2.3 直线的交点坐标与距离公式（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标与距离公式 知识点1交点问题 1．直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 3．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 知识点2过两条直线交点的直线系方程 5．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 6．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 7．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 知识点3两点间的距离 9．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 10．已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 11．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 知识点4点到直线的距离 12．点到直线的距离为 13．直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 14．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 15．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 知识点5两平行直线间的距离 16．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 17．（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 18．已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 19．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 知识点6对称问题 20． 关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 23．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 知识点7求线段和与差的最值 24．点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．（多选）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 26．直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 27．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 1．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 2．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 3．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 4．已知点轴，，则周长的最小值为 ． 5．在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 6．在中，已知，并且的角平分线所在直线方程分别为，求直线的方程． 7．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 1．已知点，，直线，记点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 4．在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3直线的交点坐标与距离公式 知识点1交点问题 1．直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2．（多选）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或． 故选：ABD． 3．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 知识点2过两条直线交点的直线系方程 5．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 6．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 7．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 8．斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】联立方程组，解得， 由题意斜率为，且过的直线方程为. 即所求直线方程为. 故答案为：. 知识点3两点间的距离 9．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 10．已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 11．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 知识点4点到直线的距离 12．点到直线的距离为 【答案】/ 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 13．直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 14．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 15．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 知识点5两平行直线间的距离 16．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 17．（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或． 故选：AD 18．已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 19．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 知识点6对称问题 20． 关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 22．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【详解】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 故答案为：. 23．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 知识点7求线段和与差的最值 24．点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 25．（多选）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 【答案】BC 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即关于的对称点为，且， 所以，当三点共线时取等号， 故BC选项符合题意， 故选：BC 26．直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 【答案】 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 27．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点关于直线的对称点为，如下图所示： 在直线上任取一点，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故“将军饮马”的最短总路程为. 故选：B. 1．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 2．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 3．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 4．已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，    设点关于直线的对称点为． 点关于轴的对称点为． 连接，交于点，交轴于点， 显然，，且四点共线， 故此时周长的最小值为． 故答案为： 5．在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 6．在中，已知，并且的角平分线所在直线方程分别为，求直线的方程． 【答案】 【详解】设点关于的对称点为， 则由对称点公式得，， 故，． 设点关于的对称点为， 则直接由代入法得，即． 由都在直线上，故得直线的方程为， 即． 7．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上，    所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． （2）点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 1．已知点，，直线，记点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由题意得，. 由得，， 令，则， 满足，但，故充分性不成立； 令，满足， 但，，，故必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 3．平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.08 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 4．在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$