22.1.1 二次函数 预习讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 22.1.1 二次函数 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解二次函数的概念，能识别二次函数的一般形式。 2. 掌握二次函数各项系数的含义及对函数图像的影响。 3. 会列实际问题的二次函数关系式。 4. 区分二次函数与其他函数（如一次函数）的差异。 知识点梳理 1. 二次函数的定义 · 形式：形如 （）的函数。 · 关键特征： · 自变量最高次数为2。 · 是二次项系数，决定开口方向和大小。 · 是一次项系数， 是常数项。 2. 二次函数的判定 · 必须满足： · 函数关系式是整式。 · 化简后自变量的最高次数为2。 · （若 ，退化为一次函数）。 3. 实际应用中的二次函数 · 常见问题类型： · 面积问题（如矩形围栏面积与边长的关系）。 · 利润问题（如销量与定价的二次关系）。 · 运动问题（如抛物线轨迹的高度与时间关系）。 4. 系数的作用 · ： · ：开口向上；：开口向下。 · 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 · ：与对称轴位置有关（后续章节详细学习）。 · ：函数图像与y轴的交点坐标（）。 易错点提醒 1. 忽略 的条件：若 ，则不是二次函数。 2. 混淆函数形式：如将 与 （顶点式）混淆。 3. 实际应用题列式错误：未正确分析变量间的二次关系。 4. 系数符号错误：如将 中的 误认为2。 5. 忽略定义域：实际问题中自变量可能有范围限制（如边长必须为正数）。 知识点小结 1. 核心概念：二次函数是描述变量间二次关系的工具，形式为 （）。 2. 关键点： · 系数 决定开口方向和宽度。 · 常数项 表示与y轴的交点。 3. 应用步骤： · 审题明确变量关系 → 列出函数表达式 → 验证 。 4. 注意事项： · 实际问题需检验解的合理性（如边长、时间等非负性）。 · 先化简再判断是否为二次函数。 注：本节是二次函数的基础，重点在于理解定义和系数的意义，为后续学习图像和性质打下基础。 巩固练习 一、选择题 1．如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 2．若y＝(m－1)是关于x的二次函数，则m的值是(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．2 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．正方形的边长为3，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(　　) A．y=x2+9 B．y=(x+3)2 C．y=x2+6x D．y=9-3x2 5．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y=(30- x)(200+40x) B．y=(30- x)(200+20x) C．y=(30- x)(200-40x) D．y=(30- x)(200-20x) 6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）． 现将ΔPCD沿PD翻折，得到ΔPC’D，作∠BPC＇的平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列符合题意的函数关系式是（　　） A．y＝－x2 ＋x（0＜x＜4） B．y＝－x2－x（0＜x＜4） C．y＝－x2 ＋2x（0＜x＜4） D．y＝x2 －2x（0＜x＜4） 二、填空题 7．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为　 　． 8．如图，用长为的篱笆，一边利用墙墙足够长围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花圃面积为，则关于的函数表达式为　 　． 9．矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边长 之间的函数关系式为　 　. 10．若是y关于x的二次函数，则　 　． 11．如果函数是二次函数，那么m的值是 　 　． 12．若是关于自变量x的二次函数，则n＝　 　． 三、解答题 13．已知函数 （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 14．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x． （1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）分别求当x=1，4，6时，S的值． 15．当m为何值时，函数 是二次函数． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】2 11．【答案】3 12．【答案】2 13．【答案】（1）当时，是的一次函数； （2）当时，是的二次函数． 14．【答案】（1）解：由题意得：BC=x，则AB=8-x，且0＜x＜8， 则Rt△ABC的面积S==x（8-x）=-x2+4x（0＜x＜8）， 所以Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式为：S=-x2+4x（0＜x＜8）； （2）解：将x=1代入S=-x2+4x中得： S=-+4=； 将x=4代入S=-x2+4x中得： S=-×16+4×4=8； 将x=6代入S=-x2+4x中得： S=-×36+4×6=6. 15．【答案】解：∵函数 是二次函数 ∴ 解得：m=3 即当m=3时，函数 是二次函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$