第二十四章 一元二次方程（复习讲义）数学冀教版九年级上册

第二十四章 一元二次方程（复习讲义） ①掌握一元二次方程的相关概念，学会表示一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的解； ②掌握一元二次方程的解法，学会运用不同的方法计算一元二次方程；理解并掌握一元二次方程配方法的应用；学会运用换元法解决一元二次方程中的整体代入型计算； ③掌握一元二次方程根与系数的关系，学会运用根与系数的关系求字母系数； ④掌握一元二次方程的实际应用，根据题意列出等量关系； 知识点 重点归纳 常见易错点 一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式 二、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0） 解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 解一元二次方程-配方法 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； 解一元二次方程-公式法 把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 一元二次方程的应用 列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 找不到等量关系 题型一 一元二次方程的相关概念 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键． 由题意设这个一元二次方程为：，由一元二次方程的解可得，可得进而得出答案． 【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：， 代入得，， 即， 可取， ∴这个一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 4．判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 题型二 一元二次方程的一般式 5．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 7．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 8．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 题型三 一元二次方程的求参问题 9．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【详解】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 10．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型四 一元二次方程的估算 13．观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∵原方程为， ∴一元二次方程的一个解在范围内， ∴一元二次方程的一个近似解可以是， 故选：C． 14．根据下列表格中的对应值，判断方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个根x的范围是； 故选：C． 15．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 16．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 题型五 解一元二次方程 17．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解； （2）、（3）利用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边同加上4，得， 即， 开平方，得， 解得：，； （2）， 方程左边因式分解，得， 所以或， 解得：，； （3）， 移项，得， 方程左边因式分解，得， 所以或， 解得：，． 18．求未知数． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了平方根的概念和一元二次方程的解法．熟练掌握平方根的概念和一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先通过移项、合并同类项简化，得到，再利用平方根的性质，即若，则，将方程转化为，进而求解； （2）先移项得到，利用平方根性质，因是完全平方数，可得，从而求解． 【详解】（1）解： ，． （2）解： ，． 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据配方法进行求解方程即可； （2）根据公式法进行求解方程即可； （4）根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解:， 两边同加上4，得， ， ， ，； （3）解： ，，， ， ， ，； （4）解：， 移项，得， ， ， 或， ，． 题型六 配方法的应用 21．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 22．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A．18 B．20 C．19 D．17 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟知配方法是解题的关键．通过配方法将方程转化为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 24．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 25．已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 26．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 27．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 28．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用公式法解方程得到，，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得： 方程总有两个实数根； （2）解： ， 方程有一个根是正数， ． 题型八 换元法解一元二次方程 29．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 30．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 31．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 32．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 33．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【详解】（1）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． （2）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 34．关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 【答案】(1) (2)，另一个根为 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）把方程的一个根为代入求出m，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为． 36．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到，由于，于是可求出k的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； （2）根据根与系数的关系得， ， ， 解得， ， 符合题意， 原方程化为， 解得，． 题型十 传播问题 37．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了14人． 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用．患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，再解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 依题意得， 即， 解得：或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14人． 38．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 39．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 40．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 题型十一 增长率问题 41．随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率． 【答案】该市参加健身运动人数的年均增长率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的30万人增加到2024年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． 42．某公司前年的盈利为100万元，去年和今年的盈利连续两年保持相同的增长率．已知今年盈利比去年多11万元，求该公司去年盈利的增长率． 【答案】该公司去年盈利的增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该公司去年盈利的增长率为，根据今年盈利比去年多11万元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该公司去年盈利的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：该公司去年盈利的增长率为． 43．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． （2）解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 44．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 题型十二 图形问题 45．小明现有一块面积为的正方形纸板，他准备用这块纸板自制一个书架装饰品，他设计了如下的两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板，且其长宽之比为． 小明设计的两种方案是否可行？若可行，说明如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，方案二不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—几何图形的面积问题，根据题意正确列出方程是解题的关键．方案一通过比较面积和边长可行性——正方形边长，裁长方形需一边（，可行）；方案二需结合长宽比计算具体尺寸——设长、宽，由面积得，则长，超出正方形范围，故不可行。 【详解】解：方案一：， ， 以正方形一边为长（），沿垂直方向裁出宽 的长方形，方案一可行． 方案二：不能 理由：长方形纸板的长宽之比为 设长方形的纸板的长为，则宽为． 根据题意，得， 解得，（舍去）． 长方形纸板的长为． ， ，即长方形的纸片大于正方形边长， 方案二不可行． 46．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)米 (2)能；15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 47．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． (1)大正方形纸片的边长为____； (2)若另找一个与此大正方形大小一样的正方形纸片，并沿其大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1)8 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查正方形和长方形的面积公式、求一个数的算术平方根、无理数的估算，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积公式和无理数的估算得到,进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， 大正方形的边长是 故答案为：8． （2）解：不能，理由为： 设长方形纸片的长为，宽为， 由题可列： 解得：，（舍） 大正方形的边长为， ， 答：沿此大正方形边的方向裁剪不能裁剪出长方形纸片的长、宽之比为，且面积为． 48．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：，不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 题型十三 营销问题 49．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 50．某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【答案】(1)4000元 (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）利用总收入销售单价销售数量，即可求出结论； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， 答：该农户这一天销售的总收入为4000元； （2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得： ， ， ， ， 解得或． 当时，销售量为； 当时，销售量为， 因为要扩大销售，， 故． 答：在县城内销售单价应该降价3元． 51．某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． (1)经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； (2)天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 【答案】(1)该服装销售量的月平均增长率为 (2)商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该服装销售量的月平均增长率为x，根据7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设商家将每件服装降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元，根据题意可知销量增加，由此表示出利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该服装销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该服装销售量的月平均增长率为． （2）设商家将服装每件降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元， 由题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润． 52．问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】任务1：销售量的月增长率为；任务2：该品牌的头盔每个应涨价10元 【分析】任务1：根据四月份销售量以及月增长率相同的条件，设出月增长率，利用增长后的量增长前的量（n为增长次数）来列方程求解； 任务2：根据每个头盔的盈利和销售量的关系，设出涨价金额，根据利润 单个利润销售量列出方程，再结合让顾客得到实惠的条件确定涨价金额． 【详解】解：任务1：设头盔销售量的月增长率为x，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 销售量的月增长率为；. 任务2：设头盔每个涨价m元，根据题意得： 整理得 解得， (不符合题意，舍去) 答：该品牌的头盔每个应涨价10元。 【点睛】本题考查了平均增长率计算、一元二次方程的应用等知识点．解题的关键在于能够正确地建立数学模型，即通过设未知数、利用给定条件列出方程，并准确求解方程，同时结合实际背景做出合理的判断与选择． 题型十四 行程问题 53．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 54．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 55．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 56．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 题型十五 动态几何问题 57．如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意分在的左侧和右侧，分类讨论，分别画出图形，设，根据的面积是10，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在矩形中，，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 当在点的左侧时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 如图，当在点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 当点在的右侧时，不合题意； 综上所述，或, 故答案为：2或． 58．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程． 设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，， 根据题意，可得：， 即， 解得：，， ∴经过或，的面积等于， 故答案为：2或4． 59．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 60．如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 题型十六 一元二次方程的新定义问题 61．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 62．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 63．定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 64．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 基础巩固通关测 1．（2025·广东珠海·二模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）方程解的个数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及绝对值方程的求解，需要根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，将方程转化为一元二次方程来求解，然后判断根的个数． 【详解】解：①当时， 此时，原方程可化为， ∵，，， ∴由求根公式， 解得：或， ∵， ∴； ②当时， 此时，原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 综上，方程有两个根和． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 【答案】A 【分析】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得， ， ， ， ，（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染6人， 则三轮传染后得流感的人数为（人）． 故选：A． 5．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．由一元二次方程的根为得，化简得，整体代入计算，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，先整理得，结合，则，进行解出k的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 解得 故选：D 7．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 8．（2025·浙江杭州·一模）已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（    ） A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的两根为，，可得，根据可得：；一元二次方程的两根为，，可得：，，从而可得：，根据平方的非负性可知的最小值为. 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ， ， ， ； 故是真命题； 一元二次方程的两根为，， ，， ，，， ，， ， 的最小值是， 故②是假命题． 故选：A． 9．（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了 元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来单价的，第二次降价后的单价是原来单价的，根据题意列方程求得；再计算经过三次降价后每瓶零售价，据此求解即可． 【详解】解：根据题意可列方程： ， 解得或（舍去）， 经过三次降价后每瓶零售价为， ， 经过三次降价后，顾客一共节省了元． 故答案为：；． 11．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）若一元二次方程的两个根为，，则的值是 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．将变形为，然后直接运用根与系数的关系解答即可． 【详解】解： ∵一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴ ， 故答案为：7． 12．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知是方程的两个根，那么= ， ， ， 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得出，，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，，，． 13．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且； 故答案为：且． 14．（2025·河北邢台·模拟预测）和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，数轴上两点的距离，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据元二次方程根与系数的关系得出，，则，．再根据点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，得出，求解即可得，从而求得，然后由求解即可． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ，． 由题意知，则， 解得． ， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 16．（2025·河北唐山·一模）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解 解： ………第一步 ………第二步 ………第三步 习题2：因式分解 解： ………第一步 ………第二步 ………第三步 (1)从中任选一题，写出此题从第几步开始出现错误，并写出它的正确解答过程； (2)若习题1和习题2中的两个代数式的值相等，求出x的值． 【答案】(1)习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误，解答过程见解析 (2)或 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式进行解答； （2）列出方程，通过因式分解进行计算即可． 【详解】（1）解：习题1：从第二步开始错误；正确的解答过程为： ； 习题2：从第一步开始错误；正确的解答过程为： ； （2）解：由题意得： ∴或． 解得：或． 17．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，小张该怎么剪？ (2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)小张应将40cm的铁丝剪成和两段，并将每一段围成一个正方形 (2)他的说法对，见解析 【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可； （2）利用正方形的性质表示出边长进而得出方程，进而利用根的判别式求出即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为． ∴， 即． ∴，． ∴小张应将40cm的铁丝剪成和两段，并将每一段围成一个正方形． （2）他的说法对． 假定两个正方形的面积之和能等于． 根据（1）中的方法，可得． 即， ，方程无解． 所以两个正方形的面积之和不可能等于． 18．（24-25九年级上·河北·期末）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． (1)若生态园的面积为，求的值； (2)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或11时，生态园的面积能达到 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质得出，再由面积公式计算即可； （2）根据题意将此时的表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 由于篱笆长为， ， ， 由题意得：， 即， 解得， ， ， ． （2）解：由题意可得 由于篱笆长为， ， 解得． 当或11时，生态园的面积能达到． 19．（24-25九年级上·河北承德·期末）我们把关于的一元二次方程与称为一对“倒序方程”．例如方程的“倒序方程”是． (1)写出一元二次方程的“倒序方程”； (2)请用适当的方法解一元二次方程和它的“倒序方程”． 【答案】(1) (2)的解为，；的解为， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程； （1）根据“倒序方程”的定义，即可求解； （2）分别用配方法和公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据定义， “倒序方程”为． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 由（1）知，的“倒序方程”为，这里． ， ， 即． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 【答案】(1)40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8 (2)①48②作业时间的合理范围是60至100分钟 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设40分钟到60分钟的增长率为x，利用60分钟时学习效率=40分钟时学习效率分钟的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入中，即可求出m的值； （2）①根据学习效能的定义求解即可； ②设每晚作业时间为分钟，根据学习效能低于20的时候为无效学习，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将符合题意的值代入中，可求出最长学习时间，结合规定作业时间不少于1个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围． 【详解】（1）解：设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为， ∴． 答：40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8； （2）解：①学习时间为80分钟的学习效能为： ②设每晚作业时间为分钟， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 能力提升进阶练 21．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得．由①式求出m的值，再代入②式即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵与是一元二次方程的两根， ∴， 由①得， ∴，， 代入②得，， ∴． 故选：C． 22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【答案】D 【分析】将代入方程中，得，再求解关于的方程即可． 本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 解得或． 故选：D． 23．（2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设原方程为， 由题意得，，， ，， 原方程为，即， 解得：，， 原方程根的情况是两根分别是2和5． 故选：C． 24．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 直接根据配方法变形即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 25．（2025·河北秦皇岛·一模）关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之和为0 D．两根之积为5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根； 由一元二次方程的根与系数的关系得：两根之和，两根之积为， 综上所述，选项B正确， 故选：B． 26．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（    ） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又墙长， ， 长为6m． 故选：D． 27．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得：， ∴， ∴， ∴，． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，分别利用因式分解，公式法与配方法解方程即可得到答案． 【详解】解：由方程两边不能都除以， ∴甲的解法错误； ∵， 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． ∴乙的解法正确； ， 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． ∴丙的解法错误； ， 整理得 配方得：， ∴， ∴， ∴，． ∴丁的解法正确； 故选D 28．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 29．（2025·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是关键． 根据题意，把代入得到，在根据一元二次方程根与系数的关系“”的计算即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 解得，， ∴一元二次方程为， ∴， 故答案为： ． 30．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根据方程解得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2025． 31．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【详解】由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程、等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式、三角形三边关系等知识．根据题意得，求得m的取值范围，分情况讨论：当腰为3时，把代入方程求解，当底边为3时，方程的两根相等，得，求解即可，注意验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：根据题意得，解得， 当3是腰时，3是方程的一个根， 把代入方程得，解得， 此时方程为， 解得， 即方程的另一根为5， ∵， ∴等腰三角形存在； 即满足题意； 当3是底边长，即两腰都是方程的根时，即方程有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程为， 解得， ∵， ∴等腰三角形存在， 即满足题意， 综上所述，或． 故答案为：或． 33．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个实数根．已知等腰三角形的一边长为9，若恰好是另外两边的边长，则另外两边长分别为 ． 【答案】1和9 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握一元二次根的判别式成为解题的关键． 分9为底边和腰两种情况，分别结合等腰三角形的性质讨论方程的根的情况，并运用三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：①当9为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，，解得， 方程变为，解得， ， ∴不能构成三角形； ②当9为腰长时，把代入方程得，解得. 当时，方程变为，解得， ， ∴不能组成三角形； 当时，方程变为，解得，能组成三角形. 三角形另外两边长分别为1和9． 故答案为：1和9． 34．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程 （选填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是倍根方程，则的值为 ． 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是的2倍，是的2倍，两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ， ，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）， ∴，， 解：，， ∵是“倍根方程”， ∴当是的2倍时，即，则， ∴当是的2倍时，即，则， 故答案为：或． 35．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）解方程 (1)（限定配方法） (2)（不限方法）； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据因式分解法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， 解得：，． 36．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的最小整数值； (2)在（1）的条件下，当取最小整数值时，方程的两个根分别为、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用判别式的意义得到，即，然后解不等式得到的范围，再在此范围内找出最小整数值即可； （2）由（1）知，所以一元二次方程为，再根据根与系数的关系得，，然后利用完全平方公式变形得到，最后利用整体代入的方法计算即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ，即， 解得， 的最小整数值为； （2）解：由题意得：方程为， 方程的两个根分别为、， ，， ． 37．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，是上海世博园内的一块等腰梯形的花园，此花园上底长40米，下底长100米，上下底相距40米，为方便游人观光休息，现要在花园中修建一条横、纵向的“H”型观光大道，现已知观光大道各处的宽度相等．其面积是整个梯形面积的，若设观光大道的宽为x米． (1)求梯形的周长； (2)用含x的式子表示观光大道的总长； (3)求观光大道的宽是多少米？ 【答案】(1)240米 (2)米 (3)观光大道的宽为5米 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用和勾股定理的应用． （1）欲求周长，只要再求出腰长就可以了，根据等腰三角形的性质，再利用勾股定理即可求出腰长； （2）根据图形，观光大道的总长等于两个高长加上横向观光大道，而横行观光大道的长是上底的长减去两个观光大道的宽度； （3）根据观光大道的面积等于观光大道的总长宽，再根据观光大道面积是整个梯形面积的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在等腰梯形中，米米， ∴ 米， ∴（米）， ∴梯形的周长（米）． （2）解：观光大道的总长：米． （3）解：根据题意，得． 整理，得， 解之得：， ，不符合题意，舍去． ∴； 答：观光大道的宽为5米． 38．（24-25九年级上·河北保定·期末）（1）按要求解方程： ①（公式法）； ②（因式分解法）；     （2）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第_______步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）①，②；（2）①二；②解答过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解； ②先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）①当时，两边除以无意义，据此可判断求解； ②把右式移到左边，利用因式分解法解答即可； 【详解】解：（1）①解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，； ②， ∴， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：①上面的运算过程第二步出现了错误， 故答案为：二； ②解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 39．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）由勾股定理得，则而，代入即可证明； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵是直角三角形，为斜边， ∴，则 而， ∴一元二次方程有两个相等的实数根； （3）解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义，等边三角形的性质，勾股定理等知识． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． (1)下列方程是常数根方程的有__________（填序号）： ①；②；③； (2)已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 【答案】(1)①③ (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程与新定义常数根方程、解一元二次方程． （1）将各方程的常数项分别代入方程，验证是否是方程的根，即可判定方程是否为常数根方程； （2）根据常数根方程的定义将，代入方程得，解方程即可得出m的值． 【详解】（1）解：①将代入得即， 故是常数根方程； ②将代入得即不成立， 故不是常数根方程； ③将代入得即， 故是常数根方程； 故答案为：①③； （2）解：是常数根方程， 方程的一个根为，代入方程得，解得或， 即m的值为0或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 一元二次方程（复习讲义） ①掌握一元二次方程的相关概念，学会表示一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的解； ②掌握一元二次方程的解法，学会运用不同的方法计算一元二次方程；理解并掌握一元二次方程配方法的应用；学会运用换元法解决一元二次方程中的整体代入型计算； ③掌握一元二次方程根与系数的关系，学会运用根与系数的关系求字母系数； ④掌握一元二次方程的实际应用，根据题意列出等量关系； 知识点 重点归纳 常见易错点 一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式 二、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0） 解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 解一元二次方程-配方法 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； 解一元二次方程-公式法 把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 一元二次方程的应用 列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 找不到等量关系 题型一 一元二次方程的相关概念 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 4．判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 题型二 一元二次方程的一般式 5．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 7．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 8．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 题型三 一元二次方程的求参问题 9．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 10．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型四 一元二次方程的估算 13．观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 14．根据下列表格中的对应值，判断方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 15．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 16．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 题型五 解一元二次方程 17．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 18．求未知数． (1)； (2)． 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 20．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型六 配方法的应用 21．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 22．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A．18 B．20 C．19 D．17 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 24．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 25．已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 26．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．3 27．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 28．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 题型八 换元法解一元二次方程 29．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 30．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 31．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 32．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 33．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 34．关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 35．已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 36．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 题型十 传播问题 37．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 38．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 39．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 40．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 题型十一 增长率问题 41．随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率． 42．某公司前年的盈利为100万元，去年和今年的盈利连续两年保持相同的增长率．已知今年盈利比去年多11万元，求该公司去年盈利的增长率． 43．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 44．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 题型十二 图形问题 45．小明现有一块面积为的正方形纸板，他准备用这块纸板自制一个书架装饰品，他设计了如下的两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板，且其长宽之比为． 小明设计的两种方案是否可行？若可行，说明如何裁剪；若不可行，请说明理由． 46．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 47．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． (1)大正方形纸片的边长为____； (2)若另找一个与此大正方形大小一样的正方形纸片，并沿其大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 48．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 题型十三 营销问题 49．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 50．某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 51．某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． (1)经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； (2)天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 52．问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 题型十四 行程问题 53．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 54．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 55．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 56．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 题型十五 动态几何问题 57．如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为 ． 58．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 59．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 60．如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 题型十六 一元二次方程的新定义问题 61．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 62．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 63．定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 64．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 基础巩固通关测 1．（2025·广东珠海·二模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）方程解的个数（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 5．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．7 7．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 8．（2025·浙江杭州·一模）已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（    ） A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 9．（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了 元． 11．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）若一元二次方程的两个根为，，则的值是 12．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知是方程的两个根，那么= ， ， ， 13．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 14．（2025·河北邢台·模拟预测）和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ． 15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）解一元二次方程： (1)； (2)． 16．（2025·河北唐山·一模）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解 解： ………第一步 ………第二步 ………第三步 习题2：因式分解 解： ………第一步 ………第二步 ………第三步 (1)从中任选一题，写出此题从第几步开始出现错误，并写出它的正确解答过程； (2)若习题1和习题2中的两个代数式的值相等，求出x的值． 17．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，小张该怎么剪？ (2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 18．（24-25九年级上·河北·期末）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． (1)若生态园的面积为，求的值； (2)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 19．（24-25九年级上·河北承德·期末）我们把关于的一元二次方程与称为一对“倒序方程”．例如方程的“倒序方程”是． (1)写出一元二次方程的“倒序方程”； (2)请用适当的方法解一元二次方程和它的“倒序方程”． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 能力提升进阶练 21．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 23．（2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 24．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·河北秦皇岛·一模）关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之和为0 D．两根之积为5 26．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（    ） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 27．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得：， ∴， ∴， ∴，． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁 28．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 30．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 31．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为 ． 32．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为 ． 33．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个实数根．已知等腰三角形的一边长为9，若恰好是另外两边的边长，则另外两边长分别为 ． 34．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程 （选填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是倍根方程，则的值为 ． 35．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）解方程 (1)（限定配方法） (2)（不限方法）； 36．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的最小整数值； (2)在（1）的条件下，当取最小整数值时，方程的两个根分别为、，求的值． 37．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，是上海世博园内的一块等腰梯形的花园，此花园上底长40米，下底长100米，上下底相距40米，为方便游人观光休息，现要在花园中修建一条横、纵向的“H”型观光大道，现已知观光大道各处的宽度相等．其面积是整个梯形面积的，若设观光大道的宽为x米． (1)求梯形的周长； (2)用含x的式子表示观光大道的总长； (3)求观光大道的宽是多少米？ 38．（24-25九年级上·河北保定·期末）（1）按要求解方程： ①（公式法）； ②（因式分解法）；     （2）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第_______步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 39．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． (1)下列方程是常数根方程的有__________（填序号）： ①；②；③； (2)已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$