第 1 讲一元二次方程的认识和解法　讲义　2025-2026学年人教版九年级数学上册

一元二次方程的定义和方程的解法 【知识详解一】一元二次方程的定义 一、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 【批注】判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，这里的整理是指去括号、移项、合并同类项等，然后观察整理后的方程是否具备以下三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 【典例分析】 【例1】下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1. 下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2. 在下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【变式训练】 1. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 2. 若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　　． 3. 方程m 1 xm2 1 m 3 x 1 0 ； （1）m 取何值时是一元二次方程； （2）m 取何值时是一元一次方程． 【例3】方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】 1. 把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 2．把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【例4】若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 2．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 4. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 6. 如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【知识详解二】一元二次方程的解法 1. 解一元二次方程的基本思想：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元二次方程. 2. 方法一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法. 用直接开平方法解形如 x 2 mm 0, 其解为：x m ※对于x a2 m ， ax m2 bx n2 等形式均适用直接开方法. 【典例分析】 【例1】下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【例2】解方程：(1)； （2）25x2﹣36＝0 【变式训练】 1. 若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 2．一元二次方程的解为：（　　） A． B． C． D．无实数解 3. 用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 4.已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 5. 已知方程，则 ． 【知识详解二】一元二次方程的解法 方法二、配方法基本步骤 : （1）先将常数 c 移到方程右边 （2）将二次项系数化为1 （3）方程两边分别加上一次项系数的一半的平方 （4）方程左边成为一个完全平方式. ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或最值之类的问题. 【典例分析】 【例1】用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】用配方法解方程：(1) 【变式训练】 1.一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 2. 在解方程时，对方程进行配方，图①中是嘉嘉做的，图②中是琪琪做的．对于两人的做法，下列说法正确的是（   ） ． 图① ． 图② A．两人都正确 B．嘉嘉正确，琪琪不正确 C．嘉嘉不正确，琪琪正确 D．两人都不正确 3. 一元二次方程配方，得，则是 ． 4．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 5. 若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 6. 不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 7.解方程 (1)（配方法） (2) （3）； 方法三、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式,就可得到方程的根. 【典例分析】 【例1】下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 【例2】解方程 【变式训练】 1.下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 2. 用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3) 3.已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 方法四、因式分解法: 把方程变形为一般形式，把左边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元 一次方程所得到的根， 就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 x x1 x x2 0 x x1或x x2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如ax m2 bx n2 ，x ax b x ax c ※分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法. 【典例分析】 【例1】用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1. 方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2.．一元二次方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 3. 方程的解是 ． 4. 解方程：（1）． (2)； (3)． 5.用合适的方法解下列方程 (1)； (2)． （3） ． (4)； (5)． （6） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程的定义和方程的解法 【知识详解一】一元二次方程的定义 一、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 【批注】判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，这里的整理是指去括号、移项、合并同类项等，然后观察整理后的方程是否具备以下三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 【典例分析】 【例1】下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（ B  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1. 下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（  A ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2. 在下列方程中，是一元二次方程的是（  A ） A． B． C． D． 【例2】已知是一元二次方程，则的值为（  C  ） A．2 B．1 C． D．1或 【变式训练】 1. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ A  ） A． B．0 C．1 D．1或 2. 若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　2　． 3. 方程m 1 xm2 1 m 3 x 1 0 ； （1）m 取何值时是一元二次方程； （2）m 取何值时是一元一次方程． （1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， 【例3】方程化为一般形式后，a，b，c的值为（ C  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】 1. 把一元二次方程化成一般式为（ D  ） A． B． C． D． 2．把方程化为一般形式后是（ C  ） A． B． C． D． 【例4】若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ B  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ A ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 2．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（  C  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．若是方程的一个根，则的值为（　A　） A． B． C． D． 4. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（  C  ） A． B． C． D． 5．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ D  ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 6. 如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 1999 ． 【知识详解二】一元二次方程的解法 1. 解一元二次方程的基本思想：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元二次方程. 2. 方法一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法. 用直接开平方法解形如 x 2 mm 0, 其解为：x m ※对于x a2 m ， ax m2 bx n2 等形式均适用直接开方法. 【典例分析】 【例1】下列方程中，有两个相等实数根的是（ B  ） A． B． C． D． 【例2】解方程：(1)； （2）25x2﹣36＝0 解：原方程化为， 解：原方程化为25 开方，得， = ∴，． =± 【变式训练】 1. 若关于x的方程的根为b，则的值为（  D  ） A．5 B． C．4或 D．5或 2．一元二次方程的解为：（　B　） A． B． C． D．无实数解 3. 用直接开方法解方程． (1)； (2)； 解：， 解：， 方程变形得：， 开方得：， 开方得：或， 解得：，； (3)； (4)． 解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； 4.已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 18 ． 5. 已知方程，则 4 ． 【知识详解二】一元二次方程的解法 方法二、配方法基本步骤 : （1）先将常数 c 移到方程右边 （2）将二次项系数化为1 （3）方程两边分别加上一次项系数的一半的平方 （4）方程左边成为一个完全平方式. ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或最值之类的问题. 【典例分析】 【例1】用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程是（ C  ） A． B． C． D． 【例2】用配方法解方程：(1) 解：原方程化为， 配方，得， 即， 开方，得， ∴， 【变式训练】 1.一元二次方程配方后可变形为（ A  ） A． B． C． D． 2. 在解方程时，对方程进行配方，图①中是嘉嘉做的，图②中是琪琪做的．对于两人的做法，下列说法正确的是（ A  ） ． 图① ． 图② A．两人都正确 B．嘉嘉正确，琪琪不正确 C．嘉嘉不正确，琪琪正确 D．两人都不正确 3. 一元二次方程配方，得，则是 9 ． 4．把一元二次方程化成的形式，则的值为 8 ． 5. 若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 6. 不论、为何实数，代数式的值（ B  ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 7.解方程 (1)（配方法） (2) （3）； 解： 移项，得， 配方，得， ∴ 解得，； 解：， ， ， ， ， ， 方法三、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式,就可得到方程的根. 【典例分析】 【例1】下列方程中，最适合用公式法求解的是（  C ） A． B． C． D． 【例2】解方程 ， ， ， ，． 【变式训练】 1.下列一元二次方程的根是的是（ D  ） A． B． C． D． 2. 用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3) 解： 解： ∴ 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ， 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 3.已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 1）解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为． 方法四、因式分解法: 把方程变形为一般形式，把左边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元 一次方程所得到的根， 就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 x x1 x x2 0 x x1或x x2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如ax m2 bx n2 ，x ax b x ax c ※分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法. 【典例分析】 【例1】用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（  C  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1. 方程的解是（  C  ） A． B． C．， D．， 2.．一元二次方程的根是（  C ） A．， B．， C．， D．， 3. 方程的解是 , ． 4. 解方程：（1）． (2)； (3)． 解： ∴， ∴， ∴或， 解得：． 解： 或 ∴． 解：将方程整理可得：， ∴， ∴或， ∴，． 5.用合适的方法解下列方程 (1)； (2)． （3） ． 解：， ， ， ， 则或， ∴，． 解：， ， 则或， 解得：，； 解：， ， 则或， 解得：，； (4)； (5)． （6） 解：∵, ∴ ∴ 解得，． 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$