专题05 圆的方程10大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题05 圆的方程10大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求圆的方程 1 题型二、直线与圆的位置关系 3 题型三、圆与圆的位置关系 6 题型四、弦长问题（重） 7 题型五、公共弦问题 9 题型六、（公）切线方程问题（重） 11 题型七、切线长问题 13 题型八、圆的实际问题 16 题型九、与圆有关的轨迹问题（重） 20 题型十、与圆有关的范围最值问题（难） 23 B综合攻坚·能力跃升 26 题型一、求圆的方程 1．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 2．已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：，由， 解得：，即可得，则， 即所求圆的方程为． 故选：D. 3．已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【详解】方法一：圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则，解得， 所以圆的标准方程为． 方法二：弦的中点为，且直线平行于轴， 则弦的垂直平分线为直线，即圆心． 所以半径， 则圆的标准方程为． 故答案为： 4．已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【详解】因为圆，即， 则，解得或， 可知圆的半径， 由题意可得：，解得． 故答案为：. 5．已知三角形三边所在的直线方程为，，．求这个三角形的外接圆方程． 【答案】 【详解】联立与即得出点， 联立与即得出点， 联立与即得出点， 设三角形的外接圆方程为：，其中， 将三点代入方程中得： 解方程组，解得：， 所以所求的三角形的外接圆方程为： . 6．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 【答案】（答案不唯一） 【详解】设圆心，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切， 可得，解得或或， 圆的方程为或或．（写其中一个即可） 故答案为：（答案不唯一） 题型二、直线与圆的位置关系 7．直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 8．直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 【答案】D 【详解】直线方程可变形为，恒过点.圆，是以为圆心，半径为1的圆. ，故P在圆外，直线与圆的位置关系示意如下： 设圆心到直线：的距离为d，则. 当时，，，解得：， 即当时，直线与圆相切. 当时，即时，直线与圆相交. 当时，即时，直线与圆相离. 综上，随着的变化，直线和圆可能相交、相切或相离. 故选：D. 9．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 10．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 11．把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】直线按向量平移后得，即， 化简为， 则点到直线的距离， 解得或. 故选：C 12．直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 【答案】 【详解】由，得， 知点到直线的距离为， 所以，得. 故答案为：. 题型三、圆与圆的位置关系 13．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 14．已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 15．圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 16．已知圆：和圆：相切，则 ． 【答案】－1或1或－3或3 【详解】由题意可知：，，，，有， 又两圆相切，则有或，可得或－1或1或3． 故答案为：－1或1或－3或3 题型四、弦长问题 17．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 18．已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 19．设直线与圆交于两点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线和圆相交弦的长是， 依题意，有，即，即， 设，， 则， 故的最大值为， 故选C． 20．（多选）设为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【详解】由题设，圆心，半径为5，又过圆心， 所以，且，A错，B对； 显然，即原点在圆上，    由到的距离，故的面积为，C对； 若，则，与矛盾，D错. 故选：BC 21．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 题型五、公共弦问题 22．已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 23．已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 因为两圆都过点，且均与两坐标轴相切，所以必在直线上， 点关于直线的对称点为，则线段即为圆的公共弦. 因为. 故选：B 24．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 25．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 题型六、（公）切线方程问题 26．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 27．过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长 . 【答案】 【详解】 易知圆C的标准方程为：，且设切线为， 则必有，解得，, ，故劣弧长. 故答案为：. 28．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 29．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 30．圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 题型七、切线长问题 31．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 32．已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程． 【答案】或； 【详解】由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为2,故点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时切线方程为，得， 切线方程为或； 33．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 34．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为3 【详解】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切， 且， 故， 即. （2）作于点H，连接PQ， 在中，， 其中， 故， 又，当且仅当时取等号， 故， 即的最大值为3. 35．过点的圆的切线长等于点到点的距离，求点到原点的最小距离． 【答案】 【详解】设，由圆，可得， 所以圆的圆心为，半径为1. 如图： 设直线与相切，切点为，所以， 因为过点的圆的切线长等于点到点的距离， 所以， 整理得：，所以点的轨迹为直线. 所以点到原点的最小距离为原点到直线的距离． 题型八、圆的实际问题 36．据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 37．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 38．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 39．如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 题型九、与圆有关的轨迹问题 40．如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 【答案】D 【详解】圆运动到，设此时与圆相切于点，点从运动到， 易知，所以， 所以， 所以的轨迹为圆中过，的直径，长度为4． 故选：D 41．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 42．已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则，又是的中点，则，不妨设， 又，则，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，且在圆内的部分，如图所示（劣弧）， 由，消得，解得，代入，解得， 所以，连接，易知， 又，则，所以，由圆的对称性知， 则，所以点的轨迹长度为，    故答案为：. 43．在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ． 【答案】以为圆心、4为半径的圆 【详解】解法1：设点，则由得，整理得， 即，故动点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆． 解法2：由题意设上有一点满足，可得， 在的延迟线上有一点，满足，可得， 所以根据阿氏圆的几何性质可知动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆，证明如下： 阿氏圆定义：平面内到两定点的距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 证明：设上有一点满足，在的延长线上有一点，满足，    设，，则，，解得， 以中点为圆心，为直径画圆， 可得，，， 在圆上任取一点，连接， 则，，所以， 又，所以， 所以. 题型十、与圆有关的范围最值问题 44．已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3 【详解】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为. 故答案为：3 45．函数的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / 0 【详解】 方法一：可化为，即， 即，解得． 方法二：的几何意义是过和两点的直线的斜率，而在单位圆上， 因此表示过点与圆上一点的直线的斜率，如图所示，要求的最值在直线和圆相切时取得． 显然直线的斜率存在，令直线方程为，即， 则原点到直线的距离为，即，解得或， 故函数的最大值为，最小值为0． 故答案为：①；②0. 46．（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 47．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 48．若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 1．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 2．已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【详解】 设，由题意，，因，代入坐标可得：， 两边取平方，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误. 故选：C. 3．已知圆，点，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由点得. 设，由已知且， 所以. 又点在上，得， 故点轨迹为以为圆心，半径的圆， 则点到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 4．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设， 其方程为， 若方程有实根，即等价于有实数解， 转化为圆心到直线的距离， 整理得，解得． 故选：B. 5．已知圆，直线，点为直线上的动点．过点作圆的两条切线，切点分别为．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为 ． 【答案】3或 【详解】由可知圆心，半径为2， 因为四边形为正方形，且边长为圆的半径2，如图，连接，则， 所以要使直线上有且只有一个点，使得，则， 所以圆心到直线的距离为，所以，解得或． 故答案为：或. 6．已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 ． 【答案】20 【详解】    由整理得：，可得圆心，半径为， 取可得，解得或，则； 取，可得，解得或，则. 因圆与圆相外切，且半径为，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示. 则点的轨迹方程为， ， 于是，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为20. 故答案为：20. 7．已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程，并求的值． 【答案】顶点的轨迹方程，． 【详解】如图，设的中点为，坐标为， 在中，． 又因为是弦的中点，依垂径定理， 在中，， 又， 所以，即， 因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动， 设，因为是的中点，所以， 所以， 整理得即为所求的顶点的轨迹方程； 所以. 8．过圆上一点作圆的一条动弦，为弦的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)设点关于点的对称点为为坐标原点，将线段绕原点按逆时针方向旋转后，所得线段为，求的取值范围． 【答案】(1)（点除外） (2) 【详解】（1）连接，由垂径定理知，，所以点的轨迹是以线段为直径的圆（除去点）．    因为点，则其中点坐标为． 又圆的半径，故点的轨迹方程是（点除外）. （2）如图，因为点关于点对称，设点，则点．    设点，因为线段由绕原点按逆时针方向旋转得到， 则，且，即，且． 由，得． 令，则，所以． 因此点的坐标为． 所以． 设点，则． 而点为圆上的点，设圆心的坐标为， 则， ． 故的取值范围是． 9．如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且.    (1)求证：. (2)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试求出半径最小的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接OP.   为圆O的切线，. 在中，.又， ，即， 整理，得，. （2）由（1）知，则点P在直线上移动. 圆心O到直线的距离， 此时与直线垂直，则. 若以点P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，则半径最小的圆与圆O相外切， 此时所求圆的半径，. 由，解得，则得， 所求圆的方程为. 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且． (1)求证：为定值； (2)当点在半圆上运动时，试说明点的轨迹形状． 【答案】(1)证明见解析； (2)点的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为. 【详解】（1）因为，，所以三点共线， 连接，则垂直平分线段，设垂足为， 于是有 （定值）； （2）设，其中， 则，且， 因为，所以， 由（1）知为，则，所以， 从而， 故点的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆的方程10大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求圆的方程 1 题型二、直线与圆的位置关系 3 题型三、圆与圆的位置关系 6 题型四、弦长问题（重） 7 题型五、公共弦问题 9 题型六、（公）切线方程问题（重） 11 题型七、切线长问题 13 题型八、圆的实际问题 16 题型九、与圆有关的轨迹问题（重） 20 题型十、与圆有关的范围最值问题（难） 23 B综合攻坚·能力跃升 26 题型一、求圆的方程 1．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 4．已知圆的面积为，则 ． 5．已知三角形三边所在的直线方程为，，．求这个三角形的外接圆方程． 6．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 题型二、直线与圆的位置关系 7．直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 8．直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 9．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 题型三、圆与圆的位置关系 13．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 15．圆与圆的公切线的条数是 条． 16．已知圆：和圆：相切，则 ． 题型四、弦长问题 17．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 18．已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 19．设直线与圆交于两点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）设为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 21．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 题型五、公共弦问题 22．已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 24．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 25．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 题型六、（公）切线方程问题 26．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 27．过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长 . 28．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 29．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 30．圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 题型七、切线长问题 31．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 32．已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程． 33．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 34．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 35．过点的圆的切线长等于点到点的距离，求点到原点的最小距离． 题型八、圆的实际问题 36．据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 37．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 38．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 39．如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 题型九、与圆有关的轨迹问题 40．如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 41．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 42．已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 43．在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ． 题型十、与圆有关的范围最值问题 44．已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 45．函数的最大值为 ，最小值为 ． 46．（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 47．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ． 1．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 3．已知圆，点，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 4．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，直线，点为直线上的动点．过点作圆的两条切线，切点分别为．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为 ． 6．已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 ． 7．已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程，并求的值． 8．过圆上一点作圆的一条动弦，为弦的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)设点关于点的对称点为为坐标原点，将线段绕原点按逆时针方向旋转后，所得线段为，求的取值范围． 9．如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且.    (1)求证：. (2)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试求出半径最小的圆的方程. 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且． (1)求证：为定值； (2)当点在半圆上运动时，试说明点的轨迹形状． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$