22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 掌握二次函数y=ax²+bx+c的图象特征（开口方向、对称轴、顶点、最值）。 2. 理解系数a、b、c对函数图象的影响。 3. 能通过配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，并分析性质。 4. 会利用图象和性质解决简单实际问题。 知识点梳理 1. 二次函数y=ax²+bx+c的图象特征 · 开口方向：由a决定，a>0时开口向上；a<0时开口向下。 · 对称轴：直线x=-b/(2a)，是函数图象的对称轴。 · 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))，是函数的最值点。 · 最值： · 当a>0时，函数在顶点处取得最小值，y最小=(4ac-b²)/(4a)。 · 当a<0时，函数在顶点处取得最大值，y最大=(4ac-b²)/(4a)。 2. 系数a、b、c的作用 · a：决定开口方向和开口大小（|a|越大，开口越窄）。 · b：与a共同决定对称轴位置（x=-b/(2a)）。 · c：决定图象与y轴的交点（0, c）。 3. 配方法化顶点式 通过配方将y=ax²+bx+c转化为y=a(x-h)²+k的形式，其中顶点为(h, k)。 4. 实际应用 · 求最大利润、最优路径等最值问题。 · 分析抛物线的对称性和变化趋势。 易错点提醒 1. 混淆a的符号：误认为a>0开口向下或a<0开口向上。 2. 顶点坐标计算错误：漏掉负号或分母计算错误。 3. 对称轴公式记错：写成x=b/(2a)或x=-b/a。 4. 最值判断错误：忽略a的符号对最值的影响。 5. 配方法错误：配方时漏项或符号错误。 6. 忽略实际问题限制：如自变量取值范围导致最值不在顶点处。 知识点小结 · 核心性质：二次函数y=ax²+bx+c的图象是抛物线，其开口方向、对称轴、顶点和最值由a、b、c决定。 · 关键公式： · 对称轴：x=-b/(2a) · 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) · 数学思想：数形结合（通过图象分析性质）、转化思想（配方法化顶点式）。 · 应用要点： · 先确定a、b、c的值，再分析图象特征。 · 实际问题需结合定义域分析最值。 · 注意事项： · 使用公式前确保函数是二次函数（a≠0）。 · 画图象时注意对称性和关键点（顶点、与y轴交点）。 注：本节是二次函数的核心内容，重点掌握图象与系数的关系，为后续学习二次函数与方程、不等式奠定基础。 巩固练习 一、选择题 1．已知二次函数的解析式为，则图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（　　） A． B． C．4 D．16 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　) A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 4．抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法中正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x=-1 C．当x≥1时，y随x的增大而减小 D．当x≤1时，y随x的增大而减小 6．如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动.过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，则对角线的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．将二次函数转化为的形式，结果为（　　） A． B． C． D． 8．抛物线经过点，则a的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线 经过点 ，则 的值为　 　． 10．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于　 　． 11．将抛物线y＝-2x2+4x-6先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为　 　. 12． （1）函数y=(x-2)2-7图象的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，开口　 　，顶点是抛物线的最　 　点． （2）函数y=-x2+4x-3图象的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，开口　 　，顶点是拋物线的最　 　点． 13．二次函数，当时，则函数值的取值范围为　 　． 14．若a，b，c是实数，点A(a+1，6)，B(a+2，c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b，c的大小关系是b　 　c．(填“>”或“<”) 15．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　. 16．已知点、、为抛物线上的点，则　 　． 三、解答题 17．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B（1，﹣3）． （1）求该二次函数解析式． （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围． 18．已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程对应的二次函数为．当时，写出该函数图象的三条性质． 19．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知，当时，的取值范围是求，的值； （3）在的条件下，是否存在实数，使得当时，的取值范围是若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 20．已知抛物线． （1）直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围； （3）若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．D 8．A 9．-4 10．2 11．（2，-1） 12．（1）直线x=2；(2，-7)；向上；低 （2）直线x=2；(2，1)；向下；高 13． 14．< 15．-4 16．3 17．（1）解：由题意可知二次函数，代入点得，，解得. 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为-3， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是. 18．（1）证明：∵a=，b=m，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=m2-4××（-1）=m2+2， ∵m2≥0， ∴Δ=m2+2＞0， ∴无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根. （2）解：当m=1时，二次函数表达式为y=+x-1， ∴a=，b=1，c=-1， ①∵a=＞0，∴该函数图象开口向上， ②该函数图象的对称轴是直线x==-1， 当x＜-1时，y随着x的增大而减小， 当x＞-1时，y随着x的增大而增大， ③当x=0时，y=-1，∴该函数图象与y轴的交点是（0，-1）， （答案不唯一） 19．（1）解：抛物线为， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为：直线． （2）抛物线的对称轴为直线， ，即． ， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值． 即 ． 联立，解得，． 抛物线的表达式为，即． ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为直线， 与时的函数值相等． ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值． 代入有， 得或舍去， 故，． （3）解：存在，． 20．（1） （2）或 （3）解：存在，；∵， ∴二次函数图象开口向下， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当，且时，即，此时； 当，且时，无解； 综上，时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$