11 第2章 第4节 科学测量：用单摆测量重力加速度-【名师导航】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册同步课件（鲁科版）

第二章 机械振动 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [实验目标]　1．用单摆测量重力加速度。2．会用秒表测量时间。3．能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 必备知识·自主预习储备 一、实验原理与设计 1．单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。 2．用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。 第一单元　伟大的复兴·中国革命传统作品研习 二、实验器材 长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。 三、实验步骤 1．取长约1 m的细线，细线的一端连接 小球，另一端用铁夹固定在铁架台上， 让摆球自由下垂，如图所示。 实验装置示意图 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 2．用刻度尺测摆线长度l线，用游标卡尺测小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋。 3．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。 4．改变摆长，重复实验多次。 5．将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 四、数据处理 1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格。 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) g的平均值 1       g＝ 2       3       必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 2．图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2-l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝。由图像的斜率即可求出重力加速度g。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 五、注意事项 1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径最好不超过2 cm。 2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时摆线下滑、摆长改变。 3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次全振动的时间，用取平均值的办法求周期。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 六、误差分析 1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动，以及测量哪段长度作为摆长等。 2．本实验的偶然误差主要来自时间(单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，最好采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 3．本实验在长度(摆线长、摆球的直径)的测量中，读数读到毫米位即可，时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 关键能力·情境探究达成 类型一　实验操作与测量 【典例1】　根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。 第一单元　伟大的复兴·中国革命传统作品研习 (1)用游标卡尺测量小钢球的直径，示数如图所示，读数为______ mm。 18.6 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________。 a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ abe 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)该游标尺为十分度的，根据读数规则可读出小钢球直径大小为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。 (2)根据用单摆测量重力加速度的实验要求可判断正确的为abe。 类型二　数据处理和误差分析 【典例2】　利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小球，做成单摆。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (1)若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图乙所示，则单摆摆长是__________m。 (2)在某次测量时，将小球拉离平衡位置一个小角度，由静止释放小球，稳定后在小球某次经过平衡位置时开始计时，经过25个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示。则秒表测得的时间t＝_______s，计算出单摆周期T＝_______s。 0.875 0 100.0 4.0 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (3)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则： 试根据图中给出的数据点作出T2和l的 关系图线，根据图线可求出g＝____m/s2。 图线不过原点，_______(选填“会”或 “不会”)影响重力加速度的测量。(取 π2＝10，结果保留2位有效数字) 见解析图 10 不会 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)由题图乙可知摆长 l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。 (2)秒表测得的时间为 t＝60 s＋40.0 s＝100.0 s 计算出单摆周期为 T＝＝4.0 s。 (3)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如图所示： 则直线斜率k＝ 由g＝＝ 可得g＝10 m/s2 T2-L图线不过原点，但图线的斜率没有改变，故不会影响重力加速度的测量。 类型三　创新实验设计 【典例3】　在“利用单摆测重力加速度”的实验中。 (1)从下列器材中选择最合适的器材_______(填写器材代号)。 A．小铁球 B．小塑料球 C．20 cm长的细线 D．100 cm长的细线 E．手表 F．时钟 G．秒表 ADG 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (2)若实验测得的g值偏大，可能的原因是______。 A．摆球的质量太大 B．测摆长时，仅测了线长，未加小球半径 C．测周期时，把n次全振动误记为(n＋1)次 D．摆球上端未固定牢固，振动中出现松动(摆长变长) C 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (3)某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，但又不可能去不同的地区做实验。该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上，使板倾斜α角度，让摆球在板的平面内做小角度摆动，如图甲所示。利用该装置可以验证单摆的周期和等效重力加速度的关系。若保持摆长不变，则实验中需要测量的物理量有____________________________________。若从实验中得到所测物理量数据的关系图线如图乙所示，则图像中的纵坐标表示 _____，横坐标表示____________。 甲　　　　　　　乙 板的倾角α和单摆振动的周期T T2 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)在题目列出的器材中，最合适的有：小铁球、100 cm长的细线以及秒表，故选ADG。 (2)根据T＝2π，可得g＝，可知摆球的质量对测量结果无影响，故A错误；测摆长时，仅测了线长，未加小球半径，这样测得的摆长偏小，则测得的重力加速度g值偏小，故B错误；测周期时，把n次全振动误记为(n＋1)次，则测得的周期偏小，则测得的重力加速度g值偏大，故C正确；摆球上端未固定牢固，振动中出现松动，摆长变长，这时测得的摆长偏短，则测得的重力加速度g值偏小，故D错误。 (3)此单摆的等效重力加速度为g′＝g sin α，则单摆的周期T＝2π，则保持摆长不变时，要测量的物理量是：板的倾角α和单摆振动的周期T。 将T＝2π变形为T2＝·，若从实验中得到所测物理量数据的关系图线如题图乙所示，则图像中的纵坐标表示T2，横坐标表示。 学习效果·随堂评估自测 1．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。 (1)甲组同学采用如图甲所示的实验装置。 甲　　　　　乙 丙 第一单元　伟大的复兴·中国革命传统作品研习 ①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用_______(用器材前的字母表示)。 a．长度接近1 m的细绳 b．长度为30 cm左右的细绳 c．直径为1.8 cm的塑料球 d．直径为1.8 cm的铁球 e．最小刻度为1 cm的米尺 f．最小刻度为1 mm的米尺 adf 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 ②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝ _______(用所测物理量表示)。 ③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值_______(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。 偏小 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v-t图线。 ①由图丙可知，该单摆的周期T＝______s。 ②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-L图线，并根据图线拟合得到方程＝4.04L。由此可以得出当地的重力加速度g＝______(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)。 2.0 9.76 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)①根据T＝2π得g＝，知需要测量摆长，即摆线长和小球的直径，摆线应选1 m左右的不可伸长的线，小球应选用质量大、体积小的金属球，测量摆线长的米尺的最小刻度应为1 mm，故选adf。 ②因为T＝，则g＝＝。 ③摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，则导致测得的重力加速度偏小。 (2)①由v-t图线可知，单摆的周期T＝2.0 s。 ②由T＝2π，得T2＝L 即图线的斜率k＝＝4.04 s2·m-1 解得g≈9.76 m/s2。 2．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 甲　　　　　　　乙 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为 (　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (2)如果实验中所得到的T2-L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的_____。 (3)由图像可知，小筒的深度h＝______m；当地重力加速度g＝_______m/s2。(取π＝3.14，后一空结果取3位有效数字) a 0.3 9.86 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)58个“半周期”，这段时间t含有29个周期，该单摆的周期为，选项A正确。 (2)设摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π得＝L＋h，可知T2-L关系图线为a。 (3)将T2＝0，L＝－30 cm代入上式可得 h＝30 cm＝0.3 m 将T2＝1.20 s2，L＝0代入上式可求得 g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。 3．用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。 (1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的 时间t，则重力加速度g＝_________(用l、n、t表示)。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (2)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。 组次 1 2 3 摆长l/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91   重力加速度g/(m·s-2) 9.74 9.73   请计算出第3组实验中的T＝_________s，g＝______m/s2(π取3.14)。 2.01 9.76 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (3)用多组实验数据作出T2-l图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2-l图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是______(填选项前的字母)。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 B 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (4)某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为0～30 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长。实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2。由此可得重力加速度g＝ _________(用l1、l2、T1、T2表示)。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)单摆的振动周期T＝ 根据T＝2π，得g＝＝。 (2)T3＝＝2.01 s 根据T＝2π， 得g＝≈9.76 m/s2。 (3)根据T＝2π，得T2＝l，即当l＝0时，T2＝0。出现图线a的原因是计算摆长时过短，可能是误将悬点O到小球上端的距离记为摆长，选项A错误；对于图线c，其斜率k变小了，根据k＝，可能是T变小了或l变大了，选项B中误将49次全振动记为50次，则周期T变小，选项B正确；由＝k得g＝，则图线c的斜率k变小，重力加速度g变大，选项C错误。 (4)设A点到铁锁重心的距离为l0。根据单摆的周期公式T＝2π，得T1＝2π，T2＝2π。联立以上两式，解得重力加速度g＝。 4．(创新应用)某小组在做“用单摆测定重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π ，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 甲　　 乙 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 (1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。 (2)Ic的国际单位为_________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。 (3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值_______(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。 T2r kg·m2 0.17 不变 必备知识 关键能力 学习效果 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [解析]　(1)由T＝2π，可得T2r＝r2，所以题图乙中纵轴表示T2r。 (2)Ic单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2； 结合T2r＝r2和题图乙中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.17。 (3)重力加速度g的测量值是通过求斜率得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。 $$