八年级数学上学期第一次月考（人教版2024第13～14章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，点P是直线AB外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线AB的垂线CD的示意图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形一边长是5，一边长是11，它的周长是（　　） A．27或21 B．27 C．21 D．16 3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（　　） A．5 cm B．3 cm C．8 cm D．2 cm 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 5．甲、乙两位同学进行一种数学游戏． 游戏规则是：两人轮流给△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB＝A′B′ 2 乙 BC＝B′C′ 3 甲 … ①若第3轮甲添加AC＝A′C′，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°； 结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 7．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 8．静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝9，CD＝4，则AD的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 10．如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 11．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 12．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　 　 ． 14．如图，将一副三角板如图摆放（一块三角板的直角边与另一块三角板的斜边在同一直线上），那么∠α＝　 　 ． 15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为 　 　 ． 17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，则AE的长为 　 　 ． 18．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　 　 秒． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|． 20．（8分）如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°． （1）求证：∠CEF＝∠EAD； （2）若DH平分∠BDE，∠2＝30°，求∠3的度数． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 22．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交BC的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接AD，作射线CE，交AD于点F． （1）求证：△ACF≌△DCF； （2）若∠BAC＝∠DAC，求∠B的度数． 24．（10分）嘉淇在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．试探索∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）嘉淇阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 20 15 α 30 上表中α＝ 　 　 ． （2）猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，并说明理由． （3）如图2，过EA延长线上一点F作FG⊥BC，垂足G落在BC的延长线上，当∠ACB＝78°，∠B＝22°时，直接写出∠F的度数． 25．（10分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则直接写出∠BOC与∠A的关系． 26．（10分）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中AD的取值范围：　 　 ； （2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段AD和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，点P是直线AB外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线AB的垂线CD的示意图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：点P是直线AB外一点，利用直角三角板过点P画直线AB的垂线CD的示意图， 根据垂线的定义可知选项C中，直线CD经过点P，CD⊥AB，符合题意． 故选：C． 2．已知等腰三角形一边长是5，一边长是11，它的周长是（　　） A．27或21 B．27 C．21 D．16 【答案】B 【解答】解：∵等腰三角形一边长是5，一边长是11， 根据三角形三边关系可得腰长为11，底边长5， ∴它的周长是11+11+5＝27， 故选：B． 3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（　　） A．5 cm B．3 cm C．8 cm D．2 cm 【答案】B 【解答】解：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∴△ABD的周长﹣△ACD的周长 ＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD） ＝AB﹣AC ＝6﹣3 ＝3（cm）， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4， ∵BC＝3， ∴CE＝1， ∴AD+CE+AC+DE＝2+1+4+4＝11， 即阴影部分的周长为11， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 5．甲、乙两位同学进行一种数学游戏． 游戏规则是：两人轮流给△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB＝A′B′ 2 乙 BC＝B′C′ 3 甲 … ①若第3轮甲添加AC＝A′C′，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：①若第3轮甲添加AC＝A′C′根据SSS即可判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意； ②若第3轮甲添加条件∠C＝∠C′，SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′，则甲获胜，故说法正确，符合题意； ③若乙第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意； 故选：D． 6．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°； 结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【解答】解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°， ∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°， ∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°， ∵BC 平分∠OBA， ∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意； 结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下： ∵∠BAD＝∠C+∠ABC， ∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC， ∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO， ∴，∠ABC∠ABO． ∴∠C∠MAB∠ABO， 又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO， ∴∠C∠MAB∠ABO （∠MAB﹣∠ABO） 90°＝45°． ∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 7．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等， 设点O到AB的距离为a， 则S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝5：6：7， 故选：D． 8．静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 【答案】A 【解答】解：∵OF1∥AC，OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．∠A＝α，如图， ∴∠2＝∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∠F3OF1＝180°﹣∠2＝90°+α， ∵OF2⊥OF1， ∴∠F1OF2＝90°， ∴∠F2OF3＝360°﹣90°﹣（90°+α）＝180°﹣α； 故选：A． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝9，CD＝4，则AD的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠F＝∠CDE，∠FBE＝∠C， ∵E为BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（AAS）， ∴BF＝CD，EF＝ED， ∵B＝9，CD＝4， ∴CD＝4， ∴AF＝AB+BF＝13， ∵AE⊥DE，EF＝ED， ∴AE是线段DF的垂直平分线， ∴AD＝AF＝13． 故选：C． 10．如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：如图，由基本作图可知，BP平分∠ABC， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝4， ∴DF＝DE＝4， ∵∠ACB＝45°． ∴∠CDF＝90°﹣45°＝45°＝∠ACB， ∴CF＝DF＝4， ∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8， 故选：C． 11．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， ∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED， ∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°． ∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°， 又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即， ∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°， ∴． 故选：B． 12．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【解答】解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE， ∵∠ABC＝120°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形， ∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠ABD＝∠E， ∴△ABD≌△AEC（ASA）， ∴BD＝CE， ∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5， ∴BD＝5， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　2（答案不唯一）　 ． 【答案】2（答案不唯一）． 【解答】解：∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝3，b＝2， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5， ∴第三边长c可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 14．如图，将一副三角板如图摆放（一块三角板的直角边与另一块三角板的斜边在同一直线上），那么∠α＝　75°　 ． 【答案】75°． 【解答】解：由题意知：∠EFB＝45°，∠ABC＝60°， ∴∠FCB＝180°﹣∠EFB﹣∠ABC＝75°， ∴∠α＝75°， 故答案为：75°． 15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【答案】1 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为 　65°　 ． 【答案】65°． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°． 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠CDE＝∠BFD， ∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°， ∴∠EDF＝∠B＝65°． 故答案为：65°． 17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，则AE的长为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴DC＝DF， 在△DCE和△DFB中， ， ∴△DCE≌△DFB（AAS）， ∴BF＝CE＝7， ∴AF＝AB﹣BF＝16﹣7＝9， 在Rt△ADC与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL）， ∴AC＝AF＝9， ∴AE＝AC﹣CE＝9﹣7＝2． 故答案为：2． 18．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　或　 秒． 【答案】或． 【解答】解：由题意，∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE． ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）． ∴BO＝AC＝7． ①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝7﹣3t， ∴t＝7﹣3t，解得t． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝3t﹣7， ∴t＝3t﹣7，解得t． 综上，t或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|． 【答案】（1）1＜c＜13． （2）2c﹣2a． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：b﹣a＜c＜b+a， ∵a＝6，b＝7， ∴7﹣6＜c＜7+6， ∴1＜c＜13． （2）由三角形三边关系定理得到：b+c＞a，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c） ＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c ＝2c﹣2a． 20．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°． （1）求证：∠CEF＝∠EAD； （2）若DH平分∠BDE，∠2＝30°，求∠3的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）105°． 【解答】证明：（1）如图所示： ∵∠3＝∠2+∠4，∠1+∠3＝180°， ∴∠1+∠4+∠2＝180°，即∠BDE+∠2＝180°， ∴EF∥AB， ∴∠CEF＝∠EAD； 解：（2）∵∠3＝∠2+∠4，∠1+∠3＝180°， ∴∠1+∠4+∠2＝180°， ∵∠2＝30°， ∴∠1+∠4＝180°﹣30°＝150°， ∵DH平分∠BDE， ∴∠1＝∠4＝75°， ∴∠3＝∠2+∠4＝30°+75°＝105°． 21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 【答案】（1）72°； （2）证明见解答过程． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交BC的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接AD，作射线CE，交AD于点F． （1）求证：△ACF≌△DCF； （2）若∠BAC＝∠DAC，求∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由作图过程可得，AC＝DC，CE⊥AD， ∴∠AFC＝∠DFC＝90°． 在Rt△ACF和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△DCF（HL）． （2）解：∵AC＝DC， ∴∠CAD＝∠ADC， ∴∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝2∠DAC． ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACB＝2∠BAC． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝2∠BAC． ∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝36°， ∴∠B＝72°． 24．嘉淇在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．试探索∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）嘉淇阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 20 15 α 30 上表中α＝ 　20　 ． （2）猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，并说明理由． （3）如图2，过EA延长线上一点F作FG⊥BC，垂足G落在BC的延长线上，当∠ACB＝78°，∠B＝22°时，直接写出∠F的度数． 【答案】（1）20； （2），理由见解答； （3）28°． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°， ∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°， ∴， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣30°＝20°， 故答案为：20． （2）猜想：，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣∠C， ∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC ＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C） （∠C﹣∠B）． （3）∵AD⊥BC，FG⊥BC， ∴AD∥FG， ∴． 25．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则直接写出∠BOC与∠A的关系． 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析； （3），理由见解析． 【解答】解：（1）， 理由：∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴，， ∴， 又∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴， ∴； （2）， 理由：∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的角平分线， ∴，， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴， ∵∠2是△BOC的一个外角， ∴； （3）结论：， ∵∠DBC是△ABC的一个外角，∠BCE是△ABC的一个外角， ∴∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点， ∴，， ∴， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴， ∴在△OBC中，． 26．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中AD的取值范围：　2＜AD＜8　 ； （2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段AD和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）2＜AD＜8； （2）数量关系是：AC＝BM，位置关系是：AC∥BM，证明见解答过程； （3）数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF，证明见解答过程． 【解答】解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，如图2所示： ∴AM＝DM+AD＝2AD， 在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDM和△ADC中， ， ∴△BDM≌△ADC（SAS）， ∴BM＝AC＝6， 在△ABM中，由三角形三边之间关系得：AB﹣BM＜AM＜AB+BM， ∴10﹣6＜2AD＜10+6， ∴2＜AD＜8， ∴BC边上的中线AD的取值范围是：2＜AD＜8， 故答案为：2＜AD＜8； （2）猜想图2中AC与BM的数量关系是：AC＝BM，位置关系是：AC∥BM，证明如下： 由（1）可知：△BDM≌△ADC， ∴BM＝AC，∠M＝∠CDA， ∴AC∥BM， 即AC与BM的数量关系是：AC＝BM；位置关系是：AC∥BM； （3）线段AD和线段EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF，证明如下： 延长AD到N，使DN＝DA，连接BN，延长DA交EF于点H，如图3所示： ∴AN＝DN+AD＝2AD， 同（1）证明：△BDN≌△CDA（SAS）， ∴BN＝AC，∠N＝∠CAD， ∵AC＝AF， ∴BN＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∵∠N＝∠CAD， ∴BN∥AC， ∴∠BAC+∠ABN＝180°， ∴∠ABN＝∠EAF， 在△ABN和△EAF中， ， ∴△ABN≌△EAF（SAS）， ∴AN＝EF，∠BAN＝∠E， ∴2AD＝EF， 即ADEF； ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAN+∠EAH＝90°， ∴∠E+∠EAH＝90°， 在△AEH中，∠AHE＝180°﹣（∠E+∠EAH）＝90°， ∴AH⊥EF， 即AD⊥EF， 故线段AD和线段EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B C D B D A C C B B 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．2（答案不唯一） 14．75° 15．1 16．65° 17．2 18．或 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：b﹣a＜c＜b+a， （2分） ∵a＝6，b＝7， ∴7﹣6＜c＜7+6， （3分） ∴1＜c＜13． （4分） （2）由三角形三边关系定理得到：b+c＞a，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， （6分） ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c） ＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c ＝2c﹣2a． （8分） 20．（8分） 【解答】证明：（1）如图所示： ∵∠3＝∠2+∠4，∠1+∠3＝180°， ∴∠1+∠4+∠2＝180°，即∠BDE+∠2＝180°， （2分） ∴EF∥AB， （3分） ∴∠CEF＝∠EAD； （4分） （2）∵∠3＝∠2+∠4，∠1+∠3＝180°， ∴∠1+∠4+∠2＝180°， ∵∠2＝30°， ∴∠1+∠4＝180°﹣30°＝150°， （5分） ∵DH平分∠BDE， ∴∠1＝∠4＝75°， （7分） ∴∠3＝∠2+∠4＝30°+75°＝105°． （8分） 21．（8分） 【解答】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， （2分） ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， （3分） ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （4分） （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， （5分） ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， （7分） ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． （8分） 22．（8分） 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． （1分） 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， （3分） ∴CF＝EB． （4分） （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， （6分） ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， （7分） 解得x＝2，即CF＝2． （8分） 23．（10分） 【解答】（1）证明：由作图过程可得，AC＝DC，CE⊥AD， （1分） ∴∠AFC＝∠DFC＝90°． （2分） 在Rt△ACF和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△DCF（HL）． （4分） （2）解：∵AC＝DC， ∴∠CAD＝∠ADC， （5分） ∴∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝2∠DAC． （6分） ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACB＝2∠BAC． （7分） ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝2∠BAC． （8分） ∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝36°， （9分） ∴∠B＝72°． （10分） 24．（10分） 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°， （1分） ∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°， ∴， （2分） ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣30°＝20°， （3分） 故答案为：20． （2）猜想：，理由如下： （4分） ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣∠C， （5分） ∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， （6分） ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC ＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C） （∠C﹣∠B）． （7分） （3）∵AD⊥BC，FG⊥BC， ∴AD∥FG， （8分） ∴． （10分） 25．（10分） 【解答】解：（1）， 理由：∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴，， ∴， （1分） 又∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴， （2分） ∴； （3分） （2）， 理由：∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的角平分线， ∴，， （4分） 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴， （5分） ∵∠2是△BOC的一个外角， ∴； （6分） （3）结论：， ∵∠DBC是△ABC的一个外角，∠BCE是△ABC的一个外角， ∴∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， （7分） ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点， ∴，， ∴， （8分） ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴， （9分） ∴在△OBC中，． （10分） 26．（10分） 【解答】解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，如图2所示： ∴AM＝DM+AD＝2AD， 在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDM和△ADC中， ， ∴△BDM≌△ADC（SAS）， （2分） ∴BM＝AC＝6， （3分） 在△ABM中，由三角形三边之间关系得：AB﹣BM＜AM＜AB+BM， ∴10﹣6＜2AD＜10+6， ∴2＜AD＜8， ∴BC边上的中线AD的取值范围是：2＜AD＜8， （4分） （2）猜想图2中AC与BM的数量关系是：AC＝BM，位置关系是：AC∥BM，证明如下： 由（1）可知：△BDM≌△ADC， ∴BM＝AC，∠M＝∠CDA， （5分） ∴AC∥BM， （6分） 即AC与BM的数量关系是：AC＝BM；位置关系是：AC∥BM； （3）线段AD和线段EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF，证明如下： 延长AD到N，使DN＝DA，连接BN，延长DA交EF于点H，如图3所示： ∴AN＝DN+AD＝2AD， 同（1）证明：△BDN≌△CDA（SAS）， ∴BN＝AC，∠N＝∠CAD， ∵AC＝AF， ∴BN＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∵∠N＝∠CAD， ∴BN∥AC， ∴∠BAC+∠ABN＝180°， ∴∠ABN＝∠EAF， 在△ABN和△EAF中， ， ∴△ABN≌△EAF（SAS）， ∴AN＝EF，∠BAN＝∠E， ∴2AD＝EF， 即ADEF； （8分） ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAN+∠EAH＝90°， ∴∠E+∠EAH＝90°， 在△AEH中，∠AHE＝180°﹣（∠E+∠EAH）＝90°， ∴AH⊥EF， 即AD⊥EF， （10分） 故线段AD和线段EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$