5.1.2 弧度制 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1.2　弧度制 同步练习 考点一　弧度制 1.把-化成角度是(　　) A.-960°　　B.-480°　　C.-120°　　D.-60° 2.1 095°化成弧度为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.-是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角　　 C.第三象限角　　D.第四象限角 考点二　用弧度制表示终边相同的角 4.(多选题)终边在直线y=x上的角有(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 5.下列各组角中,终边相同的角是(　　) A.π与kπ+(k∈Z) B.kπ±与π(k∈Z) C.kπ+与kπ±(k∈Z) D.(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z) 6.已知角α的终边落在阴影区域内(不含边界),则角α的集合为(　　) A.α+2kπ<α<+2kπ,k∈Z B.α+<α<+,k∈Z C. D. 考点三　扇形的弧长公式及面积公式的应用 7.在扇形OAB中,已知O为圆心,∠AOB=,OA=OB=2,则下列说法正确的个数是(　　) ①∠AOB=30°;②连接AB,则AB=;③扇形OAB的周长为+4;④扇形OAB的面积为. A.1　　B.2　　C.3　　D.4 8.某机器上有相互啮合的两个齿轮,大轮有50个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,若小轮的半径为2 cm,则小轮圆周上一点每秒转过的弧长是(　　) A. cm　　B. cm　　C.5π cm　　D.10π cm 9.已知某扇形的周长为4,则该扇形的面积的最大值为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 10.已知一个扇形的圆心角为30°,弧长为,则该扇形的面积为　　　　.  11.已知扇形的面积为4,半径为2,则扇形的圆心角的弧度数为　　　　,周长为　　　　.  12.一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的半径为　　　　.  13.《九章算术》是我国古代的数学巨著,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图中阴影部分所示)是由圆弧和其所对弦围成的,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. (1)当圆心角为π,矢为2时,求弧田的面积; (2)已知该弧田所在扇形的圆心角为α,半径为r,周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大? 14.如图所示,某城市中心有一圆形广场,政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域(由扇形OBC去掉扇形OAD构成)种植花卉,已知OB=20米,OA=x米,扇形环面区域的面积为100平方米,圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式; (2)记花卉周围栅栏的长度为y米,当x取何值时,y的值最小?并求出最小值. 考点四　弧度制及其应用 15.若α=-3,则α是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角　　C.第三象限角　　D.第四象限角 16.军事上通常使用密位制来度量角,将一个圆周分为6 000等份,每一份的弧所对的圆心角(单位:弧度)叫做1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,两地堡之间的距离是54米(近似等于扇形的弧长),则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=(注:π=3)(　　) A.30密位　　B.60密位 C.90密位　　D.180密位 17.如图,在半径为1 cm的圆周上,一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A(1,0)出发,按逆时针匀速爬行,设红蚂蚁每秒爬过α弧度,黑蚂蚁每秒爬过β弧度(0<α<β<π),两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限,第15秒时又都回到点A.若两只蚂蚁爬行的速度大小保持不变,红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行,黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行,求它们从出发后到第二次相遇时,黑蚂蚁爬过的路程. 答案 1.B　-=-×180°=-480°. 2.D　由π rad=180°,得1°= rad,则1 095°==. 3.C　-=--4π,因为-∈,所以-是第三象限角. 4.AC　设终边在直线y=x上的角为α,则α=nπ+,n∈Z, 当n=0时,α=;当n=-1时,α=-,结合选项知A,C正确. 5.D　对于A,当k∈Z时,kπ+表示终边在y轴上的角,表示终边在坐标轴上的角,故A错误; 对于B,当k∈Z时,kπ±表示终边在直线y=±x上的角,表示终边在直线y=±x上的角以及终边在x轴上的角,故B错误; 对于C,当k∈Z时,kπ+表示终边在直线y=x上的角,kπ±表示终边在直线y=±x上的角,故C错误; 对于D,当k∈Z时,(2k+1)π表示终边在x轴非正半轴上的角,(4k±1)π表示终边在x轴非正半轴上的角,故D正确. 6.C　易知直线y=x与x轴的夹角为,直线y=x与x轴的夹角为,故终边落在直线y=x上的角为+kπ(k∈Z),终边落在直线y=x上的角为+kπ(k∈Z), 故角α的集合为. 7.A　易得∠AOB==×°=60°,所以①不正确; 由∠AOB=,且OA=OB=2,可得△OAB为等边三角形,所以AB=2,所以②不正确; 由扇形的弧长公式,可得的长度为×2=, 所以扇形的周长为+2+2=+4,所以③正确; 由扇形的面积公式,可得扇形的面积为××22=,所以④不正确. 8.B　由大轮有50个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,得小轮每分钟转=10圈, 因此小轮圆周上一点每秒转过的弧度数的绝对值为=, 所以小轮圆周上一点每秒转过的弧长是×2=(cm). 9.A　设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=4,即l=4-2r(0<r<2), 则扇形的面积S=lr=(4-2r)r=-r2+2r=-(r-1)2+1,0<r<2, 故当r=1时,S有最大值,最大值为1. 10.答案　 解析　设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.易得30°=30×=. 因为=×r,所以r=2,所以S=lr=××2=. 11.答案　2;8 解析　设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,弧长为l,则α·22=4,所以α=2, 所以l=αr=2×2=4,故扇形的周长为l+2r=4+4=8. 12.答案　2 解析　设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,则l=,S=lr=××r=,解得r=2. 13.解析　(1)如图所示, 由已知得∠BDO=,∠AOB=,CD=2, 因为OA=OB,所以∠OBA=∠OAB=. 设扇形的半径为R,则AB=2×OB=R,OD=OB=, ∴CD=OC-OD=R-=2,解得R=4, ∴弧田的面积为S扇形AOB-S△AOB=××R2-OD·AB=R2-R2=-4. (2)设扇形的弧长为l,则l=αr,故该扇形的周长为αr+2r=c,∴r=, ∴扇形的面积S=αr2==≤=, 当且仅当α=,即α=2时,等号成立, 故α为2弧度时,该扇形的面积最大. 14.解析　(1)由扇形的面积公式可得θ×202-θ·x2=100,所以θ=(0<x<20). (2)依题意可得的长为xθ,的长为20θ, 所以y=xθ+20θ+2(20-x), 将θ=代入上式,整理可得y=2(20-x)+, 因为0<x<20,所以20-x>0,所以y=2(20-x)+≥2=40,当且仅当x=10时取等号,所以栅栏长度的最小值为40 15.C　因为-3∈,所以α是第三象限角. 16.A　由题意得1密位==弧度,扇形的弧长近似等于54米,所以圆心角近似为= 弧度,所以α=÷=30(密位),所以迫击炮转动的角度为30密位. 17.信息提取　①红蚂蚁每秒爬过α弧度,黑蚂蚁每秒爬过β弧度(0<α<β<π);②两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限;③第15秒时都回到点A. 数学建模　利用信息②列出不等式,确定α,β的范围,利用信息③列出等式,联立等式与不等式求出α,β;利用第二次相遇时两只蚂蚁爬过的弧度之和为2倍周角求出时间,再利用黑蚂蚁的速度求出它爬过的路程. 解析　由已知得即得<k<n<,k,n∈N*,解得k=2,n=3,所以α=π,β=π, 设它们从点A出发后到第二次相遇时,用的时间为t秒, 则(α+β)t=2×2π,即t=4π,解得t=6, 则黑蚂蚁爬过的路程l=π×6×1=π(cm). 7 学科网（北京）股份有限公司 $$