八年级数学上学期第一次月考（浙教版2024第1章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C D A B A C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．0 12．钝角． 13．3． 14．51． 15．． 16．； 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题6分）∵ ∴ ∴ 又∵，， ∴． 18．（本题8分）连接，作线段的垂直平分线，与的平分线交于点P，则点P到点，的距离相等，到，的距离相等，作图如下，点P即为所求，    19．（本题8分）（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （4分） （2）解：设，则 ∵ 平分 ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ （4分） 20．（本题8分）（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°，（4分） （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． （4分） 21．（本题8分）（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ．（4分） 22．（本题10分）（1）①因为∠B+∠C=180°，∠B=90°， 所以∠C=180°－90°=90°。 所以DB和DC是角平分线AD上的点到角两边的距离， 所以DB=DC.（3分） ②如图（2）中，分别作△ABD与△ACD的高线， 因为点D在角平分线上，所以DE=DF. 根据S△ABD－S△ACD=2可知： AB×h－AC×h=2， h×（AB-AC）=2 因为h=2，解得AB-AC=2 （3分） （2）如图（2），过点D分别作AB和AC上的垂线，垂足分别为点E和点F，由（1）得DE=DF； 因为∠ABD+∠ACD=180°，∠DCF+∠ACD=180°，所以∠DCF=∠B； 在△DCF与△DBE中 ， 所以△DCF≌△DBE（AAS） 所以DB=DC （4分） 23．（本题12分）问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：（3分） （2）由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：（3分） 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：；（3分） （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ；（3分） 24．（本题12分）（1）垂直平分线 SSS （4分） （2）如果选择①，证明： 如图3分别作CP⊥AB，FQ⊥DE，那么∠APC=∠DQF=90° 在△ACP和△DFQ中 ∴△ACP≌△DFQ（AAS） ∴CP=FQ 又因为BC=EF ，△BCP与△EFQ都是直角三角形 根据（1）可知，△BCP≌△EFQ 那么∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 所以 △ABC≌△DEF（AAS）。 （4分）P Q 如果选择②，证明： 如图4分别作CP⊥AB，FQ⊥DE，交AB于DE的延长线于点P和点Q； 则∠APC=∠DQF=90° 在△ACP和△DFQ中 ∴△ACP≌△DFQ（AAS） ∴CP=FQ 又因为BC=EF， 根据（1）可知，△BCP≌△EFQ， 那么∠CBP=∠FEQ 所以∠ABC=∠DEF 在△ABC和△DEF中 所以 △ABC≌△DEF（AAS）。 （4分）P Q (3)解：如图，连结AD， 因为AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD=AD，且易知△ABD与△ACD均为钝角三角形 根据（2）可知，△ABD≌△ACD，所以BD=CD=2。 ∠ADB=180°－∠BAD－∠ABD ∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD 所以∠ADB+∠ADC=360°－（∠BAD+∠CAD）－30°－30°=270° 所以∠BDC=360°－270°=90° 所以△BDC是等腰直角三角形，作DG⊥BC，易知△BDG和△CDG都是等腰直角三角形， 所以BC=2BG=2DG，设BC=2DG=2x， S△BDC=BD×CD=DG×BC，即×2×2=×2x×x 解得x=， BC=.（4分） A B C D G 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级上册第1章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③在三角形中，两边之和大于第三边；④一个平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，的垂直平分线交于点D，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 9．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）． 12．如果一个三角形的两个内角都小于，那么这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 13．如图，，分别是，的中线，若的面积为12，则的面积为 ． 14．如图，在中，，的平分线交边于点D，若，，则的面积是 ． 15．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 16．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为 ， ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题6分）如图，点E、F在线段上，，，，与交于点O．求证：． 18．（本题8分）如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 19．（本题8分）如图，点D，E分别在的边，上，点F在线段上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 20．（本题8分）如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 21．（本题8分）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 22．（本题10分）根据图片回答下列问题． (1)①如图（1），AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． ②如图（2）。若已知S△ABD－S△ACD=2，点D到AB的距离为2，那么AB－AC= . (2)如图（2），AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC 23．（本题12分）【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 24．（本题12分）在八年级上册数学浙教版新教材中，学习了用“SAS”判定两个三角形全等的知识后，课本第34提出了关于“SSA”是否可以用来判断两个三角形全等的探究活动。现在我们进行深入的讨论： 问题 提出 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 初步思考 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 深入探究 （1）第一种情况：当是直角时，？ 如图2，在和中，，，∠B=∠E=90°。有同学提出：分别延长CB和FE使得BP=BC，EQ =EF；根据 的性质得到AC=AP，DF=DQ；然后通过 的依据判定△ACP≌△DFQ，然后证明∠C=∠F，这样就能得证。 （2）①当是锐角时，？ 如图3，在和中，，，∠A=∠D，这两个三角形都是锐角三角形。 ②当是钝角时，？ 如图4，在和中，，，，且、都是钝角。 姜姜根据（1）中的提示，很快就证明了这两个问题。请你从①或②中任选一项进行证明。 （3）如图5所示，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD=∠A=30°，若BD=2，求BC的长。 A B C D 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级上册第1章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在中，已知，根据三角形内角和定理，得： ， 故选：C． 2．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 3．在中，，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是解答此题的关键． 已知三角形三个内角的度数之比，可以设三个内角的度数分别为，根据三角形的内角和等于，列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状． 【详解】解：设三个内角的度数分别为， 则， 解得 ，，， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 4．如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，逐项分析即可求解． 【详解】解：若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故A选项不符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故B选项不符合题意； 若添加这个条件， ∵、分别是、的对边， 不能判定，故C选项符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故D选项不符合题意． 故选：C． 5．有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③在三角形中，两边之和大于第三边；④一个平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题重点考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系． 逐一分析判定，即可解答． 【详解】解：①对顶角相等，正确，故为真命题；②内错角相等，错误，是两直线平行，内错角相等；故为假命题；③在三角形中，两边之和大于第三边，正确，故为真命题；④在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行，正确，故为真命题． ∴真命题有3个． 故选：C． 6．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 7．如图，已知，，的垂直平分线交于点D，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．根据垂直平分线的性质得，由的周长和的长度可得的长度，即可得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长等于， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为：． 故选：A． 8．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 9．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 错误，不符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）． 【答案】0 【分析】本题考查的是举反例及代数式的值问题，掌握代数式的求值方法是解题关键．把代入即可得出答案． 【详解】解：当时，， ∴“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题， 故答案为：0 12．如果一个三角形的两个内角都小于，那么这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用、三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形内角和定理求出第三个角后即可判断． 【详解】解：一个三角形的两个内角都小于， 即两内角和， 又三角形内角和为， 第三个角， 这个三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 13．如图，，分别是，的中线，若的面积为12，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是根据三角形中线求面积，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积． 根据三角形的中线能够平分三角形面积推得即可得解． 【详解】解：，分别是，的中线， ，， ， ． 故答案为：3． 14．如图，在中，，的平分线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】51 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 如图：过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图：过点D作于E， ∵的平分线，， ∴， ∴的面积是. 故答案为51． 15．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识．证明，则，再证明，则，得到垂直平分，连接与交于点，交于点，连接，由垂直平分，证明，证明当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，由，即可得到的最小值为，证明，，则． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， ∴垂直平分， 连接与交于点，交于点，连接， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为， 垂直平分， ， 又， ， 故答案为：； 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题6分）如图，点E、F在线段上，，，，与交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据得到，然后结合，即可证明出． 【详解】∵ ∴ ∴ 又∵，， ∴． 18．（本题8分）如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】见详解 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作的平分线两者交于点P，点P即为所求． 【详解】连接，作线段的垂直平分线，与的平分线交于点P，则点P到点，的距离相等，到，的距离相等，作图如下，点P即为所求，    19．（本题8分）如图，点D，E分别在的边，上，点F在线段上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． （1）要证明，可通过平行线的性质和已知角的关系，利用同角的补角相等来推导． （2）先根据角平分线的定义得到角的关系，再结合平行线的性质以及已知的角的倍数关系，通过设未知数，利用三角形内角和定理来求解的度数． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：设，则 ∵ 平分 ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 20．（本题8分）如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 21．（本题8分）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 22．（本题10分）根据图片回答下列问题． (1)①如图（1），AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． ②如图（2）。若已知S△ABD－S△ACD=2，点D到AB的距离为2，那么AB－AC= . (2)如图（2），AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC 【答案】(1) ①= ② 2 (2)①见解析 【分析】（1）①根据角平分线的性质就可以得到；②通过作垂线可知两三角形的高相等，则面积差与底边长的差相关，列式计算即可。 （2）通过（1）中的证明过程，去做辅助线，证明DB与DC相等； 【详解】（1）①因为∠B+∠C=180°，∠B=90°， 所以∠C=180°－90°=90°。 所以DB和DC是角平分线AD上的点到角两边的距离， 所以DB=DC. ②如图（2）中，分别作△ABD与△ACD的高线， 因为点D在角平分线上，所以DE=DF. 根据S△ABD－S△ACD=2可知： AB×h－AC×h=2， h×（AB-AC）=2 因为h=2，解得AB-AC=2 （2）如图（2），过点D分别作AB和AC上的垂线，垂足分别为点E和点F，由（1）得DE=DF； 因为∠ABD+∠ACD=180°，∠DCF+∠ACD=180°，所以∠DCF=∠B； 在△DCF与△DBE中 ， 所以△DCF≌△DBE（AAS） 所以DB=DC 23．（本题12分）【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： （2）由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； 24．（本题12分）在八年级上册数学浙教版新教材中，学习了用“SAS”判定两个三角形全等的知识后，课本第34提出了关于“SSA”是否可以用来判断两个三角形全等的探究活动。现在我们进行深入的讨论： 问题 提出 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 初步思考 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 深入探究 （1）第一种情况：当是直角时，？ 如图2，在和中，，，∠B=∠E=90°。有同学提出：分别延长CB和FE使得BP=BC，EQ =EF；根据 的性质得到AC=AP，DF=DQ；然后通过 的依据判定△ACP≌△DFQ，然后证明∠C=∠F，这样就能得证。 （2）①当是锐角时，？ 如图3，在和中，，，∠A=∠D，这两个三角形都是锐角三角形。 ②当是钝角时，？ 如图4，在和中，，，，且、都是钝角。 姜姜根据（1）中的提示，很快就证明了这两个问题。请你从①或②中任选一项进行证明。 （3）如图5所示，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD=∠A=30°，若BD=2，求BC的长。 A B C D 【答案】(1)垂直平分线 SSS (2)详见详解 (3) 【分析】（1）根据提示补充三角形辅助线后，可以发现垂直平分线起到了重要作用，且可以通过边边边判定三角形全等，来证明出一个必要条件，最后证明两个直角三角形全等。 （2）在已知（1）中的结论的情况下，在两个锐角三角形中或者两个钝角三角形中作垂线，构成两个全等的直角三角形，可以让证明事半功倍，在作图时要注意，因为垂直会破坏其中一条边使得已知相等的两条边一分为二，所以尽量选择以AB为底作垂线比较好； （3）此题的关键是如何利用（1）、（2）中得出的结论，由已知条件可知，连结AD可以构建一对全等的钝角三角形，同时已知角的度数，方便求得∠BDC的度数，发现是直角三角形，那么可以考虑用面积法求出BC的长来，当然如果你记得等腰直角三角形的性质，那么可以直接得出BC的长。 【详解】（1）垂直平分线 SSS （2）如果选择①，证明： 如图3分别作CP⊥AB，FQ⊥DE，那么∠APC=∠DQF=90° 在△ACP和△DFQ中 ∴△ACP≌△DFQ（AAS） ∴CP=FQ 又因为BC=EF ，△BCP与△EFQ都是直角三角形 根据（1）可知，△BCP≌△EFQ 那么∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 所以 △ABC≌△DEF（AAS）。 P Q 如果选择②，证明： 如图4分别作CP⊥AB，FQ⊥DE，交AB于DE的延长线于点P和点Q； 则∠APC=∠DQF=90° 在△ACP和△DFQ中 ∴△ACP≌△DFQ（AAS） ∴CP=FQ 又因为BC=EF， 根据（1）可知，△BCP≌△EFQ， 那么∠CBP=∠FEQ 所以∠ABC=∠DEF 在△ABC和△DEF中 所以 △ABC≌△DEF（AAS）。 P Q (3)解：如图，连结AD， 因为AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD=AD，且易知△ABD与△ACD均为钝角三角形 根据（2）可知，△ABD≌△ACD，所以BD=CD=2。 ∠ADB=180°－∠BAD－∠ABD ∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD 所以∠ADB+∠ADC=360°－（∠BAD+∠CAD）－30°－30°=270° 所以∠BDC=360°－270°=90° 所以△BDC是等腰直角三角形，作DG⊥BC，易知△BDG和△CDG都是等腰直角三角形， 所以BC=2BG=2DG，设BC=2DG=2x， S△BDC=BD×CD=DG×BC，即×2×2=×2x×x 解得x=， BC=. 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