2.5.2 圆与圆的位置关系（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.5.2圆与圆的位置关系 知识点01圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【详解】因为圆，所以， 因为圆，所以圆，所以， 所以， 又因为，所以， 所以两圆相外切， 故选：C. 2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 3．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 4．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 5．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 知识点02求两圆交点坐标 6．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 7．判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 知识点03由圆与圆的位置关系确定圆的方程 8．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 9．写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程： . ①与圆相切，②与x轴相切. 【答案】（答案不唯一） 【详解】设圆的方程为， 由题意可得，整理可得， 可令，即， 故答案为：（答案不唯一）. 10．求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【详解】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 11．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)求与圆相外切于点，且半径为的圆标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 所以，圆的方程为，其标准方程为. （2）解：圆心的坐标为，直线，则直线的方程为，即， 设圆心的坐标为，因为圆与圆相切于点， 则，解得，则圆心， 故圆的标准方程为， 依题意，故圆的标准方程为. 知识点04相交圆的公共弦方程 12．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 13．已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点， 所以弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，平分圆的周长， 所以，在弦所在直线上，即， 所以. 故答案为：2 14．已知圆，若圆与圆的公共弦方程为，且圆心为圆上在第三象限内的一点，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可设圆，因为圆与圆的公共弦方程为， 知公共弦所在直线的斜率为，所以①， 又圆在圆上，所以②， 联立①②，解得，所以， 故答案为：. 15．如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程． 【答案】 【详解】连接，如图所示， 中，，， 又因为为圆的切线，所以， 于是，同理， 即在以为圆心，4为半径的圆上, 所以有， 所以是和的公共弦， 联立 两式相减得所在直线的方程为： ，即. 知识点05两圆的公共弦长 16．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 17．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 18．已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 19．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 20．已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设圆的方程是①， 由于圆是的外接圆，故，，三个点都在圆上， 所以它们的坐标都满足①的解，把它们的坐标依次代入①的方程， 得到关于，，的一个三元一次方程组，，解得， 所求的圆的方程是，标准方程是. （2）由于两圆相交，联立两圆方程， 作差，得， 要使得最长，则此时过点，即为圆的直径， 将点代入得，，结合，得 知识点06圆的公切线方程 21．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 22．已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 23．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 知识点07圆的公切线长 24．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 25．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 26．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 1．在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：关于原点的对称圆为：， 则， 由已知得与无公共点，所以或， 所以或，解得：或， 又因为，所以，故C正确. 故选:C. 2．（多选）若圆与圆交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线AB的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以点在圆内，故A正确． 对于B，因为圆,圆,则,故两圆相交，将两圆方程作差可得， 即公共弦所在直线的方程为，故B错误． 对于C，圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确． 对于D，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径， 故圆上不存在比线段长的弦，故D错误． 故选：AC． 3．（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 4．（多选）已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 【答案】BCD 【详解】对于选项 A：圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ； 两圆心间距离：， ， 因为 ，所以两圆外离，不相交；故A 错误； 对于选项 B：点 在 上，点 在 上，两圆外离， ，故B 正确； 对于选项 C：过点A作圆的切线（取靠近圆的一条）， 过点作切线的垂线垂足为，过点作垂线，垂足为， 此时的长即为点到直线距离的最小值. 易知，在中，，； 因为为圆的切线，所以易得； ， ， ，故C正确； 对于选项D:过点A分别作两圆的切线，切点分别为，，如下图所示： 由图易得，此时.故D正确. 故选：BCD 5．已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是 . 【答案】 【详解】原题等价于已知及其处的切线l：， 圆C的圆心到圆O的距离为，半径为且与直线l交于A，B两点， 求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围. 如图，设， 则圆C的方程为， 与直线l的方程联立可得， 设两点横坐标之比为， 则，， 得， 整理得， 当且仅当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以，得，得， 故的最大值为. 故答案为： 6．直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 【答案】或 【详解】由，又或， 设公共弦的中点为，所以，即中点为， 设直线的方程为， 则或， 代入化简整理有： 或， 故答案为：或 7．已知圆，圆，动点到两圆的切线长相等，求点的轨迹方程． 【答案】或 【详解】由配方得：，知圆心，半径为； 由配方得：，知圆心，半径为. 设过点圆与圆的切线分别为，切点分别为， 则，， 设点坐标为，由题意知，， 即，整理得：， 联立圆与圆的方程，解得 故点的轨迹方程为或． 1．已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 2．设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则 ． 【答案】1 【详解】由得， 其圆心为，半径为．故圆与坐标轴相切， 若异号，则两圆心距离， 两圆的半径和为，显然，故圆和圆外离； 若同号，因为，所以且． 则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为． 两圆心距离， 两圆的半径和为，两圆半径差为，显然， 故圆和圆不可能内切，只能外切， 所以，解得． 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用圆与圆的位置关系求解参数，解题的关键是根据圆与坐标轴相切，进而分析出两圆的位置关系，从而利用两圆关系求解即可. 3．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点的坐标为，，是圆上的动点，为圆上的动点，则四边形能构成的矩形的个数为 ． 【答案】无数个 【详解】任取圆上一点，以为直径画圆，交圆于，两点， 则的中点坐标为，又有， 以为直径的圆的方程为， 即， 用圆的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在直线的方程， 即， 将中点坐标代入上式左边得 ，所以公共弦也是以为直径的圆的直径，则， 根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，即可得出四边形是矩形， 由点的任意性知，四边形有无数个． 故答案为：无数个.    4．如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.2圆与圆的位置关系 知识点01圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 3．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 5．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点02求两圆交点坐标 6．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 7．判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 知识点03由圆与圆的位置关系确定圆的方程 8．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程： . ①与圆相切，②与x轴相切. 10．求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 11．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)求与圆相外切于点，且半径为的圆标准方程． 知识点04相交圆的公共弦方程 12．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 13．已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为 ． 14．已知圆，若圆与圆的公共弦方程为，且圆心为圆上在第三象限内的一点，则圆心的坐标为 ． 15．如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程． 知识点05两圆的公共弦长 16．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 17．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 18．已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 19．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 20．已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值. 知识点06圆的公切线方程 21．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 22．已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 23．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 知识点07圆的公切线长 24．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 25．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 26．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 1．在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）若圆与圆交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线AB的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 3．（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 4．（多选）已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 5．已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是 . 6．直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 7．已知圆，圆，动点到两圆的切线长相等，求点的轨迹方程． 1．已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 2．设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则 ． 3．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点的坐标为，，是圆上的动点，为圆上的动点，则四边形能构成的矩形的个数为 ． 4．如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$