八年级数学上学期第一次月考（人教版2024第13～14章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C C B C A B C C D C 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．9 14．8 15．（﹣2，1） 16．112 17．27 18．α 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【解答】解：（1）∵已经购买的两根钢管的长度是3dm和6dm，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ∴6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9， （2分） ∴有4dm，5dm，6dm三种规格的钢管可供选择； （4分） （2）∵三角形底座为等腰三角形， ∴x＝3（不符合题意，舍去），x＝6， （5分） ∴65+100×2＝65+200＝265（元）， （7分） 答：购买三根钢管一共需要花费265元． （8分） 20．（8分） 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， （2分） ∴∠3＝∠4＝70°， （3分） ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （4分） （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， （5分） ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， （6分） ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， （7分） ∵AB＝9， ∴AC＝6． （8分） 21．（8分） 【解答】解：（1）∵a，b，c△ABC三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，﹣a﹣b+c＜0 （2分） ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c| ＝a+b+c﹣（a+b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）+（﹣a﹣b+c）． ＝﹣2a+4c； （4分） （2）∵|b﹣c|+（a﹣c）2＝0且|b﹣c|≥0，（a﹣c）2≥0， ∴b﹣c＝0且a﹣c＝0 （6分） ∴b＝c且a＝c，即a＝b＝c （7分） ∴△ABC等边三角形． （8分） 22．（8分） 【解答】解：连接FG并延长交AB于点H， ∵FD⊥AD，GE⊥AD，AC⊥AD， ∴四边形FDAH与四边形GEAH都为矩形， ∵α与β互余， ∴α+β＝90°， ∵α+∠FBH＝90°， ∴β＝∠FBH， （1分） ∵AH＝FD＝GE＝1.7m，AB＝36.4m， ∴BH＝AB﹣AH＝34.7（m）， （2分） ∵AD＝37m，DE＝2.3m， ∴GH＝AE＝AD﹣DE＝37﹣2.3＝34.7（m）， （3分） ∴GH＝BH， （4分） 在△CGH和△FBH中 ， ∴△CGH≌△FBH（ASA）， （6分） ∴CH＝FH＝AD＝37m， （7分） ∴CB＝CH﹣BH＝37﹣34.7＝2.3（m）． （8分） ∴站名“西安”中“安”字的高度BC为2.3m． 23．（10分） 【解答】证明：（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上， ∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°， （1分） ∴∠BCH＝∠A， （2分） 在△BCH和△BAF中， ， ∴△BCH≌△BAF（SAS）． （4分） （2）由（1）得△BCH≌△BAF， ∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF， （5分） ∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF， ∴∠HBF＝∠CBA， （6分） ∵CH＝AF， ∴EH＝CE+CH＝CE+AF， ∵EF＝CE+AF， ∴EH＝EF， （7分） 在△BEH和△BEF中， ， ∴△BEH≌△BEF（SSS）， （8分） ∴∠EBH＝∠EBF∠HBF， （9分） ∴∠EBF∠CBA． （10分） 24．（10分） 【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°， （1分） ∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠BAC， （2分） 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， （4分） ∴BE＝DC． （5分） （2）解：由（1）得△BAE≌△DAC， ∴∠ABE＝∠ADC， （6分） ∴∠DME＝∠DBE+∠BDC＝∠ABD+∠ABE+∠BDC＝∠ABD+∠ADC+∠BDC＝∠ABD+∠ADB， （8分） ∵∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴∠DME＝60°+60°＝120°， （10分） 25．（10分） 【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°， （1分） ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； （2分） （2）解：∵∠AMD＝∠PMC， ∴∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②， （3分） ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， （4分） 由①+②，得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， （5分） ∵∠B＝30°，∠D＝40°， ∴2∠P＝30°+40°＝70°， ∴∠P＝35°； （6分） （3）解：∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， （7分） 由①+②，得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， （8分） ∵∠B＝α，∠D＝β， ∴． （10分） 26．（10分） 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α，∠ACD＝∠NCD＝β， ∴∠ABC＝2α，∠ACN＝2β， ∵∠ACN是△ABC的外角， ∴∠ACN＝∠ABC+∠BAC， （1分） ∵∠BAC＝68°， ∴2β＝68°+2α， ∴β﹣α＝34°， （2分） ∵∠NCD是△BCD的外角， ∴∠NCD＝∠CBD+∠BDC， ∴β＝α+∠BDC， ∴∠BDC＝β﹣α＝34°； （3分） （2）证明：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图2所示： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，DE⊥BN于E， ∴DH＝DE，DF＝DH， （4分） ∴DH＝DF， （5分） ∴点D在∠CAM的平分线上， ∴AD平分∠CAM； （6分） （3）解：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图3所示： 在Rt△BDH和Rt△BDE中， ， ∴△BDH≌Rt△BDE（HL）， ∴BM＝BE， （7分） 同理：Rt△CDF≌Rt△CDE（HL），Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴CF＝CE，AF＝AH， ∴CF+AF＝CE+AH， 即AC＝CE+AH， （8分） ∵△ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+CE+AH＝20， ∴BE+BM＝20， （9分） ∵BM＝BE， ∴BE＝BM＝10． （10分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 2．运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 3．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 5．贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔（△ABC≌△DEF）水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上），若CF＝2cm，则木楔BC的长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8 cm 6．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的角平分线与BC交于点E，过点A作BC边上的高，交BC于点D，若∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 8．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝6，D是AC的中点，则AC边上的中线BD的长度可能是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 9．如图，点M是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（　　） A． B． C．∠BMC+∠N＝2∠A D．∠BMC+∠N＝180° 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝8，AB＝10，当DE长度最小时，△BDE的面积是（　　） A．2 B． C． D． 11．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A．0.5cm/s B．1cm/s C．0.5cm/s或1.5cm/s D．1cm/s或1.5cm/s 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一个三角形的三条边长分别为4，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5，7，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　 ． 14．已知三角形的三边长为2，a﹣4，4，化简|a﹣3|+|a﹣11|的结果是　 　 ． 15．如图，Rt△ABC≌Rt△DAE，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是（1，0），（2，3），则点B的坐标是 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝6，CF＝BF＝8，则△ABC的面积是 　 　 ． 17．如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　 ． 18．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2023为 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如表： 规格（单位：dm） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买3dm和6dm的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为x dm． （1）请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ （2）若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 20．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 21．（8分）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 22．（8分）西安火车站是西安铁路枢纽的主要客运站之一，在全国铁路运输网中具有极为重要的地位．如图，小华和小明对西安火车站南广场候车楼（AB）顶部，站名“西安”两字中“安”字的高度（即线段BC所代表部分）很感兴趣，想知道其具体高度．小华和小明在候车楼前方的广场上正对着站名，小华在距离A点37m的D处用测角仪测得“安”字底部B的仰角为α，小明在小华前面2.3m的E处用测角仪测得“安”字的顶部C的仰角为β，并发现α与β互余．已知该火车站候车楼AB的高度为36.4m，测角仪EG，DF的高度均为1.7m，A，E，D三点共线，A，B，C三点共线，且AC⊥AD，EG⊥AD，DF⊥AD，求站名“西安”中“安”字的高度BC． 23．（10分）如图，AB＝BC，∠BCD＝45°，∠A＝135°，点E，F分别在CD，AD上，EF＝CE+AF，延长DC至点H，使得CH＝AF，连接BH．求证： （1）△BCH≌△BAF； （2）． 24．（10分）如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE和DC相交于点M． （1）求证：BE＝DC． （2）求∠DME． 25．（10分）如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC，我们把形如图1的图形称之为“8字型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB与∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题． （1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）如图2，若∠B＝30°，∠D＝40°，求∠P的度数． （3）在图2中，若∠B＝α，∠D＝β，直接写出∠P的度数（用含α，β的代数式表示）． 26．（10分）如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E． （1）如图（1），若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）如图（2），连接AD，求证：AD平分∠CAM； （3）如图（2），若△ABC周长为20，求BE的长． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 【答案】A 【解答】解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意； B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2．运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性， 故选：D． 3．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 4．在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 【答案】C 【解答】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔（△ABC≌△DEF）水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上），若CF＝2cm，则木楔BC的长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8 cm 【答案】B 【解答】解；∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∵CF＝2cm，BE＝10cm，点B，C，F，E在同一条直线上， ∴BC＝EF4（cm）， ∴木楔BC的长为4cm． 故选：B． 6．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2， ∴△ABD的面积＝△ABC的面积5（cm2）， ∵E是AB的中点， ∴△BDE的面积＝△ABD的面积2.5（cm2）， 故选：C． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的角平分线与BC交于点E，过点A作BC边上的高，交BC于点D，若∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】A 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝45°， ∵AD⊥BC，∠B＝50°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝5°． 故选：A． 8．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝6，D是AC的中点，则AC边上的中线BD的长度可能是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，AB＝12，BC＝6，D是AC的中点，如图，延长BD到E，使得BD＝ED，连接CE， ∴AD＝CD， 在△ADB和△CDE中， ， ∴△ADB≌△CDE（SAS）， ∴CE＝AB＝12， ∵BC＝6，CE﹣BC＜BE＜CE+BC， ∴6＜BE＜18， ∴6＜2BD＜18， ∴3＜BD＜9， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 9．如图，点M是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（　　） A． B． C．∠BMC+∠N＝2∠A D．∠BMC+∠N＝180° 【答案】C 【解答】解：∵M是△ABC两内角平分线的交点， ∴∠MBC∠ABC，∠MCB∠ACB， ∴∠MBC+∠MCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝90°∠A， 故A不符合题意； ∵点N是△ABC两外角平分线的交点， ∴∠NBC∠CBD，∠BCN∠BCE， ∴∠NBC+∠BCN（∠CBD+∠BCE）， ∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠CBD+∠BCE＝180°+∠A， ∴∠NBC+∠BCN＝90°∠A， ∴∠N＝180°﹣（∠NBC+∠BCN）＝90°∠A， 故B不符合题意； ∠BMC+∠N＝90°∠A+90°∠A＝180°， 故C符合题意，D不符合题意． 故选：C． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝8，AB＝10，当DE长度最小时，△BDE的面积是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小， 由作图过程可知AD平分∠BAC， ∵∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝8， ∵AB＝10， ∴，BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2， 设CD＝DE＝x，则BD＝BC﹣CD＝6﹣x， 在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，即22+x2＝（6﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， 故选：C． 11．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A．0.5cm/s B．1cm/s C．0.5cm/s或1.5cm/s D．1cm/s或1.5cm/s 【答案】D 【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s， ∵点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为x cm/s，它们运动的时间为t s， ∴AP＝t cm，BQ＝xt cm， ∵AB＝4cm， ∴BP＝（4﹣t）cm， ∠CAB＝∠DBA， 当△ACP≌△BPQ时， ∴AP＝BQ，AC＝BP， ∴， ∴； 当△ACP≌△BQP时， ∴AP＝BP，BQ＝AC， ∴， ∴． ∴当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为1cm/s或1.5cm/s． 故选：D． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA， 故①正确； ②∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， 由①知：∠DEC＝∠BDA， ∵AB＝DC， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE， 故②正确； ③∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴D为BC中点， 故③正确； ④∵∠C＝40°， ∴∠AED＞40°， ∴∠ADE≠∠AED， ∵△ADE为等腰三角形， ∴AE＝DE或AD＝DE， 当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝60°， 当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BAD＝30°， 故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一个三角形的三条边长分别为4，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5，7，若这两个三角形全等，则x+y＝　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵这两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为4，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5，7， ∴x＝5，y＝4， ∴x+y＝9． 故答案为：9． 14．已知三角形的三边长为2，a﹣4，4，化简|a﹣3|+|a﹣11|的结果是　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：由三角形的三边关系可得：4﹣2＜a﹣4＜4+2， 解得：6＜a＜10， ∴|a﹣3|+|a﹣11|＝a﹣3+11﹣a＝8， 所以化简|a﹣3|+|a﹣11|的结果是8， 故答案为：8． 15．如图，Rt△ABC≌Rt△DAE，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是（1，0），（2，3），则点B的坐标是 　（﹣2，1）　 ． 【答案】（﹣2，1）． 【解答】解：∵点A的坐标是（1，0），点D的坐标是（2，3）， ∴OA＝1，OE＝2，DE＝3， ∴AE＝1， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE（已知）， ∴BC＝AE＝1，AC＝DE＝3， ∴CO＝AC﹣BC＝3﹣1＝2， 所以B点的坐标为（﹣2，1）； 故答案为：（﹣2，1）． 16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝6，CF＝BF＝8，则△ABC的面积是 　112　 ． 【答案】112． 【解答】解：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AE⊥BD，CF⊥BD． ∴∠E＝∠CFD． 在△CDF和△ADE中， ， ∴△CDF≌△ADE（AAS）． ∴AE＝CF＝8，S△ADE＝S△CDF，DE＝DF＝6， 又∵CF＝BF＝8， ∴BE＝2DE+BF＝2×6+8＝20， ∴， 故答案为：112． 17．如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　27　 ． 【答案】27． 【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴△ABC的面积S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB×3BC×3 （AB+BC+AC） 18 ＝27， 故答案为：27． 18．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2023为 　α　 ． 【答案】α． 【解答】解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∴得∠ABA1＝∠CBA1∠ABC，∠ACA1＝∠DCA1∠ACD， ∵∠A＝α， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②， ②×2得：2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1， ∴∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③， 由①和③得：2∠A1＝∠A， ∵∠A＝α， ∴∠A1∠A∠α， 同理∴∠A2α， ∠A3α， …， ∴∠A2023α， 故答案为：α． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如表： 规格（单位：dm） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买3dm和6dm的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为x dm． （1）请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ （2）若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 【答案】（1）有4dm，5dm，6dm三种规格的钢管可供选择； （2）265元． 【解答】解：（1）∵已经购买的两根钢管的长度是3dm和6dm，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ∴6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9， ∴有4dm，5dm，6dm三种规格的钢管可供选择； （2）∵三角形底座为等腰三角形， ∴x＝3（不符合题意，舍去），x＝6， ∴65+100×2＝65+200＝265（元）， 答：购买三根钢管一共需要花费265元． 20．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【答案】（1）40°； （2）AC＝6． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， ∵AB＝9， ∴AC＝6． 21．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】（1）﹣2a+4c； （2）等边三角形． 【解答】解：（1）∵a，b，c△ABC三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，﹣a﹣b+c＜0 ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c| ＝a+b+c﹣（a+b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）+（﹣a﹣b+c）． ＝﹣2a+4c； （2）∵|b﹣c|+（a﹣c）2＝0且|b﹣c|≥0，（a﹣c）2≥0， ∴b﹣c＝0且a﹣c＝0 ∴b＝c且a＝c，即a＝b＝c ∴△ABC等边三角形． 22．西安火车站是西安铁路枢纽的主要客运站之一，在全国铁路运输网中具有极为重要的地位．如图，小华和小明对西安火车站南广场候车楼（AB）顶部，站名“西安”两字中“安”字的高度（即线段BC所代表部分）很感兴趣，想知道其具体高度．小华和小明在候车楼前方的广场上正对着站名，小华在距离A点37m的D处用测角仪测得“安”字底部B的仰角为α，小明在小华前面2.3m的E处用测角仪测得“安”字的顶部C的仰角为β，并发现α与β互余．已知该火车站候车楼AB的高度为36.4m，测角仪EG，DF的高度均为1.7m，A，E，D三点共线，A，B，C三点共线，且AC⊥AD，EG⊥AD，DF⊥AD，求站名“西安”中“安”字的高度BC． 【答案】站名“西安”中“安”字的高度BC为2.3m． 【解答】解：连接FG并延长交AB于点H， ∵FD⊥AD，GE⊥AD，AC⊥AD， ∴四边形FDAH与四边形GEAH都为矩形， ∵α与β互余， ∴α+β＝90°， ∵α+∠FBH＝90°， ∴β＝∠FBH， ∵AH＝FD＝GE＝1.7m，AB＝36.4m， ∴BH＝AB﹣AH＝34.7（m）， ∵AD＝37m，DE＝2.3m， ∴GH＝AE＝AD﹣DE＝37﹣2.3＝34.7（m）， ∴GH＝BH， 在△CGH和△FBH中 ， ∴△CGH≌△FBH（ASA）， ∴CH＝FH＝AD＝37m， ∴CB＝CH﹣BH＝37﹣34.7＝2.3（m）． ∴站名“西安”中“安”字的高度BC为2.3m． 23．如图，AB＝BC，∠BCD＝45°，∠A＝135°，点E，F分别在CD，AD上，EF＝CE+AF，延长DC至点H，使得CH＝AF，连接BH．求证： （1）△BCH≌△BAF； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解答】证明：（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上， ∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°， ∴∠BCH＝∠A， 在△BCH和△BAF中， ， ∴△BCH≌△BAF（SAS）． （2）由（1）得△BCH≌△BAF， ∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF， ∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF， ∴∠HBF＝∠CBA， ∵CH＝AF， ∴EH＝CE+CH＝CE+AF， ∵EF＝CE+AF， ∴EH＝EF， 在△BEH和△BEF中， ， ∴△BEH≌△BEF（SSS）， ∴∠EBH＝∠EBF∠HBF， ∴∠EBF∠CBA． 24．如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE和DC相交于点M． （1）求证：BE＝DC． （2）求∠DME． 【答案】（1）见解析； （2）∠DME的度数是120°． 【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠BAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝DC． （2）解：由（1）得△BAE≌△DAC， ∴∠ABE＝∠ADC， ∴∠DME＝∠DBE+∠BDC＝∠ABD+∠ABE+∠BDC＝∠ABD+∠ADC+∠BDC＝∠ABD+∠ADB， ∵∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴∠DME＝60°+60°＝120°， ∴∠DME的度数是120°． 25．如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC，我们把形如图1的图形称之为“8字型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB与∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题． （1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）如图2，若∠B＝30°，∠D＝40°，求∠P的度数． （3）在图2中，若∠B＝α，∠D＝β，直接写出∠P的度数（用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1）见解析； （2）∠P＝35°； （3）． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）解：∵∠AMD＝∠PMC， ∴∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②， ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， 由①+②，得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， ∵∠B＝30°，∠D＝40°， ∴2∠P＝30°+40°＝70°， ∴∠P＝35°； （3）解：∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， 由①+②，得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， ∵∠B＝α，∠D＝β， ∴． 26．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E． （1）如图（1），若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）如图（2），连接AD，求证：AD平分∠CAM； （3）如图（2），若△ABC周长为20，求BE的长． 【答案】（1）34°；（2）见解析；（3）10． 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α，∠ACD＝∠NCD＝β， ∴∠ABC＝2α，∠ACN＝2β， ∵∠ACN是△ABC的外角， ∴∠ACN＝∠ABC+∠BAC， ∵∠BAC＝68°， ∴2β＝68°+2α， ∴β﹣α＝34°， ∵∠NCD是△BCD的外角， ∴∠NCD＝∠CBD+∠BDC， ∴β＝α+∠BDC， ∴∠BDC＝β﹣α＝34°； （2）证明：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图2所示： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，DE⊥BN于E， ∴DH＝DE，DF＝DH， ∴DH＝DF， ∴点D在∠CAM的平分线上， ∴AD平分∠CAM； （3）解：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图3所示： 在Rt△BDH和Rt△BDE中， ， ∴△BDH≌Rt△BDE（HL）， ∴BM＝BE， 同理：Rt△CDF≌Rt△CDE（HL），Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴CF＝CE，AF＝AH， ∴CF+AF＝CE+AH， 即AC＝CE+AH， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+CE+AH＝20， ∴BE+BM＝20， ∵BM＝BE， ∴BE＝BM＝10． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$