1.1.1 空间向量及其线性运算同步训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算（同步训练） 一、选择题 1.下列说法中正确的是(　　) A.任意两个空间向量都可以比较大小 B.方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小 C.空间向量的大小与方向有关 D.空间向量的模可以比较大小 2.空间向量，互为相反向量，已知||＝3，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B.＋为实数0 C.与方向相同 D.||＝3 3.在空间四边形ABCD中，下列表达式结果与相等的是(　　) A.＋ B.＋＋ C.－ D.＋－ 4.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.点P可能在直线AB上 D.以上都不对 5.给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量，满足||＝||，则＝；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量，，p满足＝，＝，则＝；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个．其中不正确的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 6.若空间向量与不共线，且＝＋，＝－，＝，则(　　) A.，，共线 B.与共线 C.与p共线 D.，，共面 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式：①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋．其中运算结果为向量的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 8.已知空间向量，，且＝＋2，＝－5＋6，＝7－2，则一定共线的三点是（ ） A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 9.(多选)在下列条件中，使点M与点A，B，C不一定共面的是(　　) A.＝3－2－ B.＋＋＋＝0 C.＋＋＝0 D.＝－＋ 二、填空题 10.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝t－3＋，若D，A，B，C四点共面，则t＝________ 11.下列命题是真命题的是______(填序号)． ①分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量一定不相等； ②若|＋|＝|－|，则||＝||； ③若向量，满足||＞||，且与同向，则＞． 12.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝－2＋＋λ确定的点M与点A，B，C共面，则λ＝_______ 13.已知三棱锥O－ABC，D是BC的中点，P是AD的中点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______，x＝______ 三、解答题 14.如图，已知OE是平行六面体OADB－CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心， 求证：点M在直线OE上． 15.如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上一点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：A，B两项，任意两个空间向量，不论同向还是不同向，均不存在大小关系，故A，B错误；C中，向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C错误；D中，由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．故选D． 2.D 解析：因为＝－且||＝3，所以||＝|－|＝3．故选D． 3.B 解析：对于A，＋＝；对于B，＋＋＝；对于C，－＝；对于D，＋－＝＋．故选B． 4.A 解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．因为，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即点P∈直线AB．故选A． 5.C 解析：两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①错误；若空间向量，满足||＝||，则不一定能判断出＝，故②错误；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确；在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，，，，，一共有5个，故⑤错误． 6.D 解析：由于(＋)＋(－)＝2，即＋＝2，故＝＋，又因为与不共线，所以，，共面． 7.A 解析：①(－)－＝－＝；②(＋)－＝＋＋＝＋＝；③(－)－＝－＝－＝≠；④(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠．因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式的运算结果不为向量．故选A． 8.A 解析：＝＋＋＝(＋2)＋(－5＋6)＋(7－2)＝3＋6，所以＝3．因为直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．故选A． 9.ABD 解析：对于选项C，因为＋＋＝0，所以＝－－，所以点M与点A，B，C必共面．其他选项均得不到点M与点A，B，C一定共面． 二、填空题 10.答案：3 解析：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则A，B，C，D四点共面等价于t－3＋1＝1，所以t＝3． 11.答案：① 解析：①中两个向量的方向一定不同，正确；②中只能说明以表示，的有向线段为邻边的四边形为矩形，但||与||不一定相等，错误；③中向量不能进行大小比较，错误． 12.答案：2 解析：点M与点A，B，C共面，则＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2． 13.答案：1， 解析：如图，＝(＋)＝＝＋＋＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝1，x＝． 三、解答题 14.证明：如图，连接AM并延长交BC于点H， 因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点，所以＝(＋)， 所以＝＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝＋－， 所以＝＋＝(＋＋)． 又因为＝＋＋＝＋＋， 所以＝，所以点M在直线OE上． 15.解：如图，连接BG． 因为＝－，＝，所以＝－． 因为＝＋，所以＝＋－＝－＋＋． 因为＝，所以＝，所以＝(－＋＋)＝－＋＋． 又因为＝－，所以＝－＋＋． 因为＝m，所以＝m＝－＋＋． 因为＝－＋＝－＋，所以＝＋＋． 又因为G，B，P，D四点共面，所以1－＝0，解得m＝，即m的值是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$