九年级数学上学期第一次月考（浙教版第1章～第2章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 C．矩形的两条对角线相等 D．菱形的每一条对角线平分一组对角 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 3．本学期学校大课间开设了四种运动游戏，分别为“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”，学校规定每人只能选择自己喜欢的一种参加．小明任选一种运动游戏，选中“足球”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图像与x轴交于，B两点（点A在点B左边），下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．点A坐标为（﹣2,0） D．当时，y随x值的增大而增大 5．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，顶点A正好在坐标原点处则酒杯总高度为（　　） A． B． C． D． 6．明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 9．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若函数是二次函数，则的值为 ． 12．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是 ． 13．口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ． 14．在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 15．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 16．已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 18．（本题8分）一个不透明的布袋里装有3个除颜色外，其他完全相同的球，其中1个红球，2个白球． (1)从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为______． (2)从中随机摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色的小球的概率． 19．（本题8分）如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 20．（本题8分）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)丙部分面积是否存在最大值？若存在，请先求出丙部分面积的取值范围，同时指出最大值；若不存在，请说明理由． 21．（本题8分）进入中考复习后，为了解所教班级学生复习备考情况，林老师对部分学生进行了跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：待进步．林老师将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图（如图），请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，林老师一共调查了_______名同学； (2)将条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，林老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，求所选两位同学恰好是一男一女的概率． 22．（本题10分）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型． 23．（本题10分）如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决： (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． (3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 24．（本题12分）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 C．矩形的两条对角线相等 D．菱形的每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件和随机事件的定义，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐一分析各选项． 【详解】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是必然事件； B、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，而菱形需有一个角为直角才是正方形，因此，满足条件的四边形可能是正方形（当菱形有直角时）也可能不是（普通菱形），结果不确定，属于随机事件； C、矩形的两条对角线相等是必然事件； D、菱形的每一条对角线平分一组对角是必然事件． 故选：B． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 3．本学期学校大课间开设了四种运动游戏，分别为“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”，学校规定每人只能选择自己喜欢的一种参加．小明任选一种运动游戏，选中“足球”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，利用概率公式可得出答案． 【详解】解：共有“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”4种等可能的结果，其中“足球”是其中一种结果， ∴这两人选择同一种运动的概率为． 故选：A． 4．二次函数的图像与x轴交于，B两点（点A在点B左边），下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．点A坐标为（﹣2,0） D．当时，y随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，即当时，y随x值的增大而增大；故D选项正确，符合题意； 当时，，解得，， ∴，故C选项不正确，不符合题意． 故选：D． 5．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，顶点A正好在坐标原点处则酒杯总高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 即， ∴对称轴为y轴， ∵为， ∴当时，代入解析式得， 即， ∴点到的距离为， ∴酒杯总高度为， 故选：C． 6．明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 【答案】C 【分析】本题主要考查用频率估计概率、概率的计算，掌握用频率估计概率成为解题的关键． 先根据统计图估计概率的范围，然后分别求出各选项的概率判断即可． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间． A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点的概率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的频率约为，不合题意； C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为． 故选：C． 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A.观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 8．已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质可得，，，即可判断①；根据二次函数与坐标轴的交点个数可判断②；根据时可判断③；根据对称轴可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴， 即，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵抛物线的顶点坐标为， ∴当且仅当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有②⑤，共个， 故选：． 9．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．当时，二次函数的相关函数为，利用临界点求出当时，函数与线段有一个交点，当或时，函数与线段有无交点；当时，二次函数的相关函数为，利用临界点求出当或时，函数与线段有一个交点；当时，函数与线段有两个交点；当时，函数与线段无交点．当线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，存在两种情况：函数与线段有一个交点，函数与线段有一个交点；函数与线段无交点，函数与线段有两个交点，即可得出的取值范围． 【详解】解：若，二次函数的相关函数为， 此时函数与轴的交点为， 当经过点时，此时函数与线段有一个交点， 则，解得：， 当时，即，此时函数与线段有一个交点， 综上，当时，函数与线段有一个交点； 当或时，函数与线段有无交点； ②若，二次函数的相关函数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的交点为， 当时，函数与线段有一个交点， 当抛物线与线段相切时，函数与线段有一个交点， 则，解得：， 综上，当或时，函数与线段有一个交点； 当时，函数与线段有两个交点； 当时，函数与线段无交点， 线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， 存在两种情况：函数与线段有一个交点，函数与线段有一个交点；函数与线段无交点，函数与线段有两个交点， 的取值范围为或， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 12．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移规律计算即可． 【详解】解：因为抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位， 所以抛物线解析式为， 故答案为：． 13．口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查简单的概率计算、解分式方程，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 故答案为：3． 14．在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入，即可求出x的值即可得到结果． 【详解】解：令，则， 解得或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， 故答案为：8． 15．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 16．已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 当时，；当时，；当时，； 当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大， 而此时，则函数在范围内的最小值不小于4，故满足题意； 当时，函数在内取得最小值， 由题意，只需满足，解得：， 即； 当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足，解得：， 故这样的t不存在， 综上，t的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 18．（本题8分）一个不透明的布袋里装有3个除颜色外，其他完全相同的球，其中1个红球，2个白球． (1)从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为______． (2)从中随机摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色的小球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式，列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到相同颜色的小球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （白，白） （白，白） 共有9种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的为5种， 所以两次摸出的球恰好颜色相同的概率为． 19．（本题8分）如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【答案】(1)点A的坐标是， (2)点B的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可； （2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标． 【详解】（1）由， 得当时，， 所以点A的坐标是， 设顶点为的抛物线的解析式为， 点在抛物线上，， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）联立， 得：，， 点A的坐标是， 点B的坐标为． 20．（本题8分）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)丙部分面积是否存在最大值？若存在，请先求出丙部分面积的取值范围，同时指出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，丙部分面积的取值范围是，最大值为当x=10时，. 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）根据题意，可知x的取值范围是10≤x＜20，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，，当x=20时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2） ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，当x=20时，；所以，最大值为当x=10时，.∴丙部分面积的最大值为． 21．（本题8分）进入中考复习后，为了解所教班级学生复习备考情况，林老师对部分学生进行了跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：待进步．林老师将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图（如图），请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，林老师一共调查了_______名同学； (2)将条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，林老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，求所选两位同学恰好是一男一女的概率． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了从扇形统计图和条形统计图获取信息，列表或画树状图求概率；能从扇形统计图和条形统计图获取正确的信息，会列表或画树状图求概率是解题的关键． （1）由等级的人数及所占百分比得，即可求解； （2）求出等级的女生人数为（名），等级的男生人数为：（名），补全图，即可求解； （3）列表找出所选两位同学恰好是一男一女的结果数，利用等可能概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：林老师一共调查了学生：（名）， 故答案为：； （2）解：等级的人数为：（名）， 等级的女生人数为：（名）， 等级的人数为：（名）， 等级的男生人数为：（名）， 补全图，如下： （3）解：列表如下： 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有等可能结果，是一男一女的结果有种， ， 故所选两位同学恰好是一男一女的概率为． 22．（本题10分）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型． 【答案】任务1：①；；②；任务2：①；②设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式，正确理解题意是解题的关键。 任务1：①，这件产品的销售利润（定价成本礼品价格）销售量；，这件产品的销售利润为（定价成本礼品价格）（定价成本）超过400的件数，据此求解即可； ②件产品的销售利润（销售价格成本）销售量； 任务2：①800件产品的销售总利润线下销售400件的利润线上销售400件的利润； ②设线上销售件，则线下销售件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案． 【详解】解：任务1：①当时，这件产品的销售利润为：元， 当时，这件产品的销售利润为：元． 故答案为：，； ②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：元； 故答案为：； 任务2：①设销售总利润为元． 由题意得，元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售件，则线下销售件，销售总利润为元， 当，即时， 由题意得， ∵， ∴当，即时，W最大，最大为44000元，不符合题意． 当，即时， 由题意得， ， ∵， ∴，即时，W最大，最大为46200， ∵， 设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． 23．（本题10分）如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决： (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． (3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)不能实现，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现； （3）求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最大高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； （3）解：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时，， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为， 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 24．（本题12分）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，确定直线经过定点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由二次函数性质可得当时，；当或时，；即可求出， 或，最后根据，为两个连续偶数确定具体的值即可； （3）先求出直线经过定点，再判断在抛物线上，即可得到直线与抛物线一个交点为，则或，据此分情况讨论，再根据在范围内，的取值恰好有3个整数值确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， ∵开口向下， ∴当时，；当或时，； ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴或， ∵，为两个连续偶数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴直线经过定点， ∵当时， ∴在抛物线上， ∵抛物线与直线（为常数且）相交于，两点， ∴或， 当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，则， 当时，，直线经过点时，，解得； 当时，，直线经过点时，，解得； ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值； 同理当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，； ∵， ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C C C B B B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．2． 12．． 13．3． 14．8． 15．． 16．． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 18．（本题8分）（1）解：从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （白，白） （白，白） 共有9种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的为5种， 所以两次摸出的球恰好颜色相同的概率为． 19．（本题8分）（1）由， 得当时，， 所以点A的坐标是， 设顶点为的抛物线的解析式为， 点在抛物线上，， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）联立， 得：，， 点A的坐标是， 点B的坐标为． 20．（本题8分）（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2） ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，当x=20时，；所以，最大值为当x=10时，.∴丙部分面积的最大值为． 21．（本题8分）（1）解：林老师一共调查了学生：（名）， 故答案为：； （2）解：等级的人数为：（名）， 等级的女生人数为：（名）， 等级的人数为：（名）， 等级的男生人数为：（名）， 补全图，如下： （3）解：列表如下： 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有等可能结果，是一男一女的结果有种， ， 故所选两位同学恰好是一男一女的概率为． 22．（本题10分）解：任务1：①当时，这件产品的销售利润为：元， 当时，这件产品的销售利润为：元． 故答案为：，； ②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：元； 故答案为：； 任务2：①设销售总利润为元． 由题意得，元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售件，则线下销售件，销售总利润为元， 当，即时， 由题意得， ∵， ∴当，即时，W最大，最大为44000元，不符合题意． 当，即时， 由题意得， ， ∵， ∴，即时，W最大，最大为46200， ∵， 设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． 23．（本题10分）（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； （3）解：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时，， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为， 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 24．（本题12分）（1）解：将，代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， ∵开口向下， ∴当时，；当或时，； ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴或， ∵，为两个连续偶数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴直线经过定点， ∵当时， ∴在抛物线上， ∵抛物线与直线（为常数且）相交于，两点， ∴或， 当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，则， 当时，，直线经过点时，，解得； 当时，，直线经过点时，，解得； ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值； 同理当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，； ∵， ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$