专题05 有理数的简便计算七类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题05 有理数的简便计算七类综合题型 典例详解 类型一、分组结合法计算 类型二、巧用分配率 类型三、裂项相消法 类型四、倒序相加法 类型五、错位相减法 类型六、巧用倒数计算有理数除法 类型七、换元法 压轴专练 类型一、分组结合法计算 分组结合法是一种通过合理分组，将复杂运算转化为简单运算的技巧，核心是利用 “分组后每组内的运算更简便”（如凑整、抵消等），适用于有理数加减场景。 有理数加减混合运算：凑整或抵消，当多个数相加时，可将 “互为相反数”“和为整数”“分母相同” 的数分组，简化计算。 关键要点 分组原则：根据项的 “共性”（符号、系数、字母、公式特征）分组，确保每组能简化运算； 灵活调整：若首次分组无效（如无公因式），尝试重新分组（如交换项的顺序）； 目标明确：分组的最终目的是 “降维”—— 将多步运算转化为几步简单运算（如合并、提取、公式应用）。 例1．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 变式1-1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 变式1-2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 变式1-3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 类型二、巧用分配率 例2．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）计算下列各题: (1) (2) 变式2-1．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）用简便方法计算． ① ② 变式2-2．（24-25七年级上·重庆·开学考试）． 类型三、裂项相消法 裂项相消法是数列求和、分式化简中常用的技巧，核心是将通项公式拆分成两个（或多个）项的差，使得求和时中间项相互抵消，仅保留首尾少数项，从而简化计算。其关键在于 “裂项” 的合理性 —— 拆分后与原项等价，且能形成 “抵消链”。 一、基础形式：分式裂项（分母为相邻整数乘积） 最典型的是形如的分式，裂项公式为： = - 原理：右边通分后等于左边，即 - = = 二、扩展形式：分母为相差d的整数乘积 若分母是两个相差为d（d为常数）的整数乘积，即，裂项公式需引入系数 = （ -） 例3．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知：则（　　） A． B． C． D． 变式3-1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 变式3-2．（24-25七年级上·全国·单元测试）． 变式3-3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 类型四、倒序相加法 倒序相加法是一种简便计算多个数相加的方法。 具体做法是：先把原来的加法算式正着写出来，再把这串数倒过来写一遍（得到和原算式相等的新算式），然后把这两个算式相加。这时会发现，两个算式中对应位置的数相加的结果都一样；接着用 “这样的对数” 乘 “每对的和”，得到的是两个算式的总和；最后把这个总和除以 2，就是原来那串数相加的结果。 例4．（22-23七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 变式4-1．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 变式4-2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务， 高斯计算的故事 高斯，德国著名数学家，几何学家，毕业于布伦瑞克工业大学，1796年，高斯证明了可以利用尺规作正十七边形，1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长，1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图．高斯（8岁）在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 任务：（1）材料中运用了我们学过的运算律是________． A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 （2）计算：． 类型五、错位相减法 错位相减法是一种计算有特殊规律的加法算式的简便方法，适合这样的情况：算式里的每个数，都是前一个数乘同一个数得到的（比如后一个数是前一个数的 2 倍、3 倍等）。 具体做法分几步： 1.先把原来的加法算式写出来（叫 “原式”）； 2.给 “原式” 的两边都乘那个 “相同的倍数”，得到一个新的算式（叫 “新式”）； 3.把 “新式” 和 “原式” 错开位置（让相同的数对齐），然后用 “新式” 减 “原式”（或 “原式” 减 “新式”，看哪种方便）； 4.减完后会得到一个简单的算式，算出这个算式的结果，再除以（倍数 - 1），就是原来算式的答案。 例5．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）计算： ． 变式5-1．（2025七年级上·全国·专题练习）求的值． 变式5-2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 类型六、巧用倒数计算有理数除法 适用情况：当直接算a ÷b（比如分数除法）麻烦时（例如约分不方便），可以使用这种方法。 核心关系：a÷b和 b÷ a 互为倒数（即两者相乘等于 1）。所以，a÷b = （前者是后者的倒数）。 具体做法： 先算 “除数 ÷ 被除数”，也就是b÷ a（把原来的除数当被除数，被除数当除数）； 按正常除法规则（转化为乘法，定符号，算绝对值）算出 b ÷ a 的结果； 最后取这个结果的倒数，就是原来a ÷ b的答案。 符号注意：a÷b 和b÷a的符号相同（因为交换被除数和除数后，“同号得正、异号得负” 的结果不变），所以取倒数时，符号不变，只对 “绝对值” 取倒数。 例6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 变式6-1．（18-19七年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 变式6-2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 类型七、换元法 核心思路： 用字母（如a、b等）代替运算中反复出现的相同数、代数式或有规律的结构，把复杂的有理数运算转化为关于新变量的简单运算，最后再将新变量换回原来的表达式，得到结果。 关键步骤： 1.观察识别：找出原式中重复出现的复杂部分（如相同的分数、小数，或有对称结构的式子），确定需要替换的 “整体”。 2.设元替换：用新变量表示这个 “整体”，将原式中的所有对应部分替换为新变量，得到简化后的新算式。 3.简化运算：对新算式进行有理数的加减乘除等运算，得到关于新变量的结果。 4.回代还原：将新变量换回原来的 “整体”，计算出最终结果。 例7．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题． ① ② 变式7-1．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 8．（20-21七年级上·广西南宁·期中）观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： 并完成下列问题： （1）填空： ； （2）填空： ； （3）探究并计算： ． 9．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）先阅读下面文字，然后按要求解题． 例：如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果． （1）补全例题解题过程；_____=_____． （2）计算： （3）计算：． 10．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 (1)填空：计算：________； (2)填空：计算：________； (3)请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的简便计算七类综合题型 典例详解 类型一、分组结合法计算 类型二、巧用分配率 类型三、裂项相消法 类型四、倒序相加法 类型五、错位相减法 类型六、巧用倒数计算有理数除法 类型七、换元法 压轴专练 类型一、分组结合法计算 分组结合法是一种通过合理分组，将复杂运算转化为简单运算的技巧，核心是利用 “分组后每组内的运算更简便”（如凑整、抵消等），适用于有理数加减场景。 有理数加减混合运算：凑整或抵消，当多个数相加时，可将 “互为相反数”“和为整数”“分母相同” 的数分组，简化计算。 关键要点 分组原则：根据项的 “共性”（符号、系数、字母、公式特征）分组，确保每组能简化运算； 灵活调整：若首次分组无效（如无公因式），尝试重新分组（如交换项的顺序）； 目标明确：分组的最终目的是 “降维”—— 将多步运算转化为几步简单运算（如合并、提取、公式应用）。 例1．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 变式1-2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 变式1-3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】50 【分析】此题主要考查了加减法中的巧算问题，通过观察，发现两两搭配在一起，可以得出组相同的数，然后再相加即可． 【详解】解： ． 类型二、巧用分配率 例2．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）计算下列各题: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法运算律，熟练掌握利用乘法分配律的进行简便运算是解答的关键． （1）利用乘法分配律去掉括号，再利用有理数乘法和加减法运算法则求解即可； （2）先得到，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2-1．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）用简便方法计算． ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①先运算括号内，再运算乘法，即可作答． ②运用乘法运算律进行计算，即可作答． 【详解】解：① ； ② ． 变式2-2．（24-25七年级上·重庆·开学考试）． 【答案】333 【分析】本题考查了乘法分配律的应用；原式中有共同的因数，则原式可化为，则可求解． 【详解】解： ． 类型三、裂项相消法 裂项相消法是数列求和、分式化简中常用的技巧，核心是将通项公式拆分成两个（或多个）项的差，使得求和时中间项相互抵消，仅保留首尾少数项，从而简化计算。其关键在于 “裂项” 的合理性 —— 拆分后与原项等价，且能形成 “抵消链”。 一、基础形式：分式裂项（分母为相邻整数乘积） 最典型的是形如的分式，裂项公式为： = - 原理：右边通分后等于左边，即 - = = 二、扩展形式：分母为相差d的整数乘积 若分母是两个相差为d（d为常数）的整数乘积，即，裂项公式需引入系数 = （ -） 例3．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知：则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 变式3-1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算中的技巧计算，解题关键是：复杂计算时先观察，碰到分母是几个数字相乘时，需将每个式子拆成两个分数相减的形式． 通过观察验证，可得，将其他式子进行类似转化，再通过对每个式子提取，再进行计算即可． 【详解】解：∵， 又， ∴同理可得： 变式3-2．（24-25七年级上·全国·单元测试）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则以及通过观察题目找出规律，利用裂项的化简方法是解题的关键，通过观察题目可以看出，，算式的第三项可以和第四项相加为0，直至最后一项，因此分式最终可以化简为． 【详解】解：原式 ． 变式3-3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 类型四、倒序相加法 倒序相加法是一种简便计算多个数相加的方法。 具体做法是：先把原来的加法算式正着写出来，再把这串数倒过来写一遍（得到和原算式相等的新算式），然后把这两个算式相加。这时会发现，两个算式中对应位置的数相加的结果都一样；接着用 “这样的对数” 乘 “每对的和”，得到的是两个算式的总和；最后把这个总和除以 2，就是原来那串数相加的结果。 例4．（22-23七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 变式4-1．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4-2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务， 高斯计算的故事 高斯，德国著名数学家，几何学家，毕业于布伦瑞克工业大学，1796年，高斯证明了可以利用尺规作正十七边形，1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长，1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图．高斯（8岁）在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 任务：（1）材料中运用了我们学过的运算律是________． A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 （2）计算：． 【答案】（1）C；（2）10000． 【分析】（1）根据材料中的计算过程进行回答即可； （2）进行适当变形后再运用高斯公式求解即可． 【详解】（1）材料中运用了我们学过的运算律是加法交换律和结合律， 故选：C； （2）． ． 【点睛】本题考查了有理数的运算律及有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题． 类型五、错位相减法 错位相减法是一种计算有特殊规律的加法算式的简便方法，适合这样的情况：算式里的每个数，都是前一个数乘同一个数得到的（比如后一个数是前一个数的 2 倍、3 倍等）。 具体做法分几步： 1.先把原来的加法算式写出来（叫 “原式”）； 2.给 “原式” 的两边都乘那个 “相同的倍数”，得到一个新的算式（叫 “新式”）； 3.把 “新式” 和 “原式” 错开位置（让相同的数对齐），然后用 “新式” 减 “原式”（或 “原式” 减 “新式”，看哪种方便）； 4.减完后会得到一个简单的算式，算出这个算式的结果，再除以（倍数 - 1），就是原来算式的答案。 例5．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题关键在于运用乘数后错位相减即可解得. 根据题意设，则两式相减即可求解. 【详解】解：设 则 由得 解得： 故答案为：. 变式5-1．（2025七年级上·全国·专题练习）求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，则，通过两个式子相减，得到，从而求得答案． 【详解】解：设， 则， 得 ， ， ． 变式5-2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 类型六、巧用倒数计算有理数除法 适用情况：当直接算a ÷b（比如分数除法）麻烦时（例如约分不方便），可以使用这种方法。 核心关系：a÷b和 b÷ a 互为倒数（即两者相乘等于 1）。所以，a÷b = （前者是后者的倒数）。 具体做法： 先算 “除数 ÷ 被除数”，也就是b÷ a（把原来的除数当被除数，被除数当除数）； 按正常除法规则（转化为乘法，定符号，算绝对值）算出 b ÷ a 的结果； 最后取这个结果的倒数，就是原来a ÷ b的答案。 符号注意：a÷b 和b÷a的符号相同（因为交换被除数和除数后，“同号得正、异号得负” 的结果不变），所以取倒数时，符号不变，只对 “绝对值” 取倒数。 例6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，计算原式的倒数，即可得到答案．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解： ， ． 变式6-1．（18-19七年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 变式6-2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1)； (2)1； (3)． 【分析】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：a的倒数为： （2）解：若a、b互为倒数，则 （3）解：的倒数为： ∴ 类型七、换元法 核心思路： 用字母（如a、b等）代替运算中反复出现的相同数、代数式或有规律的结构，把复杂的有理数运算转化为关于新变量的简单运算，最后再将新变量换回原来的表达式，得到结果。 关键步骤： 1.观察识别：找出原式中重复出现的复杂部分（如相同的分数、小数，或有对称结构的式子），确定需要替换的 “整体”。 2.设元替换：用新变量表示这个 “整体”，将原式中的所有对应部分替换为新变量，得到简化后的新算式。 3.简化运算：对新算式进行有理数的加减乘除等运算，得到关于新变量的结果。 4.回代还原：将新变量换回原来的 “整体”，计算出最终结果。 例7．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题． ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，把相同的算式看作一个整体进行计算是解题的关键． ①设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可； ②设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：①设，，则 原式 ． ②设，，则 原式 ． 变式7-1．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 【答案】 【分析】根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将小数化为分数，再计算乘法 ； （2）根据乘法交换律计算； （3）根据乘法分配律计算； （4）根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算律及加法运算法则，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先将分数化为小数，再由加法结合律恒等变形，最后由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （2）先由加法交换律与结合律恒等变形，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2500 (2)1000 【分析】本题主要考查了有理数加法运算律进行简便运算，掌握加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）先观察发现第1个数与第50个数，第2个数与第49个数，第3个数与第48个数……相加和都为100，然后进行计算即可； （2）可以利用有理数的结合律每两个数结合，即为1000个1即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，设，则，据此可求出，进一步可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减计算中的简便计算，解决本题的关键是不要盲目直接计算，先观察以找到规律，想办法进行简便运算． 设，通过等式两边同时乘以，再两式进行相减，即可求解． 【详解】解：设①， ②， ②①得， ， ∴， 故原式． 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 8．（20-21七年级上·广西南宁·期中）观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： 并完成下列问题： （1）填空： ； （2）填空： ； （3）探究并计算： ． 【答案】（1） （2） （3）． 【分析】（1）观察题中式子发现，前三项是连续的，得出结果后，再和最后一项相加计算得出答案． （2）根据原题中发现的规律运可得， ，进行计算得出答案． （3）提取公因数 “2”，得到和题干中形式相同的算式，运用规律计算求解． 【详解】（1） ． （2）原式 ． （3） ． 【点睛】本题考查规律探索能力和有理数的运算，根据题目信息找规律，运用加减互相抵消的方法是解本题的关键． 9．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）先阅读下面文字，然后按要求解题． 例：如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果． （1）补全例题解题过程；_____=_____． （2）计算： （3）计算：． 【答案】（1）50，5050；（2）2550；（3） 【分析】（1）根据题干中的示例计算即可得解； （2）根据两数之和为102，再乘以数字的个数即可得； （3）将所有的a相加、所有含b的式子相加，含b的代数式利用以上求和方法求解可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：50、5050； （2） ； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握． 10．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 (1)填空：计算：________； (2)填空：计算：________； (3)请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练通过材料进行方法归纳是解题的关键． （1）直接利用材料方法进行计算即可； （2）直接利用材料方法进行计算即可； （3）直接利用材料方法进行计算即可，注意个数为． 【详解】（1）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （3）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故计算结果为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$