4.2.2等差数列的通项公式课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.2.2 等差数列的通项公式 等差数列的概念是什么？ 复习回顾 等差中项的定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A ，使a ，A，b成等差数列，那么A叫作 a 与 b的等差中项 等差数列的函数特征 函数图象上所有的点在同一条直线上： d＞0，等差数列单调增；d＜0,等差数列单调减； d＝0，等差数列为常函数． 01 等差数列的通项公式及应用 【问题1】请根据等差数列的定义写出它的递推公式，并推导它的通项公式. 方法1：由等差数列的定义可得 不完全 归纳法 【问题1】请根据等差数列的定义写出它的递推公式，并推导它的通项公式. 累加 首项为a1，公差为d的等差数列{ an }的通项公式为 等差数列{ an }的通项公式的推广 累加法 当d ≠ 0时，等差数列{ an }的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)（x∈R）当x=n时的函数值，即an = f(n)。 在平面直角坐标系中画出函数f(x)=dx+(a1-d)的图象，就得到一条斜率为d，截距为a1-d的直线。 事实上，公差d ≠ 0的等差数列{ an }的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上。 (课本例4) 在等差数列{an}中， (1) 已知a1＝3，公差d＝－2，求a6； (课本例4) 在等差数列{an}中， (2)已知a3＝10，a9＝28，求an. 设等差数列的公差为d， 那么 解得 所以an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1. 设等差数列的公差为d， 即 通项设为 那么 解得 所以an＝3n＋1. 注: 等差数列的基本量a1 , d 通项公式表示：任意一项与首项a1 的关系 任意两项之间关系 an=am+(n-m)d 通性通法 练习1：在等差数列{an}中， 已知a5＝19，a8＝10，求a1与d； 由题意知解得 课本P146 练习7 练习2：在等差数列{an}中， 已知，＝4，求. 由题意知 解得 所以 P147 习题13 已知等差数列{ an }的公差为,求证： 解析： 等差数列{ an }的通项公式的推广: 02 等差数列的判定与证明 例2：已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)证明：数列为等差数列； 由题意an≠0， ∵a1＝2，an＋1＝， ∴， ∴， 即，公差d＝的等差数列. 解析： 例2：已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (2)求an. 由(1)可知＋(n－1)d＝， ∴ an＝，n∈N*. 解析： 通性通法 【练习】 在数列中，a1＝2，a2＝1，(n≥2)， 则其通项公式为an＝　　　　. 由(n≥2)， 所以由等差中项法可知数列是等差数列， 又因为a1＝2，a2＝1， 所以＝1， 得数列的公差d＝＝1－， 所以(n－1)＝，得an＝. 解析： 03 等差数列的实际应用 (课本例5)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次. 奥运会如因故不能举行，届数照算.按此规则，问：2050年举行奥运会吗？ 由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an＝1 896＋4(n－1)＝1 892＋4n(n∈N*). 假设an＝2 050，则2 050＝1 892＋4n，解得n＝39.5. 所以an＝2 050无正整数解. 答 按此规则，2050年不举行奥运会. 通性通法 课本P146 练习6 延伸探究 P147习题15 已知数列{ an }是等差数列，m + n = p + q，m，n，p，q∈N， 求证：an + am = ap + aq 证明：设数列{ an }的公差为d 练习1：已知数列是等差数列，且， 则 解：∵在等差数列中,若 则，∴ 由条件等式，得 ∴ 方法技巧： 等差数列的性质 1.若，是等差数列，则也是等差数列. 2.若是等差数列，公差为正整数满足， 则. [注]：第2条性质必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.例如， 但；，但 变1.已知等差数列中，，则的值为( ). A.10 B.-10 C.15 D.-15 解：[法一]设等差数列的公差为，则 ，即. 故. 变1.已知等差数列中，，则的值为( ). A.10 B.-10 C.15 D.-15 解：[法二]由等差数列的性质知，则 故. 练习2.设三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍， 求这三个数. 解：设这三个数依次为，，， ∴这三个数为 灵活设元 方法技巧： 常见的设元技巧 1.某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，， 公差为2 2.三个数成等差数列且知其和，常设这三个数为：，，，公差为. 3.四个数成等差数列且知其和，常设这四个数为：，，， 公差为2. 变2.四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为， 求这四个数. 解：[法一]设这四个数为，(公差为)， 又四个数成递增等差数列，∴， ∴故所求的四个数为 变2.四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为， 求这四个数. 解：[法二]设这四个数为，(公差为)， 依题意，， 把代入 得即 化简得，∴或. 又四个数成递增数列，∴，∴， 故所求的四个数为 有关等差数列的性质及推论： （2）若数列{ an }和{ bn }是等差数列，则数列{ an+μbn }也是等差数列 （、μ均为常数） 证明：设数列{ an }的公差为d1，数列{ bn }的公差为d2 所以，数列{ an+μbn }是以首项为a1+μb1，公比为d1+μd2的等差数列。 THANKS 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可； (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 判断一个数列是否为等差数列的方法技巧 (1)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据， 即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列 (2)等差中项法：2an＝an＋1＋an－1⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}为等差数列． 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． $$