： 3. 配方： ； 4. 化简左边为完全平方式： 5. 开平方（需 \Delta \geq 0 ）： 6. 解得： 四、常见题型及解题策略 4.1 选择适当方法解方程 方程特征 推荐方法 示例 直接开平方法 二次项系数为 1 且一次项为偶数 配方法 无法因式分解或系数较大 公式法 左边可分解为整式乘积 因式分解法 4.2 判别式的应用 例：已知方程 有两个不相等的实根，求 k 的取值范围。 解：由题意得 ， 。 五、易错点提示 1. 忽略二次项系数不为 0：使用判别式或公式法时，需先确认 2. 配方时漏乘系数：如方程 3. 开平方忘记取正负：直接开平方法中 4. 因式分解不彻底：如 题型强化 题型一、直接开平方法解一元二次方程 【典型例题1】方程的根是（　　） A． B． C． D．无实数根 【答案】D 【解析】【解答】解：， 移项得：， ∵， ∴方程无实数根， 故答案为：D. 【分析】先移项，然后直接开平方法即可，根据负数没有平方根得出结论． 【典型例题2】如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（　　） A．3 B．±3 C．-3 D．± 【答案】B 【解析】【解答】根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3， 故答案为：B． 【分析】根据题意得出3x2﹣6=21，然后用直接开平方法求解。 【典型例题3】关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A． B． C．或 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ， 解得： ， 故答案为：A 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案. 【变式训练1】关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴， ∴，， ∵方程， ∴， ∴，， 故答案为：B. 【分析】利用直接开平方法求出，再根据方程的解求出，，最后计算求解即可。 【变式训练2】用适当的方法解下列方程解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：． ， ， 或， 【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）利用配方法求解一元二次方程即可。 题型二、配方法解一元二次方程 【典型例题1】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，即：， 故答案为：D . 【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可得解. 【典型例题2】把方程化成的形式，则m的值是　 　． 【答案】11 【解析】【解答】解： ． ∴． 故答案为：11． 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【变式训练1】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：进行移项得， 二次项系数化为1得， 配成完全平方式得，即， 因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式， 所以，，则； 故答案为：． 【分析】根据配方法可得，再根据对应值相等可得a，b，再代入代数式即可求出答案. 【变式训练2】解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， ， ， ， ， 所以，； （2）解：． ， ， 或， 所以，． 【解析】【分析】（1）先将常数项移项，再按照完全平方公式进行配方，即可求出方程的解； （2）先移项，将相同的因式提出，即可求出方程的解. 题型三、一元二次方程根的判别式及应用 【典型例题1】一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ，△=（-3）2-4×2×1=9-8=1＞0 ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为B． 【分析】运用一元二次方程根的判别式判定方程的根的情况即可． 【典型例题2】已知一个等腰三角形的一边的长是3，另外两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为 (　　) A．3或7 B．4或7 C．3或4 D．7 【答案】C 【解析】【解答】解：当3为等腰三角形底边长时，两腰长为方程的两相等实数根 ∴，解得：k=4 ∵x1+x2=4>3，符合三角形三边关系 ∴k=4 当3为等腰三角形腰长时 将x=3代入方程可得，解得：k=3 ∴方程为，解得：x1=1，x2=3 ∵1+3>3，符合三角形三边关系 ∴k=3 综上所述，k的值为3或4 故答案为：C 【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论：当3为等腰三角形底边长时，两腰长为方程的两相等实数根，则判别式，解方程，结合三角形三边关系可得k值；当3为等腰三角形腰长时，将x=3代入方程，再解方程，结合三角形三边关系可得k值 【典型例题3】 已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2-4ac＝42-4×1×2m＞0， 解得：m＜2， ∴m的取值范围为m＜2； （2）解：∵m为正整数， ∴m＝1， ∴原方程为x2+4x+2＝0， 即（x+2）2＝2， 解得：x1＝-2+，x2＝-2-， ∴当m为正整数时，此时方程的根为-2+和-2-． 【解析】【分析】（1）根据 x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根 ，直接利用根的判别式 Δ＝42-4×1×2m＞0，解得m＜2， 即可得出结论； （2）根据 m为正整数 且m＜2，可得m＝1，代入原方程，再利用求根公式即可求解. 题型四、根据一元二次方程的根的情况求参数 【典型例题1】一元二次方程有一个根为1，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得，． 故答案为：5． 【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。 【典型例题2】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：依题意，有：且， 解得， 故答案为：1． 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出判别式，结合二次项系数不为零即可求解. 【典型例题3】若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴=22-4(k-1)×（-2）=4+8k-8=8k-4＞0，且k-1≠0， ∴k＞，且k≠1. 故答案为：D。 【分析】首先根据方程的根的情况，得出不等式＞0且k-1≠0，解不等式，即可得出k＞，且k≠1.即可得出答案。 题型五、公式法解一元二次方程 【典型例题1】若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵一元二次方程的根为，是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故答案为：D． 【分析】根据求根公式可得出a，b，c的值，即可求出对应的一元二次方程。 【典型例题2】解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解： ∴，； （2）解： ，，， ∴，． 【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可解方程； （2）根据公式法结合题意即可求解。 【变式训练】已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）解：设方程的两个实数根为，，， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程判别式（当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根）为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． （1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 题型六、因式分解法解一元二次方程 【典型例题1】已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　 　． 【答案】20 【解析】【解答】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【分析】先求出菱形的两条对角线长分别为6和8，再利用勾股定理和菱形的周长求解即可。 【典型例题2解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：，， ， 或， ∴，； （2）解：，， ， 或 ∴，． 【解析】【分析】（1）移项，使方程的右边为0。把左边进行因式分解，即可求解； （2）移项，使方程的右边为0。把左边进行因式分解，即可求解； （1）解：， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ， 或 ∴，． 【变式训练】阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）， ， 解得：，， ， 故方程是“邻根方程”； （2）， ， 解得：，， 方程是常数是“邻根方程”， ，或． 【解析】【分析】（1）理解新定义后，运用因式分解法解一元二次方程，再根据新定义判断即可； （2）先将原方程用因式分解法解出两个根，再根据新定义确定m的数值. 题型七、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【典型例题1】 若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（　　） A．2 B．1 C．-1 D．0 【答案】C 【解析】【解答】解：x=-2是方程x2+(k+3)x+2=0的一个根， ， 解得：k=0， 则原方程为：x2+3x+2=0， 因式分解得：（x+1）(x+2)=0， x1=-1，x2=-2， 另一个根是-1. 故答案为：C. 【分析】先把x=-2代入原方程解出k的值，将k的值回代，再解方程即可. 【典型例题2】设，是一元二次方程的两根，则　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】根据题意 即 故填： 【分析】根据一元二次方程根的意义，利用整理代入的思想将所求代数式降次，最后根据韦达定理计算求值。 【变式训练1】已知关于x的一元二次方程。 （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，。若，，求k的取值范围。 【答案】（1）证明：∵Δ＝[-（k+4）]2﹣4（3+2k） ＝k2+8k +16﹣12﹣8k =k 2+4＞0 ∴此方程总有两个不相等的实数根 （2）解：∵x1＞0，x2＜0， ∴x1•x2＜0 ∵x1•x2＝3+2k ∴3+2k＜0， 解得k＜﹣ 即k的范围为k＜﹣ 【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有两个不相等的实数根. （2）根据二次方程根与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案. 【变式训练2】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程， ，， ∵， ∴，即，十字相乘因式分解得：，， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到即可求a的取值范围； （2）根据，， 代入， 通过配方可得，即，十字相乘因式分解得：，，由（1）得， 所以 解得． 提升练习 一、选择题 1． 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A：=（-1）2-4×1×1=-3＜0，所以方程无实数根，所以A不符合题意； B：=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程无实数根，所以B不符合题意； C：=12-4×1×（-1）=5＞0，所以方程有实数根，所以C符合题意； D：=0-4×4＜0，所以方程无实数根，所以D不符合题意。 故答案为：C。 【分析】根据根的判别式，分别进行判断，即可得出答案。 2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可. 3．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：， ， ， ， 故答案为：A． 【分析】配方法解一元二次方程的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。据此求解。 4．若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．12 C． D．8 【答案】C 【解析】【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】首先根据根与系数的关系可得出，再利用整体代入法代入代数式中，即可求解． 5．关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵于的一元二次方程有实数根， ∴，， A. ，，，故此选项不符合题意； B. ，，，故此选项不符合题意； C. ，，，故此选项不符合题意； D. ，，，，故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】由根与系数的关系得，，据此逐一分析判定即可。 6．若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵关于x一元二次方程的根为， ∴ 故答案为：A 【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案. 7．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（　　） A．或-3 B．-3 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得△＝＞0， 解得m＞−， 根据根与系数的关系的，， ∵， ∴， ∴， 整理得，解得，， ∵m＞−， ∴m的值为. 故答案为：C. 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得根的判别式b2-4ac＞0，据此列出不等式求解得出m的取值范围；根据一元二次方程根与系数的关系“”可得，，进而将方程的左边利用完全平方公式变形后整体代入即可得出关于字母m的方程，求解并检验即可得出答案. 8．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 【答案】B 【解析】【解答】解：， 解得：或， 当等腰三角形的底边为2时，则三边分别为：2，4，4， ，， 2，4，4能构成三角形， 则这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底边为4时，则三边分别为：2，2，4， ， 2，2，4不能构成三角形， 综上所述，则这个等腰三角形的周长为10， 故答案为：B 【分析】先运用因式分解法解方程，进而得到两个根，再根据等腰三角形的性质结合分类讨论，从而根据三角形三边关系即可求解。 二、填空题 9．一元二次方程 的解是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： ， 解得： ； 故答案为 . 【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解. 10．请写出一个两根分别为1和3的一元二次方程　 　． 【答案】x2-4x+3=0(答案不唯一) 【解析】【解答】解：∵二次方程的两根分别为1和3 ∴方程可以为(x-3)(x-1)=0 即为：x2-4x+3=0 故答案为：x2-4x+3=0 【分析】根据二次方程的定义即可求出答案. 11．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为　 　. 【答案】13 【解析】【解答】解：x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x-2=0或x-4=0 x=2或x=4. 当x=2时，三边长分别为2，3，6，此时2+3=5<6，构不成三角形，故x=2舍去； 当x=4时，三边长分别为4，3，6，能构成三角形，此时三角形的周长为4+3+6=13. 故答案为：13. 【分析】先利用因式分解法解方程得到x=2或x=4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长. 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得， ∴m=1， 故答案为：1 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到，进而即可求解。 13．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 =　 　. 【答案】2020 【解析】【解答】解：如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ， 则 、 是关于 的一元二次方程 的两根， ∴ ， ， ＝ ＝ ＝2020 【分析】由题意 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 − m = 3 ， − n = 3，可知，m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 − x = 3 的两根，由根与系数的关系得，m + n = 1 ， m n = − 3 ，代入所求代数式即可求解。 三、解答题 14． 解方程： （1） ； （2） . 【答案】（1）解： 或 解得， （2）解： ， 【解析】【分析】（1）两边直接开方即可求出答案. （2）根据求根公式解方程即可求出答案. 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）解：∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据方程的根的情况，可得出含有参数a的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （2）首先根据根与系数的关系得出，然后再把根据完全平方公式进行适当变形，得出，再整体代入，得出关于a的方程，解方程即可求得a的值。 （1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 16． 已知关于x的方程.有两个相等的实数根. （1）求k的值； （2）直接写出这两个实数根的两根之和与两根之积. 【答案】（1）解：∵关于x的方程.有两个相等的实数根， 解得k=9. （2）解： 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。 17．已知关于的一元二次方程中，． （1）解：，， ， 　 　 ，此时　 　 ． （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求方程的根． 【答案】（1）1；-2 （2）解：根据题意得， 解得， 原方程化为， 解得． 【解析】【解答】解：（1）∵c-1≥0，1-c≥0， ∴1≤c≤1 ∴c=1，b=-2； （2）根据题意，△=（-2）2-4a×1=0， 解得a=1， ∴原方程化为x2-2x+1=0，即可得到x1=x2=1. 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可得到c=1，求出b即可； （2）根据题意，得到方程根的判别式为0，求出a的值，即可得到方程的根。 18．在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　 　(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2）解： ， 将方程左边分解因式，得： ， 移项得： ， 因式分解得： ， 故 或 ， 解得： ， 【解析】【解答】解： 已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是②，因为 可能为0. 【分析】(1)根据等式的基本性质可判断第一题； (2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得。 学科网（北京）股份有限公司 $$