九年级数学上学期第一次月考（人教版第21～22章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 2．已知方程4x2﹣mx﹣2＝0的一个根是﹣2，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．7 D．﹣7 3．如果二次函数y＝x2+bx+c配方后为y＝（x﹣2）2+1，那么b，c的值分别为（　　） A．4，5 B．4，3 C．﹣4，3 D．﹣4，5 4．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+6）2+2 B．y＝﹣2（x+6）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣6）2+2 D．y＝﹣2（x﹣6）2﹣2 5．若点（b，c）在第四象限，则关于x的方程x2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．5G技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展5G通信，已知该市2022年投入发展5G通信的资金为1000万元，2024年投入发展5G通信的资金为5000万元．设该市投入发展5G通信的资金的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A．1000（1+2x）＝5000 B．1000（1+2x）2＝5000 C．1000（1+x）2＝5000 D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝5000 7．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 9．已知x，y是实数，且满足x2+y2＝2x+4y﹣5，若m＝3x+y，则m的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．已知点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（7，y3）均在二次函数y＝﹣x2+8x+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 11．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 12．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 14．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 　 　 名学生． 15．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 　 　 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 18．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为　 　 个． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）按要求解方程． （1）x2+6x+4＝0．（配方法）； （2）9（x﹣1）2＝（2x+1）2； （3）x2﹣2x＝15； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 21．（8分）如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 22．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数． （1）如果该抛物线经过点（4，3），求m的值； （2）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 23．（10分）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/kg时，每天能售出200kg，售价每降低1元、每天可多售出50kg，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/kg，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 24．（10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为　 　 ． 25．（10分）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2； 第2个方程：x2﹣5x+6＝0，方程的两个根分别是x1＝2，x2＝3； 第3个方程：x2﹣7x+12＝0；方程的两个根分别是x1＝3，x2＝4； 第4个方程：x2﹣9x+20＝0；方程的两个根分别是x1＝4，x2＝5； … （1）请按照此规律写出两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程　 　 ． （2）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程x2x+1＝0是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上． （1）求抛物线的表达式； （2）点C为抛物线与y轴的交点，在对称轴x＝﹣1上找一点P，使得△PBC的周长最小，求点P的坐标； （3）点Q是直线AC上方抛物线上一动点，且不与点B重合，当△ABC与△QAC的面积相等时，求出此时点Q的坐标． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D D D B C A A A B C A 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．0 14．41 15．a 16．1 17．4或6 18．4 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【解答】解：（1）原方程移项得x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， ， 解得：，； （2分） （2）原方程移项得9（x﹣1）2﹣（2x+1）2＝0， （3x﹣3+2x+1）（3x﹣3﹣2x﹣1）＝0， 即（5x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴5x﹣2＝0，x﹣4＝0， 解得：，x2＝4； （4分） （3）x2﹣2x＝15， x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x﹣5＝0，x+3＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣3； （6分） （4）x（x﹣2）＝3x﹣6， x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0，x﹣3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． （8分） 20．（8分） 【解答】（1）证明：根据题意可得：a＝1，b＝m+4，c＝m+3， （1分） ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4×1×（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， （3分） ∴无论m取何值，方程总有实数根； （4分） （2）解：∵x1，x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+4）＝﹣m﹣4，x1•x2＝m+3， （5分） ∵， ∴x1x2（x1+x2）＝（m+3）（﹣m﹣4）＝0， （7分） 解得：m1＝﹣3，m2＝﹣4． （8分） 21．（8分） 【解答】解：（1）设AB＝x m， x（16﹣3x）＝21 （1分） x1＝3， （2分） ∵BE＝16﹣3x≤8，， ∴x＝3， （3分） 答：要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为3米； （4分） （2）设AB＝x m，则BC＝（16﹣4x）m，根据题意得， ， （5分） 当x≥2时，S随x的增大而减小 （6分） ∵BE＝16﹣3x≤8，， ∴当时，S最大 （7分） 答：当米，米时，小兔活动区域面积最大． （8分） 22．（8分） 【解答】解：（1）由条件可知3＝42﹣16m+2m+1， （2分） 解得m＝1； （4分） （2）当x＝0，y＝2m+1， 当x＝1时，y＝﹣2m+2， （5分） 当交点在线段OA之间时，当2m+1＞0时，﹣2m+2＜0， 解得m＞1； （6分） 当2m+1＜0时，﹣2m+2＞0， 解得； （7分） 综上，m＞1或． （8分） 23．（10分） 【解答】解：（1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意列一元二次方程得，80（1+x）2＝115.2， （2分） 整理得，80x2+160x﹣35.2＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． （4分） 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为20%； （5分） （2）设售价应降低y元． 由题意列一元二次方程得，（20﹣y﹣12）（200+50y）＝1750， （7分） 整理得y2﹣4y+3＝0 解得y1＝1，y2＝3． （9分） ∵要尽快减少库存， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． （10分） 24．（10分） 【解答】（1）解：当t＝2时，则y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， （2分） ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）； （3分） （2）证明：∵二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． ∴m＝1+t﹣2＝t﹣1，n＝4﹣2t﹣2＝2﹣2t＝2（1﹣t）， （4分） ∴mn＝（t﹣1）•2（1﹣t）＝﹣2（t﹣1）2， （5分） ∵（t﹣1）2≥0， ∴﹣2（t﹣1）2≤0，即mn≤0． （6分） （3） 解：二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象开口向上，对称轴为直线x， （7分） ∴点A（﹣1，m）关于对称轴的对称点为（1+t，m）， （8分） ∵当2＜x＜3时，都有n＜y＜m， ∴1+t≥3， ∴t≥2， 故答案为：t≥2． （10分） 25．（10分） 【解答】解：（1）x2﹣17x+72＝0； （2分） （2）解x2x+1＝0得：x1，x2， （3分） ∵x1﹣x21， （5分） ∴方程x2x+1＝0是“邻根方程”； （6分） （3）设关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的两个根为t，t+1， ∴， 解得：或， 当时，关于x的方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3，4， ∴直角三角形两边为3，4， ∴第三边为5 （7分） ； （8分） 当时，关于x的方程x2﹣9x+20＝0的两个根为4，5， ∴直角三角形两边为4，5， ∴第三边为 （9分） 3； 综上所述，直角三角形第三边为5或或或3． （10分） 26．（10分） 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A（﹣3，0）与点（2，5）在抛物线上， ∴， 解得， （2分） ∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （3分） （2）∵△PBC的周长等于PB+PC+BC，BC为定值， ∴当PB+PC值最小时，△PBC的周长最小， ∵A、B关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称， ∴PB+PC＝PA+PC＞AC， ∴A，P，C三点共线时，△PBC的周长最小，即P点为直线AC与x＝﹣1的交点时，△PBC的周长最小， （4分） 当x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的表达式为y＝kx﹣3（k≠0）， 把A（﹣3，0）代入，得﹣3k﹣3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3， （5分） 当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2， ∴当点P的坐标为（﹣1，﹣2）时，△PBC的周长最小； （6分） （3）设过点B且平行于AC的直线为y＝﹣x+n， 将点B（1，0）代入，得n＝1， ∴该直线的表达式为y＝﹣x+1， （7分） ∵△ABC与△QAC的面积相等， ∴Q点为直线y＝﹣x+1与抛物线的交点， （8分） 联立， 解得（舍去）或， ∴此时点Q的坐标为（﹣4，5）． （10分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【答案】D 【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5， 所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）． 故选：D． 2．已知方程4x2﹣mx﹣2＝0的一个根是﹣2，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．7 D．﹣7 【答案】D 【解答】解：∵方程4x2﹣mx﹣2＝0的一个根是﹣2， ∴4×（﹣2）2+2m﹣2＝0． ∴16+2m﹣2＝0． ∴m＝﹣7， 故选：D． 3．如果二次函数y＝x2+bx+c配方后为y＝（x﹣2）2+1，那么b，c的值分别为（　　） A．4，5 B．4，3 C．﹣4，3 D．﹣4，5 【答案】D 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1 ＝x2﹣4x+4+1 ＝x2﹣4x+5， ∴b、c的值分别为﹣4，5． 故选：D． 4．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+6）2+2 B．y＝﹣2（x+6）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣6）2+2 D．y＝﹣2（x﹣6）2﹣2 【答案】D 【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：y＝﹣2（x﹣6）2﹣2． 故选：D． 5．若点（b，c）在第四象限，则关于x的方程x2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵点P（b，c）在第四象限， ∴b＞0，c＜0， ∴b2﹣4c＞0， ∴方程x2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4c＞0， ∴方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．5G技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展5G通信，已知该市2022年投入发展5G通信的资金为1000万元，2024年投入发展5G通信的资金为5000万元．设该市投入发展5G通信的资金的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A．1000（1+2x）＝5000 B．1000（1+2x）2＝5000 C．1000（1+x）2＝5000 D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝5000 【答案】C 【解答】解：设该市投入发展5G通信的资金的年平均增长率为x， 根据题意得：1000（1+x）2＝5000， 故选：C． 7．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项正确； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x0，故选项错误． 故选：A． 8．已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：设x＝a2+b2， ∴x2﹣4x﹣12＝0， （x+2）（x﹣6）＝0， 解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6， ∴原式＝6+1＝7， 故选：A． 9．已知x，y是实数，且满足x2+y2＝2x+4y﹣5，若m＝3x+y，则m的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解答】解：由题意，∵x2+y2＝2x+4y﹣5， ∴x2﹣2x+1+y2﹣4y+4＝0． ∴（x﹣1）2+（y﹣2）2＝0． ∴x﹣1＝0，y﹣2＝0． ∴x＝1，y＝2． ∴m＝3x+y＝3×1+2＝5． 故选：A． 10．已知点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（7，y3）均在二次函数y＝﹣x2+8x+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【答案】B 【解答】解：由条件可知：函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线x＝4， ∴C（7，y3）关于直线x＝4的对称点为（1，y3）， ∵当x＜4时，y随x的增大而增大，﹣3＜﹣1＜1， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 11．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【解答】解：A、由图象可知，弹簧压缩2cm后小球开始减速，故此选项错误，不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为6cm时，小球的速度最小，速度为0，故此选项错误，不符合题意； C、小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，即a＝3， 设抛物线解析式为v＝m（x﹣2）2+b， 把（0，3），（6，0）代入解析式得：， 解得， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s，故此选项正确，符合题意； D、在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，即弹簧被压缩的长度为15﹣9＝6cm，由图象2可知，此时v＝0cm/s，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 12．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】A 【解答】解：设△PCD的面积为y cm2， 由题意得：AP＝t cm，PD＝（5﹣t）cm， ∴yCD•PD， ∵四边形EFPC是正方形， ∴S△DEF+S△PDCS正方形EFPC， ∵PC2＝PD2+CD2， ∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29， ∴S△DEF（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）t2﹣4t（t﹣4）2， 当t为4s时，△DEF的面积最小，且最小值为cm2． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m＝　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：根据一元二次方程定义可得m﹣4≠0，|m﹣2|＝2， 解得m＝0， 故答案为：0． 14．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 　41　 名学生． 【答案】41． 【解答】解：设班级共有x名学生， 根据题意得：x（x﹣1）+x＝1681， 整理得：x1＝41，x2＝﹣41（不符合题意，舍去）， 即班级共有41名学生， 故答案为：41． 15．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a　 ． 【答案】a． 【解答】解：∵（2x）※1＝a， ∴2x+4x2＝a， 方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0， 解得a， 故答案为：a． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴对称轴是直线x＝﹣1． 又∵图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：﹣1+（﹣1+3）＝1． 故答案为：1． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　4或6　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【答案】4或6． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 18．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为　4　 个． 【答案】4． 【解答】解：观察图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故①正确； ∵对称轴为直线x＝1，图象未经过（﹣1，0），则图象必不经过（3，0）， ∴4a+2b+c＜0，故③错误； ∵， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＞0，即a+2a+c＝3a+c＞0，故④正确； 图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确； ∵对称轴为直线x＝1，开口向上， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑥错误； 当x＝1时，y＝a+b+c≤am2+bm+c（m为任意实数）， 整理可得a+b≤m（am+b），故⑤正确； 综上，正确的序号有：①②④⑤． 故答案为：4． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．按要求解方程． （1）x2+6x+4＝0．（配方法）； （2）9（x﹣1）2＝（2x+1）2； （3）x2﹣2x＝15； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6． 【答案】（1），； （2），x2＝4； （3）x1＝5，x2＝﹣3； （4）x1＝2，x2＝3． 【解答】解：（1）原方程移项得x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， ， 解得：，； （2）原方程移项得9（x﹣1）2﹣（2x+1）2＝0， （3x﹣3+2x+1）（3x﹣3﹣2x﹣1）＝0， 即（5x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴5x﹣2＝0，x﹣4＝0， 解得：，x2＝4； （3）x2﹣2x＝15， x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x﹣5＝0，x+3＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣3； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6， x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0，x﹣3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：根据题意可得：a＝1，b＝m+4，c＝m+3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4×1×（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵x1，x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+4）＝﹣m﹣4，x1•x2＝m+3， ∵， ∴x1x2（x1+x2）＝（m+3）（﹣m﹣4）＝0， 解得：m1＝﹣3，m2＝﹣4． 21．如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 【答案】（1）3米； （2）见解析． 【解答】解：（1）设AB＝x m， x（16﹣3x）＝21 x1＝3， ∵BE＝16﹣3x≤8，， ∴x＝3， 答：要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为3米； （2）设AB＝x m，则BC＝（16﹣4x）m，根据题意得， ， 当x≥2时，S随x的增大而减小 ∵BE＝16﹣3x≤8，， ∴当时，S最大 答：当米，米时，小兔活动区域面积最大． 22．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数． （1）如果该抛物线经过点（4，3），求m的值； （2）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）m＝1； （2）m＞1或． 【解答】解：（1）由条件可知3＝42﹣16m+2m+1， 解得m＝1； （2）当x＝0，y＝2m+1， 当x＝1时，y＝﹣2m+2， 当交点在线段OA之间时，当2m+1＞0时，﹣2m+2＜0， 解得m＞1； 当2m+1＜0时，﹣2m+2＞0， 解得； 综上，m＞1或． 23．在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/kg时，每天能售出200kg，售价每降低1元、每天可多售出50kg，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/kg，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20%； （2）3元． 【解答】解：（1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意列一元二次方程得，80（1+x）2＝115.2， 整理得，80x2+160x﹣35.2＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为20%； （2）设售价应降低y元． 由题意列一元二次方程得，（20﹣y﹣12）（200+50y）＝1750， 整理得y2﹣4y+3＝0 解得y1＝1，y2＝3． ∵要尽快减少库存， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． 24．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为　t≥2　 ． 【答案】（1）（1，﹣3）； （2）见解答； （3）t≥2． 【解答】（1）解：当t＝2时，则y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）证明：∵二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． ∴m＝1+t﹣2＝t﹣1，n＝4﹣2t﹣2＝2﹣2t＝2（1﹣t）， ∴mn＝（t﹣1）•2（1﹣t）＝﹣2（t﹣1）2， ∵（t﹣1）2≥0， ∴﹣2（t﹣1）2≤0，即mn≤0． （3）解：二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象开口向上，对称轴为直线x， ∴点A（﹣1，m）关于对称轴的对称点为（1+t，m）， ∵当2＜x＜3时，都有n＜y＜m， ∴1+t≥3， ∴t≥2， 故答案为：t≥2． 25．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2； 第2个方程：x2﹣5x+6＝0，方程的两个根分别是x1＝2，x2＝3； 第3个方程：x2﹣7x+12＝0；方程的两个根分别是x1＝3，x2＝4； 第4个方程：x2﹣9x+20＝0；方程的两个根分别是x1＝4，x2＝5； … （1）请按照此规律写出两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程　x2﹣17x+72＝0　 ． （2）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程x2x+1＝0是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 【答案】（1）x2﹣17x+72＝0； （2）方程x2x+1＝0是“邻根方程”； （3）直角三角形第三边为5或或或3． 【解答】解：（1）两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程为x2﹣（8+9）x+8×9＝0，即x2﹣17x+72＝0， 故答案为：x2﹣17x+72＝0； （2）解x2x+1＝0得：x1，x2， ∵x1﹣x21， ∴方程x2x+1＝0是“邻根方程”； （3）设关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的两个根为t，t+1， ∴， 解得：或， 当时，关于x的方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3，4， ∴直角三角形两边为3，4， ∴第三边为5或； 当时，关于x的方程x2﹣9x+20＝0的两个根为4，5， ∴直角三角形两边为4，5， ∴第三边为或3； 综上所述，直角三角形第三边为5或或或3． 26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上． （1）求抛物线的表达式； （2）点C为抛物线与y轴的交点，在对称轴x＝﹣1上找一点P，使得△PBC的周长最小，求点P的坐标； （3）点Q是直线AC上方抛物线上一动点，且不与点B重合，当△ABC与△QAC的面积相等时，求出此时点Q的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）（﹣1，﹣2）； （3）（﹣4，5）． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A（﹣3，0）与点（2，5）在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵△PBC的周长等于PB+PC+BC，BC为定值， ∴当PB+PC值最小时，△PBC的周长最小， ∵A、B关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称， ∴PB+PC＝PA+PC＞AC， ∴A，P，C三点共线时，△PBC的周长最小，即P点为直线AC与x＝﹣1的交点时，△PBC的周长最小， 当x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的表达式为y＝kx﹣3（k≠0）， 把A（﹣3，0）代入，得﹣3k﹣3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3， 当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2， ∴当点P的坐标为（﹣1，﹣2）时，△PBC的周长最小； （3）设过点B且平行于AC的直线为y＝﹣x+n， 将点B（1，0）代入，得n＝1， ∴该直线的表达式为y＝﹣x+1， ∵△ABC与△QAC的面积相等， ∴Q点为直线y＝﹣x+1与抛物线的交点， 联立， 解得（舍去）或， ∴此时点Q的坐标为（﹣4，5）． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$