专题2.13 有理数的运算全章专项复习【3大考点14种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（浙教版2024）

专题2.13 有理数的运算全章专项复习【3大考点14种题型】 【浙教版2024】 【考点1 有理数的加法与减法】 1 【题型1 利用拆项结合法计算多个有理数的加法】 1 【题型2 绝对值与有理数加减的综合】 2 【题型3 有理数加减法的实际应用】 3 【考点2 有理数的乘法与除法】 4 【题型4 有理数的乘法运算】 4 【题型5 多个有理数相乘】 5 【题型6 有理数的乘法分配律的应用】 6 【题型7 有理数的除法运算】 6 【题型8 有理数的混合运算】 7 【题型9 倒数】 8 【题型10 理数的混合运算在生活中的应用】 9 【考点3 有理数的乘方】 11 【题型11 有理数的乘方】 11 【题型12 利用非负性解决问题】 12 【题型13 科学记数法】 13 【题型14 利用乘方进行规律探究】 14 【考点1 有理数的加法与减法】 1.有理数的加法 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 2.有理数的减法 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 【题型1 利用拆项结合法计算多个有理数的加法】 【例1】（23-24七年级·重庆·阶段练习）计算 【变式1-1】（23-24七年级·河南南阳·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 【变式1-2】（2024七年级·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型2 绝对值与有理数加减的综合】 【例2】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）已知、、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，的值是 ． 【变式2-1】（2024七年级·全国·专题练习）如果数轴上表示a，b两数对应点的位置如图所示，那么的计算结果为 ． 【变式2-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则的最大值是 ，最小值是 ． 【变式2-3】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【题型3 有理数加减法的实际应用】 【例3】（23-24七年级·河北保定·阶段练习）某校图书馆以每天借出50册图书为标准，超出的部分用正数表示，不足的部分用负数表示．上星期该图书馆借出图书的部分数据如下表所示，上星期五到上星期日分别借出图书56册、43册、59册． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 记录数值 (1)补全上面的表格；星期四借出______册图书； (2)求上星期借出图书最多的一天比借出图书最少的一天多多少册图书； (3)求上星期共借出图书多少册． 【变式3-1】（23-24七年级·吉林·阶段练习）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）： ． (1)经过这天，仓库管理员结算发现仓库还有货品吨，那么天前仓库里有货品多少吨？ (2)如果进出的装卸费都是每吨元，那么这天要付多少元装卸费？ 【变式3-2】（23-24七年级·北京东城·阶段练习）现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元吨）： （） （） （） 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为 元． 【变式3-3】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护，境内高铁线路呈东西走向，全长近，某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：）：． (1)此时，这辆巡护车辆司机如何描述他现在的位置？通过计算说明； (2)已知每千米耗油升，如果管务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？ 【考点2 有理数的乘法与除法】 1.有理数的乘法 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 2.有理数的除法 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 3.有理数的混合运算 混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【题型4 有理数的乘法运算】 【例4】（2024七年级·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式4-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】（2024七年级·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-3】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【题型5 多个有理数相乘】 【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式5-2】（23-24七年级·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】（2024七年级·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【题型6 有理数的乘法分配律的应用】 【例6】（23-24七年级·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【变式6-1】（23-24七年级·广东东莞·期中）简便计算： (1) ； (2) ． 【变式6-2】（2024七年级·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式6-3】（23-24七年级·河南许昌·开学考试）简便计算 (1) (2) 【题型7 有理数的除法运算】 【例7】（2024七年级·浙江·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】（2024七年级·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【变式7-2】（23-24七年级·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式7-3】（2024七年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型8 有理数的混合运算】 【例8】（2024·河北·模拟预测）数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【变式8-1】（23-24七年级·云南红河·阶段练习）下面是小明的计算过程，仔细阅读，并解答下面的问题： (1) 小明的计算过程是 （填“正确”、“错误”），错误出现在第 步，错误原因是 (2)写出正确的解题过程． 【变式8-2】（23-24七年级·广东汕头·阶段练习）对于四个数“”及四种运算“”，列算式解答： (1)在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，可以带括号，使运算结果等于没选的那个数． (2)利用加、减、乘、除、乘方运算，可以带括号，每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏常州·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”，如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美． (1)试计算6的“完美指标”； (2)试计算7和9的“完美指标”； (3)试找出16、17、18三个自然数中，最“完美”的数． 【题型9 倒数】 【例9】（23-24七年级·广东韶关·期中） 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式9-1】（23-24七年级·湖南长沙·阶段练习）已知：a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于本身的正数，试回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值； (2)若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A到C之间运动时，请化简式子：. 【变式9-2】（23-24七年级·湖南娄底·期中）仔细阅读下面的材料，计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【变式9-3】（23-24七年级·重庆秀山·期末）阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答： (1)所生成的自然数组为{ } (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 【题型10 理数的混合运算在生活中的应用】 【例10】（23-24七年级·浙江丽水·期末）因疫情防控需要，一辆货车在早上8：00从甲地出发运送防疫物资到距离乙地，后货车到达离甲地的服务区休息，此时一辆轿车正从甲地急送防疫专家到乙地．10：00货车以原来的速度继续行驶，11：00轿车在距离甲地处追上了货车，两车继续向乙地行驶． （1）货车的速度是 ． （2）轿车比货车早 到达乙地． 【变式10-1】（23-24七年级·四川眉山·期末）某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报……这样得到的50个数的乘积为 ． 【变式10-2】（23-24七年级·江苏南京·开学考试）天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【变式10-3】（23-24七年级·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． 容器甲    容器乙     容器丙 (1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； (2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【考点3 有理数的乘方】 1.乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。 2.科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 【题型11 有理数的乘方】 【例11】（23-24七年级·山东威海·期中）比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 【变式11-1】（23-24七年级·湖南株洲·期中）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生． (1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________． (2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． 【变式11-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【题型12 利用非负性解决问题】 【例12】（23-24七年级·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【变式12-1】（23-24七年级·四川内江·期中）若、满足，则（  ） A． B．9 C．6 D． 【变式12-2】（23-24七年级·湖南岳阳·期中）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 【变式12-3】（23-24七年级·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米； (2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？ (3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？ (4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【题型13 科学记数法】 【例13】（2024·河北·模拟预测）河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积约为19万平方千米．将19万用科学记数法表示为，关于m的描述，下列说法正确的是（   ） A．m为负数 B． C．m等于19万的整数位数 D．当m增加1时，原数扩大为原来的10倍 【变式13-1】（2024·全国·模拟预测）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2024七年级·江苏·专题练习）已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 【变式13-3】（23-24七年级·全国·单元测试）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒可做 次运算（用科学记数法表示）． 【题型14 利用乘方进行规律探究】 【例14】（23-24七年级·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24七年级·全国·单元测试）观察下列算式： ；……，则的末尾数字是（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式14-2】（23-24七年级·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”.如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，…，以此类推，第n部分的面积是(n是大于1的整数).请你用“数形结合”的思想计算+++…+＝ . 【变式14-3】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）概率学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：　　、　　； (2)关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C． ； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方　　； 的圈6次方　　； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ； (5)算一算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.13 有理数的运算全章专项复习【3大考点14种题型】 【浙教版2024】 【考点1 有理数的加法与减法】 1 【题型1 利用拆项结合法计算多个有理数的加法】 1 【题型2 绝对值与有理数加减的综合】 5 【题型3 有理数加减法的实际应用】 7 【考点2 有理数的乘法与除法】 11 【题型4 有理数的乘法运算】 11 【题型5 多个有理数相乘】 15 【题型6 有理数的乘法分配律的应用】 18 【题型7 有理数的除法运算】 22 【题型8 有理数的混合运算】 26 【题型9 倒数】 29 【题型10 理数的混合运算在生活中的应用】 32 【考点3 有理数的乘方】 36 【题型11 有理数的乘方】 36 【题型12 利用非负性解决问题】 39 【题型13 科学记数法】 43 【题型14 利用乘方进行规律探究】 45 【考点1 有理数的加法与减法】 1.有理数的加法 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 2.有理数的减法 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 【题型1 利用拆项结合法计算多个有理数的加法】 【例1】（23-24七年级·重庆·阶段练习）计算 【答案】1110 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：原式变形后，利用加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】（23-24七年级·河南南阳·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-2】（2024七年级·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-3】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则． （1）先算同分母分数，再相加即可求解； （2）先算同分母分数，再相加即可求解； （3）先算同分母分数，再相加即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） ； （3） ． 【题型2 绝对值与有理数加减的综合】 【例2】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）已知、、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的运算，通过有限次计算的结果，发现并总结规律，根据发现的规律即可求解，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴由此可以看出，这列数是 ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式2-1】（2024七年级·全国·专题练习）如果数轴上表示a，b两数对应点的位置如图所示，那么的计算结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式加减运算，数轴上点的特点，先根据a，b两点在数轴上的位置判断出的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 15 【分析】表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． 故答案为：15， 【点睛】本题考虑数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 【题型3 有理数加减法的实际应用】 【例3】（23-24七年级·河北保定·阶段练习）某校图书馆以每天借出50册图书为标准，超出的部分用正数表示，不足的部分用负数表示．上星期该图书馆借出图书的部分数据如下表所示，上星期五到上星期日分别借出图书56册、43册、59册． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 记录数值 (1)补全上面的表格；星期四借出______册图书； (2)求上星期借出图书最多的一天比借出图书最少的一天多多少册图书； (3)求上星期共借出图书多少册． 【答案】(1)表格见解析， (2)上星期借出图书最多的一天比借出图书最少的一天多册图书 (3)上星期共借出图书数量为册 【分析】本题考查的是有理数加减运算在实际生活中的应用． （1）根据“以每天借出50册图书为标准，超出的部分用正数表示，不足的部分用负数表示”计算即可； （2）先确定借出图书最多和最少的数量，再相减求差即可； （3）求出超出或少于的平均数，再加即可． 【详解】（1）解：∵某校图书馆以每天借出50册图书为标准，超出的部分用正数表示，不足的部分用负数表示， ∴星期五借出图书56册，记录数值为； 星期六借出图书43册，记录数值为； 星期日借出图书59册，记录数值为； 星期四录数值为，借出图书册； ∴表格为： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 记录数值 故答案为：； （2）解：根据表格可得，最多的是星期二，记录数值为，最少的是星期四，记录数值为， ∴上星期借出图书最多的一天比借出图书最少的一天多册图书； （3）解：上星期共借出图书数量为册． 【变式3-1】（23-24七年级·吉林·阶段练习）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）： ． (1)经过这天，仓库管理员结算发现仓库还有货品吨，那么天前仓库里有货品多少吨？ (2)如果进出的装卸费都是每吨元，那么这天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)吨； (2)元． 【分析】（）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （）根据绝对值的实际意义列式计算即可； 本题考查了正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：（吨）， （吨）， 答：天前仓库里有货品435吨； （2）解：（元）， 答：这天要付元装卸费． 【变式3-2】（23-24七年级·北京东城·阶段练习）现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元吨）： （） （） （） 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为 元． 【答案】 【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解； （2）根据表格数据，寻求最优解即可求解． 【详解】解：（1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运吨到， 故答案为：； （2）解：运费如下： （） （） （） 运输方案一： （） 7 （） 10 2 （） 3 8 运费为： 运输方案二： （） 7 （） 2 10 （） 3 8 运费为： 运输方案三： （） 7 （） 3 0 9 （） 0 10 1 运费为： 故答案为：40． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键． 【变式3-3】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护，境内高铁线路呈东西走向，全长近，某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：）：． (1)此时，这辆巡护车辆司机如何描述他现在的位置？通过计算说明； (2)已知每千米耗油升，如果管务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？ 【答案】(1)在出发点西侧千米处 (2)这次巡逻共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用，绝对值的应用，有理数的乘法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据正负数的意义，把这几个数相加，求出它们的结果，如果是正数，就在出发点东面，是负数，就在出发点西面； （2）要求这次巡逻共耗油，就是要把所走的路程相加，然后再乘上每千米的耗油量，就把这几个数的绝对值相加，再加上最后返回的绝对值． 【详解】（1）解：千米， 答：这辆巡逻车在出发点西侧千米处． （2）解：千米， 升， 答：这次巡逻共耗油升． 【考点2 有理数的乘法与除法】 1.有理数的乘法 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 2.有理数的除法 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 3.有理数的混合运算 混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【题型4 有理数的乘法运算】 【例4】（2024七年级·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)21 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】（2024七年级·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)504 (4) 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-3】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)-2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型5 多个有理数相乘】 【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式5-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-2】（23-24七年级·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-3】（2024七年级·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键， （1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （3）观察发现因数中有0，故结果为零． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 【题型6 有理数的乘法分配律的应用】 【例6】（23-24七年级·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式6-1】（23-24七年级·广东东莞·期中）简便计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1)8500 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据乘法结合律计算即可， （2）利用乘法分配律，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 【变式6-2】（2024七年级·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法交换律和结合律即可求解； （2）利用乘法交换律和结合律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．解答的关键是运用乘法运算律简化计算过程． 【变式6-3】（23-24七年级·河南许昌·开学考试）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和运算律： （1）先把小括号内的式子变形为，再计算去小括号和中括号，最后计算乘法即可； （2）把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 有理数的除法运算】 【例7】（2024七年级·浙江·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)0 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （2）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （3）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （4）原式各项利用除法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式7-1】（2024七年级·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据除法的运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 【变式7-3】（2024七年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型8 有理数的混合运算】 【例8】（2024·河北·模拟预测）数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【答案】(1)次，输出的结果是 (2)的值为， 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． （1）根据运算顺序和规则逐步计算即可； （2）根据题意，可得，求解即可． 【详解】（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是； （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． 【变式8-1】（23-24七年级·云南红河·阶段练习）下面是小明的计算过程，仔细阅读，并解答下面的问题： (1) 小明的计算过程是 （填“正确”、“错误”），错误出现在第 步，错误原因是 (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)错误，三，乘除法优先级一样，应该先计算除法再计算乘法，而小明先计算乘法再计算除法； (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）小明的计算过程是错误的，错误出现在第三步，原因是乘除法优先级一样，应该先计算除法再计算乘法，而小明先计算乘法再计算除法； （2）根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明的计算过程是错误的，错误出现在第三步，原因是乘除法优先级一样，应该先计算除法再计算乘法，而小明先计算乘法再计算除法； （2）解： ． 【变式8-2】（23-24七年级·广东汕头·阶段练习）对于四个数“”及四种运算“”，列算式解答： (1)在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，可以带括号，使运算结果等于没选的那个数． (2)利用加、减、乘、除、乘方运算，可以带括号，每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据有理数混合运算顺序和法则列式计算即可（答案不唯一）； （2）根据有理数混合运算顺序和法则列式计算即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由题意得，（答案不唯一）； （2）解：由题意得，（答案不唯一）． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏常州·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”，如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美． (1)试计算6的“完美指标”； (2)试计算7和9的“完美指标”； (3)试找出16、17、18三个自然数中，最“完美”的数． 【答案】(1)1 (2)7的“完美指标”为；9的“完美指标”为 (3)最“完美”的数是16． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握完美指标的意义及计算方法是解题的关键． （1）根据“完美指标”的定义计算即可； （2）根据“完美指标”的定义计算即可； （3）先根据“完美指标”的定义分别求出16、17、18“完美指标”，然后再根据“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”即可解答． 【详解】（1）解：6的真因数有：1，2，3，根据“完美指标”的定义，可得6的完美指标：； （2）解：7的真因数有：1， 根据“完美指标”的定义，可得7的完美指标：； 9的真因数有：1，3， 根据“完美指标”的定义，可得9的完美指标：． （3）解：16的真因数有：1、2、4、8， 根据“完美指标”的定义，可得16的完美指标：， 17的真因数有：1， 根据“完美指标”的定义，可得17的完美指标：， 18的真因数有：1、2、3、6、9， 据“完美指标”的定义，可得18的完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，16、17、18三个自然数中，最“完美”的数是16． 【题型9 倒数】 【例9】（23-24七年级·广东韶关·期中） 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义、求代数式的值、有理数的乘方，由相反数和倒数的定义得出，，从而推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式9-1】（23-24七年级·湖南长沙·阶段练习）已知：a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于本身的正数，试回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值； (2)若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A到C之间运动时，请化简式子：. 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题考查了有理数、绝对值以及数轴， （1）根据a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于本身的正数，即可得出a、b，c的值； （2）先确定，分析当时，的正负，去掉绝对值符号即可得出结论； 【详解】（1）∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于本身的正数， ∴，，； （2）∵P在A和C之间， ∴， ∴，，， ∴ 【变式9-2】（23-24七年级·湖南娄底·期中）仔细阅读下面的材料，计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义，仿照阅读材料，先求式子的倒数，再利用分配律进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【变式9-3】（23-24七年级·重庆秀山·期末）阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答： (1)所生成的自然数组为{ } (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解； （2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解． 【详解】（1）解：，，，， ∴所生成的自然数组为． 故答案为：． （2）解：∵，，，， ∴假分数所生成的自然数组为． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是理解题意，熟练掌握生成的自然数组的定义． 【题型10 理数的混合运算在生活中的应用】 【例10】（23-24七年级·浙江丽水·期末）因疫情防控需要，一辆货车在早上8：00从甲地出发运送防疫物资到距离乙地，后货车到达离甲地的服务区休息，此时一辆轿车正从甲地急送防疫专家到乙地．10：00货车以原来的速度继续行驶，11：00轿车在距离甲地处追上了货车，两车继续向乙地行驶． （1）货车的速度是 ． （2）轿车比货车早 到达乙地． 【答案】 60 1.2 【分析】（1）根据货车从服务区到轿车追上货车所用的时间和路程求解即可； （2）首先根据货车的速度和总路程求出货车到达乙地的时间，然后求出轿车的速度，进而得到轿车到达乙地的时间，求解即可． 【详解】（1）∵货车从服务区到轿车追上货车一共1小时，路程为 ∴货车的速度为 （2）轿车追上货车后货车行驶到乙地用的时间为 货车到达服务区的时间 ∴轿车9：30从甲地出发， ∴轿车从出发到追上货车公用了 ∴轿车的速度为 ∴轿车追上货车后轿车行驶到乙地用的时间为 ∴ ∴轿车比货车早到达乙地． 故答案为：60，1.2． 【点睛】此题考查了有理数除法的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 【变式10-1】（23-24七年级·四川眉山·期末）某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报……这样得到的50个数的乘积为 ． 【答案】-51 【分析】先确定每位同学所报之数，再列算式，确定积的符号为负，再算积即可． 【详解】解：第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报，第4位同学报，…，第49位同学报，第50位同学报， 列式得（） ， = ， =． 故答案为：-51． 【点睛】本题考查有理数乘法与加法混合运算，掌握有理数混合运算法则，特别是负号的确定，多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时，积为负，负因数有偶数个时，积为正是解题关键． 【变式10-2】（23-24七年级·江苏南京·开学考试）天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【答案】见解析 【分析】题目主要考查打折运算及有理数的乘法应用，理解题意，分别对每位顾客计算出相应的超市的费用即可得出结果 【详解】解：顾客甲：只买10小瓶，(元)，只买10小瓶， 到A或C超市购买无优惠，到B超市购买有优惠，花费为（元）； 顾客乙：只买5个大瓶，(元)，已满30元，到A超市购买无优惠，到B超市购买九折，到C超市购买八折， 应该到C超市购买更便宜，花费； 顾客丙：买4大瓶6小瓶，(元)， 如果选A超市就是：元)，如果选B超市就是：(元)， 选C超市就是：(元)， 所以选C超市， 顾客丁：买1大瓶和2小瓶，(元)， 如果选A超市：(元)， 如果选B超市就是：(元)， 如果选C超市无优惠， 所以选A超市． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 B C C A 所花钱数 (元) 40 44 12.5 【变式10-3】（23-24七年级·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． 容器甲    容器乙     容器丙 (1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； (2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【答案】(1) (2)当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，圆柱的容积计算，关键是注意分类讨论． （1）甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，即乙容器水位达到甲容器中水的水位； （2）分水还未达到管子连接处、乙水位达到了管子连接处两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：分两种情况：①乙容器中水还未达到管子连接处，i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； ， 丙装满时间为， 即后，此时丙水位达到了管子连接处，，丙处水流入乙；此时容器乙高度增加速度， i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； 当时，， ii) 当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；此时丙水位达到了管子连接处，丙处水流入乙； 时，， 乙装满时间为； ②乙水位达到了管子连接处，当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时； 即后，，时， 综上，当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差． 【考点3 有理数的乘方】 1.乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。 2.科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 【题型11 有理数的乘方】 【例11】（23-24七年级·山东威海·期中）比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘方的运算，有理数的大小比较，先计算各数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ，， 而， ∴； 故答案为： 【变式11-1】（23-24七年级·湖南株洲·期中）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算. 【变式11-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生． (1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________． (2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至 【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围． 【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为， 故答案为：； （2）不能，∵ ， ∴不能用该系统全部识别； ∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位， 改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形， 规则不变，序号改为：， 如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1， 序号为， 第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1， 序号为， 当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1， 序号最大，为， ∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【变式11-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【题型12 利用非负性解决问题】 【例12】（23-24七年级·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 －1 1 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【详解】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键． 【变式12-1】（23-24七年级·四川内江·期中）若、满足，则（  ） A． B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】∵、满足， ∴，；，； 则． 故选：B． 【变式12-2】（23-24七年级·湖南岳阳·期中）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 【答案】，；（1）；（2） 【分析】归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可； （1）原式变形后，计算即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：第10个算式是， 第n个算式是； （1） = = =； （2）∵， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∴ = = = = 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式12-3】（23-24七年级·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米； (2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？ (3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？ (4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【答案】(1) ；； (2)秒或秒 (3)秒或秒 (4) 【分析】（1）先求出的值，然后根据甲、乙两动车长度相等求解； （2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可； （3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可； （4）确定同时在五峰山长江大桥上的开始时刻与结束时刻，计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ， ∴ ，， ∵甲、乙两动车长度相等 ∴ （米） （米） 故答案为：100，1400，1600； （2） 解：（米），（米）（秒） （秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米． （3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时； （米） （米） （米） （秒） 当点M在点C右侧时； （米） （米） （米） （秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米． （4）解：存在； 乘客M到达点B的时间为： （秒） 乘客M到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点B的时间为：（秒） ， （秒） 故的值为：； 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键． 【题型13 科学记数法】 【例13】（2024·河北·模拟预测）河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积约为19万平方千米．将19万用科学记数法表示为，关于m的描述，下列说法正确的是（   ） A．m为负数 B． C．m等于19万的整数位数 D．当m增加1时，原数扩大为原来的10倍 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；把19万改写成科学记数法为，可判断出A，B选项，根据19万的整数位数可判断C选项，根据m增加1后的数为1900000，可判断D选项． 【详解】解：19万， ， 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、19万的整数位数为6，故本选项不符合题意； 、当m增加1时，科学记数法表示的数为，与原数19万相比，扩大为原数的10倍，故本选项符合题意； 故选：． 【变式13-1】（2024·全国·模拟预测）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式13-2】（2024七年级·江苏·专题练习）已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 【答案】 6 2730000 【分析】此题主要考查了科学记数法．熟练掌握利用科学记数法表示的数与原数的关系，是解题关键． 用科学记数法表示绝对值较大数，的原数的整数位数是 ． 结合题中原数的整数位数是7，以及n与原数整数位数的关系，即可得出n的值，则原数即可得出． 【详解】∵是一个7位数， ∴，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 【变式13-3】（23-24七年级·全国·单元测试）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒可做 次运算（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，根据题意列式得到，再进行计算并把结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【题型14 利用乘方进行规律探究】 【例14】（23-24七年级·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 【变式14-1】（23-24七年级·全国·单元测试）观察下列算式： ；……，则的末尾数字是（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】观察可以发现末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把2021除以4余数为1，所以的末位数字与的末尾数字相同是2，然后再加3即可解答． 【详解】解：由 ；可以发现他们的末尾数字是4个数一个循环2、4、8、6、… ∵2021÷4＝505…1， ∴的与的末尾数字相同是2， ∴的末尾数字． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字类规律、有理数的乘方运算等知识点，根据题意找出末尾数字是4个数一个循环2、4、8、6、…是解答本题的关键． 【变式14-2】（23-24七年级·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”.如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，…，以此类推，第n部分的面积是(n是大于1的整数).请你用“数形结合”的思想计算+++…+＝ . 【答案】1﹣ 【分析】观察图形可知：阴影的部分的面积为，那么所求的式子其实就是正方形的面积－阴影部分的面积． 【详解】观察图形，可得阴影部分的面积=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．看懂图形的构成是解答本题的关键． 【变式14-3】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）概率学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：　　、　　； (2)关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C． ； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方　　； 的圈6次方　　； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ； (5)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3)（﹣）2，（﹣）4； (4)（）n﹣2； (5) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解：、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项说法正确； 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1；故选项说法正确； 、，，则；故选项说法错误； 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项说法正确； 故答案为：C； （3）解：将写成幂的形式为：， 的圈4次方， 5的圈5次方； 的圈6次方． 故答案为：，； （4）解：． 故答案为：； （5）解： ． 【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$