7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1.1数系的扩充和复数的概念 学校：祁阳市第二中学 学科：数学 授课人：邓文韬 年级：高一 回顾数系的扩充过程 社会科技随着生活和生产实践的需要不断发展，数的发展也是一样. 为了解决边长为1的正方形的对角线长度的问题，古希腊毕达哥拉斯学派发现了“无理数”，成为数学发展史上的一个里程碑. ? 1 复习回顾 ①自然数是“数”出来的. ②负数是“欠”出来的. ③分数（有理数）是“分”出来的. ④无理数是“推”出来的. 你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？ （1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解； （2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解； （3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解. 从数学发展的角度来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解； （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 新知讲解 数系的扩充 我们引入一个新数，使得是方程的解.那么 叫做虚数单位. 新知讲解—虚数单位 1545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字--虚数，1777年瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”并用i ( imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位。直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。 历史再现 参考实数平方根的定义，应有 思考 新引进的数i添加到实数集中，我们如何定义运算可以使得数i和实数之间的运算能满足实数运算的运算律？实数系在此基础上扩充之后，得到的新数系由哪些数组成呢？ ①把实数与相乘，结果记作 ②把实数与相加，结果记作 这样一来，所有实数以及都可以写成（）的形式，从而所有的数都在扩充后的新数集中. 新知讲解—虚数单位 我们把形如的数叫做复数. 复数通常用字母表示，即 是复数的实部，是复数的虚部. 课本第70页练习1. 说出下列复数的实部和虚部： ，，，，0 实部和虚部都是实数！ 新知讲解—复数的概念 全体复数所构成的集合C={a+bi | a,b∈R}叫做复数集. 练习2.若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为 新知讲解—复数的分类 观察上面的复数，根据实部和虚部的情况，你能否对复数进行归类？复数集和实数集之间有什么关系？你能用图表示上述关系吗？ 复数z=a+bi (a,b∈R)什么时候是实数，什么时候是虚数、什么时候是纯虚数？ 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数 实数 虚数 纯虚数 复数 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 实数 有理数 无理数 整数 分数 负整数 自然数 零 正整数 虚数 复数 实数集 复数集 扩充 课本第70页练习2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？ ，3 新知讲解 实数 实数 实数 纯虚数 纯虚数 纯虚数 虚数 虚数 虚数 例2.当实数何值时，复数是下列数？ （1）实数；（2）虚数； （3）纯虚数. 例1.已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（ ） A. B.3 C. D.1 典例分析 训练1.若是纯虚数，则（ ） A.y＝3 B.y＝3或y＝0 C.y≠0 D.y≠3 学以致用 新知讲解—复数相等 问题 ：两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 当两个复数都是实数时，可以比较大小， 当两个复数不全是实数时，只有相等或不相等的关系，不能比较大小. 追问： 如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 即：a + bi = c + di ⇔ a = c且b = d. 特别地 我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！ 例3.课本第70页练习3. 求满足下列条件的实数的值. （1） （2） 典例分析—复数相等 （1） （2） 由题意得，两个复数都是实数. 因为x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i， 解得y=-1且x<1-或x>1+，即实数x，y的取值范围为x<1-x>1+，y=-1. 所以 训练3.已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+3+(y2-1)i.求实数x，y的取值范围. 随堂演练 随堂演练 随堂演练 【解析】 (1)当m2－2m－15=0时，即m＝5或m＝－3时，复数 z 是实数； (2)当m2－2m－15≠0时，即m≠－3且m≠5时，复数 z 是虚数； (3)当m2－2m－15≠0且m2＋5m＋6=0时，即m=-2时，复数 z 是纯虚数； (4)当m2－2m－15=0且m2＋5m＋6=0时，即m=-3时，复数 z = 0. 【练习3】实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数；(4) 是0？ 课堂小结 数系的 扩充 复数集 复数的基本概念 复数的分类 两个复数相等的含义 Lavf58.12.100 (1)当即m＝2时，复数z是实数. (2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数. (3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数. 训练2 若复数z＝ 为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．1 B．0 C．－ D．－1 【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则 ＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi， ∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念. 【练习1】 是虚数单位， ， ，则 是 为纯虚数的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、判断命题的必要不充分条件 【分析】复数 是纯虚数，则 ，利用直接法进行判断即可得解. 【详解】复数 是纯虚数，则 ， “ ”是“复数 是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B. 【答案】D 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的知识列方程组，由此求得 ，进而求得 . 【详解】由于 ， 所以 . 故选：D 【练习2】已知 ， 为虚数单位，且 ，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 $$