第01讲 一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第01讲 一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、一元二次方程的定义及相关的量 题型二、一元二次方程的一般形式 题型三、一元二次方程的根 题型四、列一元二次方程 知识梳理 一、一元二次方程的定义 1.1 标准定义 一元二次方程是指只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程。 1.2 三要素（缺一不可） 要素 说明 整式方程 等号两边都是整式（分母不含未知数，根号内不含未知数）。 一个未知数 方程中仅含一个变量 最高次数是 2 未知数的最高指数为 2，且二次项系数不为 0。 1.3 典型示例与反例 方程 是否为一元二次方程 理由分析 是 整式方程，含 1 个未知数 ，最高次数，二次项系数 。 是 整式方程，含 1 个未知数，最高次数 2（一次项系数 b = 0 不影响）。 否 化简后为 -x - 2 = 0 ，最高次数 1（二次项抵消，成为一元一次方程）。 否 分母含未知数 x ，不是整式方程（为分式方程）。 二、一元二次方程的一般形式 2.1 标准形式 一元二次方程的一般形式为： 其中： 称为二次项， a 为二次项系数 称为一次项， b 为一次项系数 。 2.2 注意事项 核心约束：。 系数符号：均为常数，包含正负号。例如方程中， -3 。 特殊形式：当 时，方程为一般形式的特例，如： 2.3 化为一般形式的步骤 以方程 例： 1. 展开左边：； 2. 移项、合并同类项：； 3. 确定系数： 三、一元二次方程的根 3.1 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，称为一元二次方程的根（也称为方程的解）。 3.2 根的检验方法 若 入方程，等式成立： 示例： 代入左边 右边 3.3 根的个数 一元二次方程的根可能有 2 个不相等的实数根、2 个相等的实数根 或 无实数根（后续将学习判别式 ，但本节仅需理解“根是使方程成立的未知数的值”。 题型强化 题型一、一元二次方程的定义及相关的量 【典型例题1】有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C．+x=2 D．x3﹣3x+8=0 【典型例题2】已知是一元二次方程，则　 　。 【典型例题3】已知实数是关于的一元二次方程的根，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型二、一元二次方程的一般形式 【典型例题1】把方程化成一元二次方程的一般形式是　 　． 【典型例题2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三、一元二次方程的根 【典型例题1】关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（　　） A． B．2 C．3 D．7 【典型例题2】关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（　　） A．2 B．3 C．1 D．4 【变式训练】已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　． 题型四、列一元二次方程 【典型例题1】一个微信群里共有个成员，每个成员都分别给群里的其他成员发一条信息，共发信息72条，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（　　） A．x（x+1）＝4×7 B．x（x-1）＝4×7 C． D． 【典型例题3】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．（60-x）（40-x）＝1750 B．（60-2x）（40-x）＝1750 C．（60-2x）（40-x）＝2400 D．（60-x）（40-2x）＝1750 【变式训练】开学初，某兴趣小组为了相互勉励组员认真学习，每两个同学都相互赠送一件礼品给其他组员，经统计一共有礼品56件，设该兴趣小组有x人，根据题意，可列方程为　 　． 提升练习 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0 2．一元二次方程的常数项是（　　） A．7 B． C． D．1 3．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A．4 B．5 C． D． 4．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．6 B．3 C． D． 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．-1 B．-2 C．1 D．2 6．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 7．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（　　） A．1 B．1， C． D．以上都不对 8．在某足球邀请赛中， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 共比赛 10 场， 求参加比赛的球队数量. 设有 个队参赛，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．将化成一元二次方程的一般形式的结果为+　 　=0. 10．已知是方程的一个根，那么代数式的值为　 　． 11．若关于x的一元二次方程的常数项为0．则m的值等于　 　． 12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为　 　． 13．已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解是 　 　． 三、解答题 14．若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？ 15．已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？ 16．已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 17．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”， （1）解方程x2+2x-8=0， （2）方程x2+2×-8=0　 　(填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”　 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、一元二次方程的定义及相关的量 题型二、一元二次方程的一般形式 题型三、一元二次方程的根 题型四、列一元二次方程 知识梳理 一、一元二次方程的定义 1.1 标准定义 一元二次方程是指只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程。 1.2 三要素（缺一不可） 要素 说明 整式方程 等号两边都是整式（分母不含未知数，根号内不含未知数）。 一个未知数 方程中仅含一个变量 最高次数是 2 未知数的最高指数为 2，且二次项系数不为 0。 1.3 典型示例与反例 方程 是否为一元二次方程 理由分析 是 整式方程，含 1 个未知数 ，最高次数，二次项系数 。 是 整式方程，含 1 个未知数，最高次数 2（一次项系数 b = 0 不影响）。 否 化简后为 -x - 2 = 0 ，最高次数 1（二次项抵消，成为一元一次方程）。 否 分母含未知数 x ，不是整式方程（为分式方程）。 二、一元二次方程的一般形式 2.1 标准形式 一元二次方程的一般形式为： 其中： 称为二次项， a 为二次项系数 称为一次项， b 为一次项系数 。 2.2 注意事项 核心约束：。 系数符号：均为常数，包含正负号。例如方程中， -3 。 特殊形式：当 时，方程为一般形式的特例，如： 2.3 化为一般形式的步骤 以方程 例： 1. 展开左边：； 2. 移项、合并同类项：； 3. 确定系数： 三、一元二次方程的根 3.1 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，称为一元二次方程的根（也称为方程的解）。 3.2 根的检验方法 若 入方程，等式成立： 示例： 代入左边 右边 3.3 根的个数 一元二次方程的根可能有 2 个不相等的实数根、2 个相等的实数根 或 无实数根（后续将学习判别式 ，但本节仅需理解“根是使方程成立的未知数的值”。 题型强化 题型一、一元二次方程的定义及相关的量 【典型例题1】有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C．+x=2 D．x3﹣3x+8=0 【答案】A 【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故D不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，逐项进行判断，即可得出答案. 【典型例题2】已知是一元二次方程，则　 　。 【答案】-3 【解析】【解答】解：由题可得’ 解得：m=-3， 故答案为：-3. 【分析】根据一元二次方程的定义“形如ax2+bx+c=0(a≠0）的等式是一元二次方程”解题即可. 【典型例题3】已知实数是关于的一元二次方程的根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵实数是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：D 【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，求出的值，最后再将的值代入 ，即可求解。 题型二、一元二次方程的一般形式 【典型例题1】把方程化成一元二次方程的一般形式是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可求出答案. 【典型例题2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】【解答】解： 将方程是 x2−4x=5化为一般形式为x2−4x−5=0， 对比一般形式 ax2+bx+c=0， a=1，对应二次项系数； b=−4，对应一次项系数； c=−5，对应常数项， 因此，根据一元二次方程的系数定义，我们可以得出二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-5。 故答案为：D. 【分析】 首先需要掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，其中a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项，对于给出的方程，我们需要将方程化为一般形式，然后根据一般形式的定义来确定各系数的值. 题型三、一元二次方程的根 【典型例题1】关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（　　） A． B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】【解答】解：将x=2代入得， ， 解得，． 故答案为：C. 【分析】把代入方程中，解关于b的一元一次方程即可． 【典型例题2】关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（　　） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：∵方程（x﹣1）（x﹣4）=0， ∴此方程的解为x1=1，x2=4， ∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同， ∴把x1=1代入方程得：a+b+c=3， 故选B． 【分析】首先利用因式分解法求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解，再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值． 【变式训练】已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　． 【答案】2027 【解析】【解答】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：。 【分析】把代入 ，求出，然后再整体代入即可求解。 题型四、列一元二次方程 【典型例题1】一个微信群里共有个成员，每个成员都分别给群里的其他成员发一条信息，共发信息72条，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得：． 故答案为：C. 【分析】基本关系 ：利用发信息的总数=微信群里好友的人数微信群里好友的人数，据此列出x的一元二次方程． 【典型例题2】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（　　） A．x（x+1）＝4×7 B．x（x-1）＝4×7 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：每个队伍需与其他队伍比（x-1）场，但两个队伍之间只需要比一场， 可列方程： 【分析】根据关系式：球队数×每支队伍需要的常熟÷2=总共场数，代入求解即可。 【典型例题3】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．（60-x）（40-x）＝1750 B．（60-2x）（40-x）＝1750 C．（60-2x）（40-x）＝2400 D．（60-x）（40-2x）＝1750 【答案】B 【解析】【解答】解：长方形的长为60米，宽为40米，绿化带的宽度为x米， 被分成六块的活动场所可合成为长为（60-2x）米，宽为（40-x）米的长方形， 根据题意可列方程为（60-2x）（40-x）＝1750， 故答案为：B. 【分析】根据各边长之间的关系，可得六块的活动场所可合成为长为（60-2x）米，宽为（40-x）米的长方形，再根据绿化带分为总面积为1750平方米即可列出方程. 12．开学初，某兴趣小组为了相互勉励组员认真学习，每两个同学都相互赠送一件礼品给其他组员，经统计一共有礼品56件，设该兴趣小组有x人，根据题意，可列方程为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设该兴趣小组有x人，根据题意： ． 故答案为：。 【分析】设该兴趣小组有x人，根据题意“一共有礼品56件”，建立方程即可求解。 提升练习 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0 【答案】A 【解析】【解答】 A、是一元二次方程，故A符合题意； B、是一元一次方程，故B不符合题意； C、是二元一次方程，故C不符合题意； D、是一元三次方程，故D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程的定义一一判断即可。 2．一元二次方程的常数项是（　　） A．7 B． C． D．1 【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程的常数项是， 故选：C． 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c叫做常数项，即可求解. 3．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：将代入原方程得：，解得：， ∴k的值为． 故答案为：D． 【分析】根据方程的根的意义，可得出关于k的方程，，解之即可得出k的值． 4．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵是的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：A． 【分析】将x=m代入方程可得，化简代数式再整体代入即可求出答案. 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】C 【解析】【解答】解： 把代入方程得：a-b-1=0， ∴a-b=1. 故答案为：C. 【分析】把代入方程即可求解. 6．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【解析】【解答】∵方程是关于的一元二次方程， ∴m+1≠0， 解得：m≠-1， 故答案为：C. 【分析】利用一元二次方程的定义可得m+1≠0，再求出m的取值范围即可. 7．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（　　） A．1 B．1， C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0 ∴将x=0代入方程可得： 解得：k=1或-3 ∵此方程是关于x的一元二次方程 ∴k-1≠0，解得：k≠1 综上，k=-3 故答案为：C 【分析】根据题意将x=0代入方程可得k=1或-3，再根据一元二次方程的定义即可求出答案. 8．在某足球邀请赛中， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 共比赛 10 场， 求参加比赛的球队数量. 设有 个队参赛，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：设有x个队参赛， 由题意可得， 故选：C． 【分析】 共有x个队参加比赛，则每队参加场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排10场比赛，列方程即可． 二、填空题 9．将化成一元二次方程的一般形式的结果为+　 　=0. 【答案】 【解析】【解答】∵一元二次方程为， ∴将方程化为+x+1=0， 故答案为：x+1. 【分析】利用单项式乘多项式及整式的混合运算将方程化为一般式+x+1=0，再求解即可. 10．已知是方程的一个根，那么代数式的值为　 　． 【答案】7 【解析】【解答】解：由题意得，， 则， 故答案为：7． 【分析】根据方程的根的定义，结合整体代入求代数式的值。由题意可得，，再整体代入求值即 11．若关于x的一元二次方程的常数项为0．则m的值等于　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程的常数项为0 ， 解得：m= 故答案为：-2. 【分析】根据关于x的一元二次方程的常数项为0 ，得到关于m的一元二次方程，解方程取符合题意的m的值即可. 12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故答案为：． 【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程． 13．已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解是 　 　． 【答案】5和1 【解析】【解答】解：∵关于的方程、、为常数，的解是，， ∴x-2=3或x-2=-1， 解得：x=5或x=1， 故答案为：5或1. 【分析】利用一元二次方程的解可得x-2=3或x-2=-1，再求出x的值即可. 三、解答题 14．若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？ 【答案】解∶由题意得，时， 即时，一元二次方程的常数项为0． 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的方程和不等式，解之可求解. 15．已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？ 【答案】解：m(x－1)2＝－3x2＋x， mx2-2mx+m+3x2-x=0， (m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0， 二次项系数为：m+3，一次项系数为：-（2m+1）， 由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2. 【解析】【分析】先将方程转化为一般形式，再根据二次项系数与一次项系数互为相反数，建立关于m的方程，解方程求出m的值. 16．已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1）解：由一元一次方程得定义， 得 解得， 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）解：由一元二次方程定义，得， 解得， ∴当k≠±2时，此方程是一元二次方程， 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 【解析】【分析】（1）只含有一个未知数，未知数项的最高次数为1次，且一次项系数不为零的整式方程就是一元一次方程，据此可得二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）只含有一个未知数，未知数项的最高次数为2次，且二次项系数不为零的整式方程就是一元二次方程，据此列出不等式求解可得k的取值范围；一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，其中二次项系数是a、一次项系数是b及常数项是c据此作答即可. （1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 17．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”， （1）解方程x2+2x-8=0， （2）方程x2+2×-8=0　 　(填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”　 　 【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2 （2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一) 【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x-2）＝0， 则x+4＝0或x-2＝0， ∴x1＝-4，x2＝2； （2）解：∵x1＝-4，x2＝2， ∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”， “倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝-3，x2＝-6，满足x2＝2x1． 故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$