4.1 函数 课件+教案+导学案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.1　函数 1.借助简单实例了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，发展学生的数感和量感. 2.通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系，形成自己对数学知识的理解，学会发现问题、提出问题. 3.掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题，养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯. 重点：掌握函数的概念及表示方法. 难点：会求函数的值，并确定自变量的取值范围. 知识链接 自变量的概念是什么 创设情境——见配套课件 　　在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图. 从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？ 探究点：函数的概念及表示方法 1.由【创设情境】中的问题，课件显示教材P75图4－1及图下表格，要求学生完成表格，让学生观察，分组讨论完成 2.课件显示教材P75“操作·思考”第1题，要求学生完成表格 3.课件显示教材P76“操作·思考”第2题，要求学生直接计算并回答 思考：（1）以上变化过程中有几个变量？ （2）给定其中一个变量的值能否确定另一个变量的值？ （1）2个.　（2）能. 总结：（1）函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量； （2）函数的表示方法：列表法、关系式法和图象法； （3）对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 下列关系式中哪些是y关于x的函数，哪些不是？ （1）y＝x；（2）y＝x2＋z；（3）y2＝x；（4）y＝±. 【答案见课件】 （1）圆的周长公式C＝2πR中，有　2　个变量，是　C　和　R　； （2）汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时30km，则汽车行驶的路程s（km）与行驶的时间t（h）之间的关系式为　s＝30t　； （3）圆的面积S与半径R的函数关系式为　S＝πR2　； （4）某30层的大厦底层高4m，以上每层高3m，从底层数起，则前n层的高度h（m）与n的函数关系式为　h＝3n＋1　. 【针对训练】 大家知道：“距离地面越远，温度越低”.小明查阅资料得到下面表格中的对应数据： 距离地面高度h/km 0 1 2 3 4 5 … 温度T/℃ 20 14 8 2 －4 －10 … 根据表中数据，请你帮助小明解决下列问题： （1）根据表格中的数据发现：距离地面高度每升高1km，温度就降低　　　　℃，进而猜想：温度T与距离地面高度h之间的函数关系式为　　　　. （2）当h＝10km时，温度T是多少？ （3）当T＝－28℃时，距离地面的高度h是多少？【答案见课件】 1.下列图象中，表示y是x的函数的是（　B　） 2.若一支铅笔2元，小敏用11元钱买了x支铅笔，则余款y与x之间的关系式为（　C　） A.y＝2x B.y＝2x＋11 C.y＝11－2x D.y＝11x－2 3.在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（　B　） 4.已知函数f（x）＝，则f（）＝　　. 5.观察下表，y与x的关系式为　y＝2x　. x 1 2 3 4 5 … y 2 4 6 8 10 … （其他课堂拓展题，见配套PPT） 函数 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$4.1 函数 1.借助简单实例了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，发展数感和量感。(重点) 2.通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系，形成对数学知识的理解，学会发现问题、提出问题。 3.掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题，养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯。(难点) 素养目标 水面高度 水量 石子数量 乌鸦能喝到水，是因为什么量发生了改变呢？ 水面高度和石子数量。石子数量改变使得水面高度改变，而水量固定不变。 情境导入 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 情景一 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 下图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系. t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … (1) 根据左图填表： (2) 对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？ 14 36 47 36 3 14 返回 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 对于给定任一层数 n，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？ 层数 n 物体总数 y 唯一一个 y 值 情景二 返回 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0. (1) 当 t 分别等于 -43℃，-27℃，0℃，18℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？ (2) 给定任一个大于 -273 ℃ 的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度 T 确定吗？有几个 T 值和它对应？ 情景三 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 解：当 t＝-43 ℃ 时，T＝ -43＋273＝230 (K)； 数量关系：T＝t + 273，T≥0. 当 t＝-27 ℃ 时，T＝ -27＋273＝246 (K)； 当 t＝0 ℃ 时，T＝0＋273＝273 (K)； 当 t＝18 ℃ 时，T＝18＋273＝291 (K). (1) 当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？ (2) 给定一个大于 -273 ℃的 t 值，你都能求出相应的 T 值吗？ 解：能. 因为 t＞-273 时，T＞0，满足条件且 T 是唯一确定. 返回 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数 n、物体总数 y； ③摄氏温度 t 、热力学温度 T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。 函数 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 表示函数 的一般方法 列表法 图象法 关系式法(表达式法) 情景一 情景二 情景三 ↑ 点击查看 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 例1 下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是? (1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ± . 解析：① 当 x = 1 时， y = 1；当 x = 2 时， y = 2 ...... 对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；同理 ②。 ③当 x = 1 时， y2 = 1，y = ±1 . ④当 x = 1 时， y = ±1。 对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 例2 (1) 圆的周长公式 C = 2πR 中，有______个变量，是______和________； (2) 汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时 30 km，则汽车行驶的路程 s (km)与行驶的时间 t ( h ) 之间的关系式为________； (3) 圆的面积 S 与半径 R 的函数关系式为__________； (4) 某 30 层的大厦底层高 4 m，以上每层高 3 m，从底层数起，则前 n 层的高度 h (m) 与 n 的函数关系式为___________. 2 C R s = 30t S = πR2 h = 3n + 1 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 情景一 自变量 t 的取值范围:__________ t≥0 新知探究 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数 y 情景二 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 自变量 n 的取值范围：_________. n 取正整数 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0. 情景三 自变量 t 的取值范围：___________. t≥-273 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。 即：如果 y 是 x 的函数， 当 x = a 时，y = b， 那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。 函数值 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 例3 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。 （1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。 解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x 油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？ 0.1x 表示的意义是什么？ 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 (2) 由 x≥0 及 50－0.1x≥0　 得　0≤x≤500， ∴自变量的取值范围是 0≤x≤500。 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义。 总结 (2) 指出自变量 x 的取值范围； 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？ (3) 当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30。 因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L。 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的________，变量 y 都有 与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是______ 如果 y 是 x 的函数，当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为_____时的_______ 函数 每一个值 唯一的值 函数 自变量 a 函数值 新知探究 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是(　B　) B 2. 若一支铅笔 2 元，小敏用 11 元钱买了x支铅笔，余款为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式为(　C　) A. y＝2x B. y＝2x＋11 C. y＝11－2x D. y＝11x－2 C 当堂反馈 3. 函数y＝3－ 中，自变量x可取的值是(　A) A. 5 B. 3 C. 0 D. －5 A 4. 在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程 中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致 是(　B　) B 当堂反馈 6. 观察下表，y与x的关系式为 ⁠. 5. 已知变量s与t的函数关系式是s＝3t＋2t2，则当 t＝－1时，函数值s＝ ⁠. x 1 2 3 4 5 … y 2 4 6 8 10 … －1　 y＝2x　 当堂反馈 $$ 第4章 一次函数 4.1 函数 【素养目标】 1. 借助简单实例了解函数的概念,弄清自变量与函数之间的关系,发展数感和量感。(重点) 2. 通过函数的定义,能判断两个变量是否具有函数关系, 形成对数学知识的理解,学会发现问题、提出问题。 3. 掌握函数的定义,能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题,养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯。(难点) 【情境导入】 乌鸦能喝到水, 是因为什么量发生了改变呢? 【合作探究】 探究点一、函数的概念及表示方法 情景一：如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的? 下图反映了摩天轮上的一点的高度 与旋转时间 之间的关系. (1) 根据右图填表: t /分 0 1 2 3 4 5 ... /米 ... (2) 对于给定的时间 , 相应的高度确定吗? 情景二：对于给定任一层数 ,相应的物体总数 确定吗? 有几个 值和它对应? 填写下表: 层数 1 2 3 4 5 ... 物体总数 ... 情景三：一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到 -273℃,则气体的压强为零. 因此,物理学把 作为热力学温度的零度. 热力学温度 与摄氏温度 之间有如下数量关系: . (1) 当 分别等于 时,相应的热力学温度 是多少? (2) 给定任一个大于 的摄氏温度 值,相应的热力学温度 确定吗? 有几个 值和它对应? 上面的三个问题中,有什么共同特点? ① 时间 、相应的高度 ； ② 层数 、物体总数 ； ③ 摄氏温度 、热力学温度 . 【函数的概念】 一般地,如果在一个变化过程中有两个变量 和 ,并且对于变量 的每一个值,变量 都有唯一的值与它对应,那么我们称 是 的函数,其中 是自变量。 注意: 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 函数的常见表示方法： 表示函数的一般方法 例1 下列关系式中哪些是 关于 的函数,哪些不是? (1) . 例2 (1) 圆的周长公式 中,有________个变量, 是____和____； (2) 汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时 ,则汽车行驶的路程 与行驶的时间 之间的关系式为______________ ； (3) 圆的面积 与半径 的函数关系式为 ___________； (4) 某 30 层的大厦底层高 4 m ,以上每层高 3 m ,从底层数起,则前 层的高度 与 的函数关系式为___________. 探究点二: 函数的自变量的取值范围与函数值 问题: 上述的三个问题中, 要使函数有意义, 自变量能取哪些值? 情景一 自变量 的取值范围: _____________. 情景二: 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放. 随着层数的增加,物体的总数是如何变化的? 自变量 的取值范围: __________________. 情景三:一定质量的气体在体积不变时, 假若温度降低到 -273℃,则气体的压强为零. 因此,物理学把 -273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 与摄氏温度 之间有如下数量关系: . 自变量 的取值范围:__________________. 函数值的概念 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a ，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。即：如果 y 是 x 的函数， 当 x = a 时，y = b，那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。 例3 汽车的油箱中有汽油 ,如果不再加油,那么油箱中的油量 (单位: ) 随行驶里程 (单位: ) 的增加而减少,平均耗油量为 。 (1) 写出表示 与 的函数关系的式子。 (2) 指出自变量 的取值范围; (3) 汽车行驶 时,油箱中还有多少油？ 当堂反馈 1. 下列图象中,表示 是 的函数的是 ( ) 2. 若一支铅笔 2 元,小敏用 11 元钱买了 支铅笔,余款为 元,则 与 之间的关系式为 ( ) A. B. C. D. 3. 函数 中,自变量 可取的值是 ( ) A. 5 B. 3 C. 0 D. -5 4. 在一个标准大气压下,能反映水在均匀加热过程中,水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是 ( ) 5. 已知变量 与 的函数关系式是 ,则当时,函数值 . 6. 观察下表, 与 的关系式为_______________. 1 2 3 4 5 ... 2 4 6 8 10 ... 参考答案 情境导入 水面高度和石子数量。石子数量改变使得水面高度改变,而水量固定不变。 探究点一: 函数的概念及表示方法 情景一 t/分 0 1 2 3 4 5 ... h /米 3 14 36 47 36 14 ... 情景二 层数 1 2 3 4 5 ... 物体总数 1 3 6 10 15 ... 情景三 (1) 解: 当 时, ; 当 时, ； 当 时, ； 当 时, . (2) 解:能. 因为 时, ,满足条件且 是唯一确定. 共同特点: 都有两个变量, 给定其中某一个变量的值, 相应地就确定了另一个变量的值. 例1 解: ① 当 时, ；当 时, ……，对于 的每一个确定的值, 都有唯一确定的值与它对应,则 是 的函数；同理 ②。 ③当 时, . ④当 时, 。 对于 的每一个确定的值, 不唯一,则 不是 的函数。 例2 (1) 2 ， ， R； (2) ；(3) ； (4) . 问题: 情景一 自变量 的取值范围: 情景二：自变量 的取值范围: 取正整数. 情景三: . 例3 (1)解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x (2) 由 及 得 , 自变量的取值范围是 。 (3) 当 时,函数 的值为。 因此,当汽车行驶 时,油箱中还有油 。 当堂反馈 1. B 2. C. 3. A. 4. B 5. . 6. . 学科网（北京）股份有限公司 $$