学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（河北专用，人教版2024八上13～14章：三角形+全等三角形）

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、（本大题共8个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （6分） 19. （7分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（9分） 24.（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级数学上册第13~14章（三角形+全等三角形）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则下列可作为的长度的是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 5．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 6．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 8．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 9．观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形一定全等 B．有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C．有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D．有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 10．如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 11．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 12．三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是 ． 14．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 15．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 16．如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 18．（6分）如图，中，， (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的射线交于点D，，，求的度数． 19．（7分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 20．（8分）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 21．（8分）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 22．（9分）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 23．（9分）如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 24．（11分）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 试卷第2页，共24页 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年上学期第一次月考卷 八年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 2 分，共 24 分） 1 [A] [ B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、 填空 题（每小题 3 分，共 1 2 分） 1 3 ． __ __________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三、（本大题共 8 个小题，共 64 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 ． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 6 分） 1 9 ．（ 7 分） (1) 小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2) 请你帮助小明写出正确的证明过程． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （ 8 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22. （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 9 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 11 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级数学上册第13~14章（三角形+全等三角形）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则下列可作为的长度的是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 5．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 6．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 8．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 9．观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形一定全等 B．有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C．有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D．有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 10．如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 11．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 12．三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是 ． 14．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 15．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 16．如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 18．（6分）如图，中，， (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的射线交于点D，，，求的度数． 19．（7分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 20．（8分）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 21．（8分） 如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 22．（9分）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 23．（9分）如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 24．（11分）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B D A B C B B C D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（或或） 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：与相等的角有，，理由如下：······（2分） ∵， ∴，，······（3分） ∴， 即．······（5分） ∵， ， ∴．······（6分） 18．（6分） 【详解】（1）解：射线就是所要求作的射线； ······（3分） （2）解：由（1）可知，， 所以．······（6分） 19．（7分） 【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等；······（2分） （2）证明：在和中， ∵，，     ······（3分）   ∴  ······（4分）              ∴，  ······（5分） ∴平分．······（6分） 20．（8分） 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形；······（2分） （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）．······（6分） 21．（8分） 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：；······（4分） （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴．······（8分） 22． 【详解】（1）证明：，， ． 在与中 ．······（4分） （2）由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ．······（8分） 23．（9分） 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线， 平分；······（2分） （2）解：①，， ， ， ， ， ， 解得：， ；······（4分） ②，······（5分） 理由如下： 延长到，使，连接，······（6分） ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ，······（8分） ， ．······（9分） 24．（11分） 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；······（3分） （2）由（1）可得：，， ∴，，，， ∴实线所围成的图形的面积；······（4分） （3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；······（6分） ②解：由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积．······（9分） 试卷第2页，共24页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级数学上册第13~14章（三角形+全等三角形）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 2．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则下列可作为的长度的是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：由图可知，, 设则, 则 解得：， 的长度可以为4 故选B 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，， ， ， ， 故选：B． 4．如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 【答案】D 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 由求解过程可知，▲代表，■代表，★代表对应角，※代表， 即选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意． 故选：D． 3．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 6．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 7．要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 【答案】C 【详解】解：对于方案（I）： ， ， 等于直线所夹的锐角， 测量的大小即可， ∴方案（I）正确； 对于方案（II）： 和直线所夹锐角组成三角形， 直线所夹锐角等于， 所以测量和的大小可计算出直线所夹的锐角， ∴方案（II）正确． 故选：C． 8．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 9．观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形一定全等 B．有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C．有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D．有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 【答案】B 【详解】解：由题意知： 在和中， ，，， 但由图知，和不全等， ∴有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等， 故选：B． 10．如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作轴，轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 11．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 12．三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是 ． 【答案】（或或） 【详解】解：∵点在同一直线上，并且， ∴， ∴， 又， 添加，可根据使得； 添加，可根据使得； 添加，可根据使得， 故答案为：（或或）． 14．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 当时，最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：5． 15．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 【答案】/3度 【详解】解：平分，平分， ，． 又，， ， ∴． 同理可得． ∴． ∴． ∵，，则． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【详解】解：与相等的角有，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 即． ∵， ， ∴． 18．（6分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等(2)见解析 【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）证明：在和中， ∵，，        ∴                ∴，                  ∴平分． 19．（7分）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种，图见解析 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 20．（8分）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 21．（8分）如图，中，， (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的射线交于点D，，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：射线就是所要求作的射线； （2）解：由（1）可知，， 所以． 22．（9分）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，， ． 在与中 ． （2）由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ． 23．（9分）如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)①②，理由见详解 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线， 平分； （2）解：①，， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②， 理由如下： 延长到，使，连接， ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ， ， ． 24．（11分）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；② 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）可得：，， ∴，，，， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 试卷第2页，共24页 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$