22.3 实际问题与二次函数 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 能够根据实际问题建立二次函数模型 2. 掌握利用二次函数性质解决最值问题的方法 3. 会分析抛物线型实际问题的特征 4. 能综合运用二次函数知识解决利润、面积、运动轨迹等典型问题 知识点梳理 1. 建模步骤 · 审题明确变量关系 · 设自变量和因变量 · 建立二次函数关系式 · 确定自变量取值范围 2. 常见问题类型 · 利润最大化：总利润=单件利润×销售量（注意价格与销量的线性关系） · 面积最值：利用几何图形面积公式建立二次函数 · 抛物线运动：高度与时间的关系h=at²+bt+c · 材料优化：如围栏、包装等用料最少问题 3. 解题关键 · 通过配方或公式法求顶点坐标 · 结合实际问题验证解的合理性 · 注意自变量的实际意义（如非负性、整数限制等） 易错点提醒 1. 变量设定错误：混淆自变量与因变量 2. 忽略定义域：未考虑实际问题中变量的限制条件 3. 最值误判：将顶点纵坐标直接作为答案，未验证是否在定义域内 4. 单位不统一：实际问题中未统一单位导致计算错误 5. 模型建立错误：将线性关系误认为二次关系 6. 计算错误：配方过程中符号错误或漏项 知识点小结 核心方法： 1. 建立函数模型→求顶点坐标→验证实际意义 2. 抛物线型问题注意对称性和最值点 关键技巧： · 利润问题常设涨价x元，建立二次函数 · 面积问题优先用含单变量的表达式 · 运动问题注意初始高度（c值）和加速度 注意事项： 1. 所有解必须符合实际问题的限制条件 2. 复杂问题建议先画示意图辅助分析 3. 计算结果需带回原题检验合理性 注：本节重点培养数学建模能力，需通过典型例题掌握建立二次函数模型的方法，特别注意实际问题的特殊要求与函数性质的结合运用。 巩固练习 一、选择题 1．某种商品的价格是20元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数表达式是(　　) A．y=20(x+1)2 B．y=20(1-x)2 C．y=(x+1)2 D．y=(x-1)2 2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 3． 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x=（　　） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 4．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是yx2x，则此运动员把铅球推出多远（　　） A．12m B．10m C．3m D．4m 6．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（　　） A．2m B． C． D． 7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为　 　秒． 9．某县推行“”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为小时，到第三周时，平均工作时长为小时，设这两周工作时长的平均增长率为，则可列方程为　 　 ． 10．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是　 　． 11．小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是　 　． 12．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为　 　米. 13．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 14．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 15．如图，线段AB=8cm，C是AB上一点，D，E分别是AC的三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形，设AD为xcm，四个正方形的面积之和为S． （1）S关于x的函数表达式为　 　，自变量的取值范围是　 　 （2）当AD=　 　时，四个正方形的面积之和最小，最小值是　 　cm2． 三、解答题 16．综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 17．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 18．调查了某城市近20个月的商品房价格，与上年同期相比，房价增长率y(%)与月份序号x近似地满足二次函数关系y=-0.25x2+3x． （1）哪个月房价年增长率最高？哪几个月房价年增长率y随x的增加而增加？ （2）第几个月房价相当于上年同期水平？ 19．如图，上午7：00，一列火车在A城的正北200km处以100km/h的速度匀速驶向终点站A城，同时，一辆小汽车在A城的正东100km处以100km/h的速度匀速向正西的目的地B行驶，两车同时到达各自的目的地．设两车出发t小时时，它们间的距离为s千米． （1）求s关于t的函数表达式，并写出t的取值范围． （2）设两车出发t1，t2小时时，对应的两车间的距离分别为s1，s2，若t1>t2≥1，比较s1，s2的大小． （3）当s=s3时，只有唯一一个t与其对应，求所有满足条件的s3对应的t的范围． 20．已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 21． 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m． 现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 22．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元． （2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？ （3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6．B 7．A 8．18 9． 10． 11．8 12．10 13．150 14．能 15．（1）S=12x2-48x+64；0<x< （2）2；16 16．解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设． 将点代入上式，得． ． 任务2：因为，即抛物线的顶点坐标为，则拱形门建筑最高点到地面的距离为20． 17．（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，与y轴的交点为(0，1)， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得：， ∴抛物线为：． （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵果树． 18．（1）解：∵， ∵a=-0.25＜0， ∴抛物线的开口向下，函数有最大值， ∴抛物线的对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，9）， 则当x=6时，y最大值为9， 当x＜6时，y随x的增大而增大， 故第6个月房价年增长率最高，第1~6月房价的年增长率y随x的增加而增加． （2）解：当y=0时，代入得：-0.25x2+3x=0， 解得：x=0或x=12， 故第12个月房价相当于上年同期水平． 19．（1）解：①当0≤t≤1时，s= ②当1<t≤2时，s= 综上所述，s=(0≤t≤2)． （2）解：当t1>t2≥1时，s1=，s2= ∴s12-s22=10000[2t12-6t12+5-(2t22-6t22+5)]=20000(t1-t2)(t1+t2-3)． ∵t1-t2>0， ∴当3<t1+t2≤4时，s12-s22>0，s1>s2； 当t1+t2=3时，s12-s22=0，s1=s2； 当2<t1+t2<3时，s12-s22<0，s1<s2． （3）解：当s=s3时，只有唯一一个t与其对应，因为s>0，则s2=s32时也只有唯一的t与它对应， 结合s2=20000t2-60000t+50000(0≤t≤2)的图象可知，0≤t<1或t= 20．（1）解：把和点代入得到，解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． （2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． （3）解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 21．（1）解：∵8-6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线为 y＝a（x-2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， 解得a＝-， ∴抛物线的函数解析式为：y＝-（x-2）2+3； （2）解：当x＝0时，y＝-×4+3＝＞2.44， ∴球不能射进球门． （3）解：设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y＝-（x-2-m）2+3， 把点（0，2.25）代入得：2.25＝-（0-2-m）2+3， 解得 m＝-5（舍去）或m＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 故答案为：1． 22．（1）， （2）60 （3）当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元 学科网（北京）股份有限公司 $$